Raúl Baeza Ornelas ITESO 2009

Análisis de estabilidad de sistemas mediante el plano fase
Raúl Baeza Ornelas. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente. 9-11 Julio 2009. Guadalajara, Jal., México.

Resumen
Se muestra la forma de aprovechar las capacidades gráficas y simbólicas de la calculadora TI Voyage200 para analizar sistemas físicos representados por sistemas de ecuaciones diferenciales. Se estudia el comportamiento de las soluciones de interés en relación con la estabilidad del sistema y se da una introducción al fenómeno del caos.

Introducción
Los cursos de ecuaciones diferenciales pueden beneficiarse ampliamente con el uso de análisis gráficos y numéricos, la mayoría de los textos en la actualidad …ver más…

Debemos g =1 : reescribir la ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden, usamos L y1 '= y2 y2 '=−sin  y1 el plano fase muestra puntos críticos en el eje horizontal cada múltiplo de π, estos son centros estables. La siguiente gráfica muestra el plano fase y la trayectoria correspondiente a las condiciones iniciales 0=/2, ' 0=0

para ver la posición con respecto al tiempo cambiamos la configuración del tipo de gráfica en el menú de formato en el editor de ecuaciones, seleccionamos FLDOFF

Para el caso del péndulo ideal tenemos soluciones periódicas. Si agregamos un término de amortiguamiento para considerar los efectos de la fricción el modelo resultante es

Raúl Baeza Ornelas ITESO 2009 d  d g c  sin=0 2 dt L dt y el sistema correspondiente, con c=0.1 es: y1 '= y2 y2 '=−0.1∗y2−sin y1 El plano fase es parecido al caso ideal, pero si aplicamos las mismas condiciones iniciales que en el caso anterior veremos que los puntos críticos ya no son centros sino espirales estables.
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la gráfica de la solución es:

Analice el comportamiento del péndulo variando las condiciones iniciales.

Modelos de poblaciones
En [1] se presentan diversos tipos de modelos que describen la interacción entre dos especies, por ejemplo: x ' =− xb x y Modelo depredador-presa y ' = y−c x y x '=− x−a x 2b x y Sobrepoblación 2 y ' = y−c x y−d y x