Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Sobre la posible aplicación de
dinámica de campos térmicos
a agujeros negros sónicos
Alexander Moreno Sánchez
Observatorio Astronómico Nacional
Bogotá. D. C, Colombia.
amorenosa@unal.edu.co
Recibido 28-11- 2016
Resumen
En este corto trabajo, se presentan algunos elementos de la teoría dinámica de campos (TFD),
y su posible aplicación al estudio de los hoy día llamados agujeros negros sónicos. Estos objetos
han sido recreados en los laboratorios de investigación mediante el uso de los condesados de Bose-
Einstein. Dichos objetos experimentales, permiten reproducir algunas propiedades de los agujeros
negros gravitacionales, se espera que el estudio experimental de tales objetos brinde los elementos
necesarios para comprender la dinámica y estructura de los agujeros negros.
PACS: 97.60.Bw, 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv
Palabras Claves: dinámica de campos térmicos, agujeros negros, condensados Bose-Einstein.
Abstract
In this short work, some elements of dynamic …eld theory (TFD) are presented, and Its possible
application to the study of today called sonic black holes. These items Have been recreated
in research laboratories through the use of the Bose-Einstein condesates.These experimental
objects allow us to reproduce some properties of gravitational black holes. It is expected that
the experimental study of such objects will provide the necessary elements to understand the
dynamics and structure of black holes.
PACS: 97.60.Bw, 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv
Keywords: thermo…elds dynamics, black holes, Bose-Einstein condensates.
c 2016.
1
Introducción
Los agujeros negros constituyen un auténtico reto al intelecto humano, sus propiedades físicas, sus fantásticas
consecuencias y el profundo desconocimiento de lo que ocurre físicamente en su interior ha llevado a un buen
número de investigadores a desarrollar y proponer una gran variedad de teorías, hipótesis, conjeturas, o razo-
namientos que de una u otra forma permitan alcanzar una comprensión satisfactoría y completa de la física que
gobierna a estos enigmáticos objetos. Dentro de está gran variedad de posibles teorías, se presenta la teóría
dinámica de campos térmicos, o por su siglas en inglés TFD, que desarrollada en el marco de las variedades
curvas, especi…camente en la estructura geométrica del agujero negro eterno, conduce a razonamientos plausibles
y esclarecedores de la física que opera en un agujero negro. Sin embargo, el esquema teórico construido bajo
este marco, presenta límitaciones y objeciones los cuales son propios de teorías que no cuentan con observación
directa o con desarrollos experimentales que permitan ajustar o de…nir los elementos teóricos en juego. En con-
sideración de lo anterior, se justi…ca el desarrollo de esquemas experimentales u observacionales, que permitan
comprender de mejor forma la naturaleza de los agujeros negros, es así como ha surgido de tiempo atrás algunas
aproximaciones de tipo experimental muy valiosas, como es el caso de los agujeros negros sónicos, los cuales se
producen en ‡uidos supersonicos o en condensados de Bose-Einstein, y entre sus propiedades permiten recrear
un análogo a los horizontes de sucesos que se presentan en los agujeros negros gravitacionales, se espera que con
el estudio y observación de la física de estos análogos se logre comprender algunas de las propiedades físicas de
los agujeros negros gravitacionales[1].
2
Escenario general
De forma ingenúa se puede se puede hacer la siguiente pregunta, ¿cómo se propagán las ondas sonoras en
un ‡uido en movimiento?, esto en principio parece una cuestión sútil o nimia, pero sorprendentemente esta
pregunta conduce a un elegante panórama geométrico, propio de la geometría diferencial de espaciotiempos
curvos, constituye un escenario análogo a la estructura geométrica de agujeros negros gravitacionales. Para
comprender un poco más esto se presentan algunos detalles en las secciones siguientes. Entonces, una onda
sonora propagándose en un ‡uido en movimiento comparte muchas de las propiedades de un campo escalar sin
masa acoplado minimalmente propagándose en una geometría Lorenciana (3+1)-dimensional. Esto sugiere, o
por lo menos se podría establecer un isomor…smo parcial que relaciona elementos de la relatividad general con
partes de la mecánica de ‡uidos no relativistas, ello conduce a un análogo interesante y útil en el estudio de los
agujeros negros[1].
2.1
Elementos
Los ingredientes básicos para iniciar el desarrollo de la teoría de los agujeros negros sónicos, parten de considerar
un ‡uido no relativista, irrotacional y barotrópico, el ‡uido debe ser irrotacional ya que de este modo la velocidad
se puede especi…car completamente mediante un campo escalar, es decir
r
v =0 , v = r
.
(1)
Un punto importante es considerar a las ondas sonoras como ‡uctuaciones linealizadas en el campo que se
pueden describir por un campo escalar. Esto no es físicamente correcto ya que debe pensarse más en un vector
sónico que en un escalar sónico, el inconveniente está en que las ecuaciones se harían muy complejas límitando las
posibles soluciones a estudiar. Así, se puede considerar que cualquier vorticidad que surja debe quedar con…nada
en delgados tubos que encierren las vorticidades, y de este modo el análisis se desarrolla fuera de estos tubos
de vorticidad. Otra condición mencionada es que los ‡uidos deben ser barotrópicos, es decir que la presión en
el ‡uido solo dependa de la densidad del mismo, con ello se asegura que las fuerzas de presión no ocasionen
vórtices, garantizando que el ‡uido sea irrotacional. Igualmente se asume como elemento simpli…cador que el
‡uido sea no viscoso, ya que la viscocidad actúa como un término que rompe la invarianza de Lorentz, la cual
se convierte en una simetría aproximada que permite obtener soluciones a bajas frecuencias[1].
Atendiendo a los anteriores presupuestos, se pueden plantear las siguientes ecuaciones dinámicas:
@
@t
+ r ( v) = 0 ,
(2)
1. Ecuación de continuidad
2. Ecuación de Euler con viscocidad cero
)]
(
@v
@t
+ (v r) v) =
rp ,
(3)
3. Ecuación barotrópica de estado
p = p( ) .
(4)
Tenemos aquí un sistema cerrado de ecuaciones, donde la vorticidadad es nula o muy pequeña[1][5].
2.2
Simpli…caciones
Para obtener algunas soluciones, es decir encontrar la densidad, presión y campo escalar de velocidades, se
consideran aproximaciones linealizadas de ellas, es decir
0(t;x); p0(t;x) ;
0(t;x): En términos generales se
puede considerar que las soluciones exactas constituyen un background de estos campos y que las soluciones
obtenidadas son ‡uctuaciones linealizadas alrededor de este background[1]. Así
(t;x) =
0(t;x)
+ " 1(t;x) +
(5)
p(t;x) = p0(t;x) + "p1(t;x) +
(6)
(t;x) =
0(t;x)
+ "
1(t;x)
+
(7)
De este modo las ecuaciones linealizadas de movimiento son
@ 1
@t
+ r ( 1r
0
+
0r 1)
=0 ,
(8)
0(
@ 1
@t
+ r
0
r
1)
= p1 ,
(9)
p1 = c2
s
1
=
@p
@
1
.
(10)
donde cs es la velocidad del sónido. Por lo tanto, tenemos aquí un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado,
el cual bajo algunas manipulaciones matemáticas se puede reducir a una ecuación diferencial parcial de segundo
ordén
@ 1
@t c2
s
0(
@ 1
@t
+ v0r
1)
= r
0r 1
1
c2
s
0v0(
@ 1
@t
+ v0r
1)
,
(11)
esta es una ecuación para
1 en función de t , p y
:
Ahora si se introduce coordenadas espacio temporales x = (x;t) se logra construir una matriz 4
4 que
tiene la siguiente forma
g
(x;t) =
j
i
1
v0
c2
s
ij
i j
v0
v0v0
,
(12)
con g = [det(g
1=2
, de este modo podemos escribir la ecuación diferencial de segundo orden como[1]
1
p
@
g @x
(
p
gg
@
@x
1)
=0 ,
(13)
esta expresión es similar a la ecuación de onda para un campo escalar.
2.3
Interpretación
La ecuación anteriores describe exactamente un campo escalar sin masa, acoplado minimalmente, propagándose
en un espaciotiempo de acuerdo con la métrica inversa g
(x;t): En efecto, el operador diferencial que aparece
en esta ecuación corresponde a la generalización del Laplaciano a un D´Alambertiano (3+1)-dimensional cor-
respondiente a la métrica inversa.
La métrica directa en sí misma esta dada por la matriz
g (x;t) =
0
cs
(c20
2
v0)
v0i
v0j
ij
,
(14)
que corresponde a la inversa de g
(x;t) con signatura ( ;+;+;+)[1]:
3
Sistema físico
Un sistema físico que permita generar una geometría acústica no trivial descrita anteriormente, se puede obtener
mediante el ‡ujo laminar de un ‡uido a través de una boquilla. Cuando la boquilla se angosta, la velocidad
del ‡uido se incrementa hasta que excede la velocidad del sónido, por lo tanto la onda sonora no podrá escapar
fuera de la regón de ‡ujo supersónico. Encontramos que estas regiones supersónicas comparten muchas de las
propiedades asociadas normalmente con agujeros negros[1].
Fisicamente el mejor arreglo es la llamada boquilla tipo Laval, la cual se puede considerar como la tobera de
propulsión de un motor de cohete que se utiliza para expandir y acelerar los gases producidos por la combustión
de los propergoles de modo que los gases de escape salgan de la boquilla a velocidades hipersónicas.
Representación de una boquilla tipo Laval (La tobera de Laval fue desarrollad originalmente en el siglo XIX
por Gustav de Laval para su uso en turbinas de vapor. Se utilizó por primera vez en un motor cohete en los
desarrollados iniciales de Robert Goddard. Posteriormente, casi todos los motores de cohete han usado esta
idea, entre ellos las aplicación de Walter Thiel que hizo posible el cohete alemán V-2.)(Imagenes google)
Entonces tenemos que si el ‡uido ‡uye supersonicamente, se puede ajustar el ‡ujo en sí mismo hasta obtener
un horizonte acústico el cual se forma en la parte más angosta de la tobera, debido esto y a la interrelación entre
continuidad del ‡uido y condiciones barotrópicas se originan horizontes en el ‡uido[1].
Diagrama de una tobera de Laval, que muestra la velocidad de ‡ujo (v), aumentando en la dirección del ‡ujo,
con disminuciones en la temperatura (t) y la presión (p). El número de Mach (M) aumenta desde subsónico, a
sónica en la garganta, a supersónica. (Imagenes google)
4
Agujeros negros acústicos en condensados Bose-Einstein
La propagación fonónica en un ‡uido es descrita por una ecuación de onda la cual bajo algunas condiciones
apropiadas puede ser interpretada como la propagación en un espaciotiempo curvo relativista efectivo, donde la
métrica espaciotemporal es enteramente determinada por las propiedades físicas del ‡uido como son su densidad,
velocidad y presión. De este modo un horizonte de eventos sónico surge donde exista una super…cie a través de
la cual ‡uya o pase el ‡uido, así se determinan dos regiones, una de propagación subsónica y otra de propagación
supersónica. De tal foma que esto genera una analogía entre la propagación del sónido en un background
hidrodinámico y la propagación de un campo escalar en un espaciotiempo curvo, no obstante, la hidrodinámica es
solo una teoría efectiva de longitud de onda larga para ‡uidos, igualmente la teoría de campos en espaciotiempos
curvos puede ser considerada como un aproximación de longitud de onda larga.
Los condensados de Bose-Einstein, los cuales se pueden manipular y controlar facilmente desde el punto de
vista teórico y experimentamente[8], dichos condensados generan un sistema hidrodinámico cuya teoría micro-
scópica es bastante clara, donde además se ecnuetra que bosones a muy baja temperatura pueden ser considerados
como agujeros negros espaciotemporales.
Un condensado de Bose-Einstein se considera como el estado básico de un sistema de muchos cuerpos descrito
por un hamiltoniano que involucra segunda cuántización con un término que incorpora un potencial externo
Vext(x). A temperatura cero, y cuando se tienen un gran número de átomos y si las interacciones átomicas
j (x;t)j
d3xj (x;t)j = N .
~ p
son su…cientemente pequeñas, casi todos los átomos están en el mismo estado cuántico de una partícula simple,
generando lo que se conoce como campo medio
(x;t): La evolución del campo está dada por la ecuación de
Gross-Pitaerskii[4]
i~@t (x;t) =
~2
2m
r2 + Vext(x) +
4 a~2
m
2
(x;t) ,
(15)
donde la función de onda de los condensados está normalizada al número total de átomos
Z 1
1
2
(16)
Ahora bien, nos concierne la propagación de perturbaciones colectivas pequeñas del condensado (modos de
oscilación) alrededor de un background en estado estacionario
s(x;t) =
p
(x)eiv(x)e i t=~ , (17)
donde
corresponde al potencial químico. Así, las perturbaciones alrededor del estado estacionario
s(x;t)
obedecen el sistema de Bogoliubov de dos ecuaciones diferenciales acopladas. En el regimen de validéz de la
hidrodinámica, aproximación de Thomas-Fermi, y por lo tanto perturbaciones de baja frecuencia son esen-
cialmente solo ondas de sonido. De esta forma las ecuaciones de Bogoliubov pueden ser relacionadas con una
ecuación simple de segundo orden para la perturbación de fase
condensada, la cual puede ser escrita en
términos de las perturbaciones de la función de onda como
=
s
,
(18)
=
i
s
,
(19)
esta ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación de onda relativista
@ (
p
gg
@
)=0 ,
(20)
en un espaciotiempo curvo con la métrica g
siendo enteramente determinada por la velocidad local del sonido
c(x) =
m
4 a (x) ,
(21)
y la velocidad estacionaria del background de campo
v =
~
m
rv ,
(22)
por lo tanto, salvo un factor conformal, la métrica efectiva tiene la forma
g
=
(c2
v2)
v
vT
I
.
(23)
Esta clase de métrica genera horizontes, de hecho si se genera una trampa esferica de átomos (como las
producidas por un laser de átomos), y si el potencial radial se ajusta adecuadamente, se pueden producir
v(r)x
r
rh; siendo negativa dentro y positiva fuera. La esfera de radio rh es un horizonte de eventos sónicocompletamente
análogo a los que aparecen en agujeros negros relativistas, en el sentido de que las perturbaciones sónicas no
pueden propagar a través de esta super…cie en la dirección externa de la esfera o trampa de átomos. Se puede
hacer una mejor idea escribiendo explicitamente una ecuación para la geodésica nula radial de la métrica g
r (t) =
v
c .
(24)
Tenemos, entonces que la geodésica nula entrante r (t) no se ve afectada por la presencia de los horizontes
y se puede cruzar en un tiempo coordenado …nito. La geodésica nula saliente r+(t) del otro lado necesita una
cantidad in…nita de tiempo para dejar el horizonte ya que r+(t) = 0 en el horizonte. El mecanismo físico
del agujero negro sónico es bastante simple, en el horizonte, la velocidad del ‡ujo en el background tiene una
velocidad v mayor que la velocidad local del sonido c; y así las ondas sonoras son inexorablemente arrastradas
hacia adentro[4][5].
5
Dinámica de campos térmicos
La teoría dinámica de campos térmicos o por sus siglas en inglés (TFD), ha establecido un marco de trabajo
natural para analizar procesos que dependen del tiempo a temperatura …nita. Pero el formalismo va más allá de
este limitado contexto, en realidad se ha constituido un método para describir estados mezclados como estados
puros en un espacio de Hilbert aumentado o doblado. Por lo tanto, es un marco teórico natural para aproximar
contextos físicos donde la entropía juegue un rol importante, que entre otras cosas la entropía se hace más central
y misteriosa en la gravedad por lo cual no es sorprendente que la descripción de estados en los agujeros negros
involucre la dinámica de campos termicos.
La existencia de entropía para un background gravitacional vacío como el del espacio de Sitter sugiere la
idea de asignar un conjunto de estados al espacio en sí mismo. Esto de hecho conduce a la noción de espacio
no conmutativo o difuso, ya que la premisa básica es que algunas variedades suaves pueden ser obtenidas como
una aproximación a un espacio de Hilbert de estados cuando algún parámetro descriptivo sea considerado muy
grande. Si se considera un espacio de Hilbert de dimensión …nita los parámetros a usar son usualmente las
dimensiones en sí mismas. En otras palabras, la sugerencia básica es que se puede doblar el espacio de Hilbert
modelando la geometría no conmutativa y construir la dinámica usando dinámica de campos térmicos.
En mecánica cuántica se reconoce como estado cuántico mezclado, un estado mixto de estados puros, por
contraposición a los estados puros, a un estado cuántico que no está completamente determinado. En otras
palabras, decimos que un sistema se encuentra en un estado mezclado cuando no disponemos del máximo
grado de información que puede obtenerse sobre sus propiedades u observables. Esta información se encuentra
limitada por la existencia, incluso en un estado puro, de incompatibilidades entre ciertos observables (relación
de indeterminación de Heisenberg), pero en un estado mezclado nuestra falta de información es superior a la
exigida por la teoría cuántica. Por ejemplo, si se extrae un átomo de helio-3 de una cámara que contiene muchos
átomos del mismo tipo a temperatura ambiente podemos a…rmar, con seguridad casi absoluta, que el átomo se
encontrará en su estado electrónico de menor energía, que denominamos estado 1S2. En este estado tenemos el
máximo grado de información sobre las propiedades electrónicas del átomo, pero su núcleo tiene una propiedad,
que se denota por Iz (componente z del espín nuclear) que puede tomar los valores 1=2 y
1=2 con la misma
probabilidad (en ausencia de campos electromagnéticos externos). En consecuencia, diremos que el átomo se
encuentra en un estado mezclado. En cambio, si medimos Iz obtenemos, por ejemplo, el valor 1=2 el estado del
átomo pasará a ser puro, ya que, de acuerdo con las leyes de la mecánica cuántica y con la experiencia, no es
posible obtener más información sobre el átomo compatible con la que ya poseemos[2][3][4].
5.1
Integral de acción para TFD
El punto de inicio para comprender este marco teórico, se da considerando el promedio térmico de un observable
O a temperatura
1
de…nido por
hOi = Tr( O) =
1
Z
(Tre
H
O) , Z = Tr(e
H
) , (25)
la matriz densidad
corresponde a estados mezclados. Entonces, la idea básica de la dinámica de campos
térmicos es representar el promedio hOi como el valor esperado del operador O para un estado puro. Esto
requiere doblar el espacio de Hilbert de estados. Se puede observar que no se puede representar
como un
estado puro sin doblar el espacio, ya que 2 =
para un estado puro y lo que tenemos es que 2 6=
para la
matriz de densidad térmica lo cual bajo la transformación no unitaria se puede cambiar esta propiedad. Si H
y @U
0(U i
denota el espacio de Hilbert de estados, considerándolo aquí de dimensión …nita, entonces el espacio de Hilbert
para la dinámica de campos térmicos se denota por H H , donde H es una copia de H en si mismo.
Un
estado general de H H es de la forma jn; mi , en partícular se puede de…nir el vacío térmico como
1 X
j i = p
Z n
e
1
2
En
jn;ni ,
(26)
donde se ha usado una base de estados propios del Hamiltoniano y los estados j i de cada espacio de Hilbert
contribuyen a la suma, así bajo estos elementos se sigue que
1 X
h jOj i = p
Z m;n
e
1
2
(En Em)
hmjOjnihmjni ,
(27)
que corresponde a
1 X
h jOj i = p
Z n
e
1
2
En
hnjOjni = Tr( O) ,
(28)
esto porque O solo actua sobre H y hmjni = mn . De este modo el promedio térmico es expresado como el
valor esperado sobre el estado puro j i; por lo tanto la entropía termodinámica para
se presenta como una
entropía “entanglada”cuando se restringe la descripción a solo la componente H [2].
El espacio de Hilbert H se puede escoger como una copía del espacio dual de H , es decir H , esto debido a
como H = H
H =H 1
que la evolución temporal en H está dada por -H , de tal forma que el hamiltoniano completo se puede expresar
_ _
1 H , y donde el estado j i cumple con H j i = 0; el cual es independiente del
tiempo.
Ahora bien, para un campo bosónico libre con energía de partícula simple !k se puede expresar el hamilto-
niano sobre el espacio doblado de la siguiente forma
_
H =
X
k
y
!k(akak
y
akak) ,
(29)
y
operadores A, Ay tal que j i este de…nido por A j i = 0:
Además se tiene que la matriz de densidad
debe satisfacer la ecuación de Liouville
i
@
@t
= H
H , (30)
lo cual nos conduce a una integral de acción cuya ecuación variacional de movimiento corresponde a la expresión
anterior, dada por
S =
Z
dtTr
@t
UyHU)
, (31)
donde 0 es la matriz de densidad inicial y U es una matriz unitaria sobre H.
En lo anterior se ha descrito algunos elementos de la teoría dinámica de campos térmicos[2][6].
6
TFD y agujeros negros sónicos
Se intenta de forma heurística considerar la aplicación de dinámica de campos térmicos al estudio de agujeros
negros sónicos, tenemos como punto de partida el hecho de que en los agujeros negros sónicos se pueden establecer
dos regiones diferenciadas por su horizonte sónico, una región subsónica y otra región supersónica, puede en
principio establcerse una conxión simple con TFD, considerando los estados fonónicos de cada regíón como los
dos sistemas que requiere la TFD. De poderse construir este isomor…smo, se podría obtener la entropía del
~2
r2 + Vext + 2mc(x)2 ,
h0(x) + mc(x)2(e2iv(x) y y + e 2iv(x)
sistema usando esta técnica y comparar los resultados con la entropía obtenida mediante mecánica estadistica
convencional del ‡uido bosónico.
Uno de los elementos más importantes en el estudio de los agujeros negros tiene que ver con la llamada ra-
diación Hawking. en los agujeros negros sónicos se espera encontrar este fenómeno como una radiación de fonónes.
La aplicación de la TFD a los agujeros negros gravitacionales permite encontrar un espectro Planckiano como
producto de las excitaciones del vacío. De igual forma se podría sugerir la aplicación de la TFD a los agujeros
negros sónicos para intentar deducir un cuasi-espectro Planckiano de fonónes, esto es una posibilidad, también
podría darse el caso de una radiación de fotones, como se ha observado en fenómenos de sonoluminiscencia (la
sonoluminiscencia es un fenómeno físico caracterizado por la emisión de luz en líquidos sometidos a ultrasonidos.
Según la teoría más aceptada el ultrasonido genera cavidades (burbujas) que colapsan rápidamente). Este, es
un aspecto que podría estar fuertemente vínculado con los agujeros negros sónicos. En principio, la TFD sería
una buena herramienta conceptual y teórica que podría explicar este tipo de fenómenos, que a la fecha no se ha
observado propiamente en condensados Bose-Einstein[9].
Por lo tanto, según lo anterior, contamos con algunos escenarios de posible aplicación de la TFD. Como un
elemento adicional se mostrará un esquema de creación de cuasipartículas en agujeros negros sónicos[1].
6.1
Creación de quasipartículas
En términos de la segunda cuántización, el operador del campo de perturbaciones
satisface la ecuación líneal
i~ = h0(x) + mc(x)2e2iv(x)
y
,
(32)
donde
(33)
tomando encuenta que
h
h0(x) =
i
(x); y(x) = (x
2m
x) , con lo cual se puede escribir
i~ = [ ;H] ,
(34)
donde el hamiltoniano presente, es el hamiltoniano de Bogoliubov, dado por
H =
Z
dx
y
1
2
)
.
(35)
Tenemos aquí, que la hermiticidad del hamiltoniano implica que los modos propios con frecuencias complejas
aparecen en pares, cuyas frecuencias son conjugados complejos. Puede observarse esto, expandiendo el operador
de perturbación de campo
en modos de oscilación
(x;t) =
Xh
k
y
i
e i~!ktA!k;ku!k;k(x) + e i~!ktA!k;kv!k;k(x) , (36)
junto con la condición de normalización
Z
h
dx u!k;ku!
k
0
;k0
v!k;kv!
k
0
;k0
i
=
kk0
(37)
entonces con esta condición se puede expresar el hamiltoniano como
H = ~
k
Xh
y y
!kA!k;kA!k;k + !kA!k;kA!k;k
i
,
(38)
donde el unico conmutador no nulo entre estos operadores es
h
y
i
A!k;k , A!k;k =
kk0
,
(39)
ak = p (A!k;k + A!k;k) , bk = p (Ay !k;k + Ay ! ;k) ,
2 2
y
debe aclararse que en este contexto el asterisco indica que !k es un modo de oscilación diferente del modo de
oscilación !k; y el oprador A!k;k no corresponde con el conjugado hermítico de A!k;k . Por lo tanto, nínguno
de estos operadores es realmente un operador convencional de creación o aniquilación armónico. No obstante la
combinación líneal
1 i
k
(40)
y los correspondientes conjugados hermíticos son verdaderos operadores de creación y destrucción con las reglas
de conmutación estándar, entonces se puede escribir el hamiltoniano de Bogoliubov como
H = ~
k
Xh
y
Re(!k)(akak
y
bkbk)
y y
i
Im(!k)(akbk + akbk) . (41)
Según lo anterior, esto conduce a una creación auto-ampli…cada de pares de frecuancia positiva y negativa,
lo cual se parece bastante al proceso de evaporación de Hawking[4].
7
Algunos resultados
Encontramos algunos resultados obtenidos del estudio de agujeros negros sónicos, por ejemplo se ha reportado
que cientí…cos israelíes han creado el análogo sónico de un agujero negro. Como ocurre en otros campos de las
ciencias, disponer de un objeto o modelo análogo al que se quiere estudiar puede resultar una buena manera
de comprender algo que por su naturaleza no puede ser analizado directamente. Con esta idea en mente, Oren
Lahav y sus colegas, cientí…cos del Technion-Israel Institute of Technology en Haifa, Israel, han creado un
“agujero negro sónico”cuyos detalles ha sido publicados en el último número de la conocida revista Physical
Review Letters. El agujero negro en cuestión, como se ha mencionado anteriormente se basa en un condensado
Bose-Einstein compuesto por un centenar de miles de átomos de rubidio que fueron desacelerados a su estado
cuántico más bajo mediante una trampa magnética. Este grupo de átomos fríos actúa como un único objeto
macroscópico, similar a un superfotón, pero con algunas propiedades típicas de la mecánica cuántica. Uno de los
avances experimentales importantes tiene que ver con la forma de acelerar partes del condensado a velocidades
supersónicas para crear diferentes regiones en su interior. Se utilizó un láser de gran diámetro para crear un serie
de “escalones”de potencial, logrando que cuando el condensado Bose-Einstein cruce estas zonas, se acelere hasta
velocidades supersónicas. Se demuestra que el condensado podría acelerarse más de un orden de magnitud que
la velocidad del sonido, es decir a Mach 1, 2, o 3. Se reporta igulmente que se ha logrado superar la velocidad
crítica de Landau, que establece que el ‡ujo no puede exceder la velocidad del sonido. En esta con…guración,
el límite entre las regiones supersónicas y subsónicas actúa como si fuese el horizonte de eventos de un agujero
negro, por ende en la frontera de este horizonte de sucesos la velocidad del ‡ujo del condensado es exactamente
igual a la velocidad del sonido. En el lado supersónico de la barrera, la densidad del condensado es mucho menor
que en el lado subsónico, encontrandose además que a una baja densidad le corresponde una velocidad de ‡ujo
más alta, esto debido a la conservación de la masa[9].
En los experimentos se demostró que el horizonte de eventos de este agujero negro sónico era estable durante
aproximadamente 20 milisegundos, que transcurrido ese intervalo, las inestabilidades del sistema destruyen el
agujero sónico. Sin embargo, en ese tiempo se ha podido demostrar que de la misma forma que un agujero negro
atrapa fotones, la región supersónica del agujero negro sónico funciona como una e…ciente trampa para las ondas
de sonido y otras ondas, siempre que estén dentro del rango comprendido entre los 1,6 y 18 micrómetros. Las
que poseen una longitud de onda más corta puede escapar, y aquellas con longitudes de onda mayores no caben
en la región supersónica del agujero. Por lo tanto, se puede utilizar este tipo de agujero negro de sonido como
modelo para estudiar la radiación de Hawking. En la imagén se muestra una fotografía de un posible agujero
negro sónico, se aprecia la región de formación, pero es probable que la luminosidad presente no corresponda
con la radiación producida por el agujero.
Cientí…cos israelíes han creado el análogo sónico de un agujero negro. Estos objetos astronómicos son tan
masivos que su intenso campo gravitatorio impide a la luz escapar de su atracción. El agujero negro sonico
tiene un efecto similar, pero sobre las ondas sonoras. Los físicos esperan que este «engendro» les sea útil para
comprender fenómenos que tienen lugar en los agujeros negros, como por ejemplo la radiación de Hawking.
(Imagenes BBC)
Aunque los fenómenos de sonoluminiscencia se han reportado de tiempo atrás, no se conoce realmente cual es
el origen de la radiación observada, aquí si se puede decir observada ya que son varios los reportes que muestran
el fenómeno. La sonoluminiscencia fue descubierta en 1934 por H. Frenzel y H. Schultes mientras realizaban
experimentos sobre el sónar. En los años 1980 Filipe Gaitan y Lawrence Crum consiguierón producir una única
burbuja sonoluminiscente, posteriormente, en el año 2005 un experimento llevado a cabo por el equipo de D.
Flanningan permitió medir la temperatura alcanzada en el interior de la burbuja donde se pueden alcanzar
temperaturas de hasta 15:000K, y al parecer algunos experimentos muestran que se alcanzan temperaturas
superiores en torno a 106 K, pero temperaturas tan altas no han sido con…rmadas.
La sonoluminiscencia puede ocurrir siempre que una onda sonora de intensidad su…ciente, induzca o produzca
una cavidad gaseosa dentro de un líquido seguida de una contracción rápida. Esta cavidad puede tomar la forma
de una burbuja, o puede generarse a través de un proceso conocido como la cavitación, estudiada tiempo atrás,
en el ‡ujo de ‡uidos. La sonoluminiscencia en el laboratorio puede hacerse estable, para que una sola burbuja
se expanda y contraiga repetidamente una y otra vez de modo periódico, emitiendo un estallido de luz cada
vez que colapsa, fenómeno aún no claramente explicado. Para que esto ocurra, una onda acústica es ubicada
dentro de un líquido, y la burbuja se ubica a un anti-nodo de presión en la onda estacionaria. Las frecuencias
de resonancia dependen de la forma y tamaño del recipiente en que la burbuja se contiene. Los pequeños
destellos de las burbujas son sumamente cortos, entre 35 y unos cientos de microsegundos, con las intensidades
máximas del orden de 1-10 mW. Las burbujas son muy pequeñas cuando ellos emiten el resplandor, cerca de
1 micrómetro de diámetro que depende del ‡uido ambiente (por ejemplo el agua) y el gas contenido en la
burbuja (por ejemplo el aire atmosférico). Así, según lo anterior, este es un fenómeno muy particular, que en sí
mismo podría estudiarse con los elementos y conceptos propios de la TFD, y aún más profundamente buscar la
relación que tiene esto con los posibles fenómenos observados en condensados de Bose-Einstein o en los agujeros
negros sónicos. Debe aclararse aquí, que en este sistema físico no tenemos un estado cuántico puro, análogo al
condensado Bose-Einstein, ya que lo que tenemos son burbujas que colapsan en un ‡uido debido a su interacción
sónica, esto podría considerarse como un elemento importante de acercamiento con los agujeros negros sónicos.
Surgen algunas preguntas, ¿este fenómeno origina horizontes?, ¿se puede estudiar este fenómeno con ayuda de
una métrica sónica?, ¿se pueden establecer dos regiones análogas a espacios de Hilbert? entre otras. Los avances
teóricos y experimentales, se espera den respuesta a esto, pero sobre todo a los intrigantes misterios de los
agujeros negros gravitacionales.
Finalmente se ilustra una imagén de un proceso de sonoluminiscencia, el cual podría tener relación con los
agujeros negros sónicos, y con la llamada radiación Hawking[7].
Esquema del fenómeno de sonoluminiscencia. De izquierda a derecha: aparición de una burbuja, expansión
lenta, contracción rápida y emisión de luz. Esto guarda alguna analogía con una posible radiación Hawking.
(Imagenes google)
References
[1] M. Visser, Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation, Washington University, 1997,
gr-qc/9712010
[2] V.P. Nair, Thermo eld dynamics and Gravity, Physics Department City College of the CUNY New York,
arXiv:1508.00171v1 [hep-th]
[3] Y. Takahashi and H. Umezawa, Collective Phenom. 2, 55 (1975), reprintedin in Int. J. Mod. Phys. B 10,
1755 (1996); H. Chu and H. Umezawa, Int. J.Mod. Phys. A 9, 2363 (1994); for a review, see H. Umezawa,
H. Matsumoto and M. Tachiki, Thermo Field Dynamics and Condensed States (North-Holland, Amsterdam,
1982).23
[4] Garay. L., Acoustic black holes in diluite Bose-Eisntein condensates, Madrid Spain.
[5] M. Visser, “Acoustic propagation in ‡uids: an unexpected example of, Lorentzian geometry”, gr-qc/9311028.
[6] W. Israel, Phys. Lett. A57, 107 (1976); T. Jacobson, Phys. Rev. D50, 6031 (1994).
[7] M. C. José F. Ábrego López, El ultrasonido como una radiación ionizante Tesis, México, D. F., Agosto 2006
[8] Eric. A, Cornell and Carle, Wieman, Bose-Einstein condensation in a diluite gas, December 8, 2001
[9] Lev P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation, Clarendon Press, Oxford, 2003