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Elementos de la teoría de las relaciones binarias

Enviado por Aladar Peter Santha



  1. Relaciones binarias entre los elementos de dos conjuntos distintos
  2. Relaciones binarias entre los elementos de un mismo conjunto
  3. Relaciones de equivalencia entre los elementos de un conjunto
  4. Relaciones de orden entre los elementos de un conjunto
  5. Otras relaciones binarias de interés
  6. Bibliografia

Relaciones binarias entre los elementos de dos conjuntos distintos

Definición 1.1:

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Definición 1.2:

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Observación 1.2:

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Teorema 1.1:

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Teorema 1.2:

Monografias.com

Teorema 1.3:

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Teorema 1.4:

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Teorema 1.5:

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Teorema 1.6:

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Teorema 1.10:

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Relaciones binarias entre los elementos de un mismo conjunto

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Teorema 2.4:

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Relaciones de equivalencia entre los elementos de un conjunto

Definición 3.1: Una relación de equivalencia Monografias.comentre los elementos de un conjunto Monografias.comes una relación, reflexiva, simétrica y transitiva.

Observación 3.1: Según los teoremas 2.1, 2.2, 2.3 y 2.5, la relación Monografias.comentre los elementos de Monografias.comes una relación de equivalencia si, y solamente si,

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Finalmente, según los teoremas 1.10 y 1.12

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, y el conjunto de las clases se nota por Monografias.comy se dice que Monografias.comes el conjunto factor del conjunto Monografias.comcorrespondiente a la relación de equivalencia Monografias.com

Propiedades:

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La propiedad 3) significa que dos clases de equivalencia son o bien iguales, o bien disjuntas. Finalmente, las propiedades 1) y 3) implican que el conjunto Monografias.comes una reunión de clases de equivalencia disjuntas.

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Observación 3.4: Si Monografias.comy Monografias.comson relaciones de equivalencia en el conjunto Monografias.comy Monografias.comentonces es fácil comprobar que Monografias.comes también una relación de equivalencia y

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Ejemplo 3.1: Si Monografias.comes el conjunto de las rectas del plano Monografias.comy Monografias.com, la relación de paralelismo ¦ se define por:

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Es fácil verificar que esta relación es de equivalencia, la clase de equivalencia de una recta r contiene a todas las rectas paralelas a Monografias.comy se dice que la clase es una dirección en el plano.

Ejemplo 3.2: Si Monografias.comes el conjunto de los planos del espacio E y Monografias.comsea ¦, la relación de paralelismo de los planos, definida por:

Monografias.com

Es fácil verificar que esta relación es una relación de equivalencia y la clase de equivalencia de un plano Monografias.comcontiene a todos los planos paralelos a Monografias.com

Ejemplo 3.3: Si N es el conjunto de los números naturales, sea Monografias.comun número natural.

Si Monografias.comson dos números naturales, sea Monografias.comla relación definida por:

Monografias.comLos números Monografias.comtienen el mismo resto en la división entre Monografias.com

Obviamente, esta relación es una relación de equivalencia. Puesto que los restos posibles en la división entre Monografias.comson Monografias.comtendremos Monografias.comclases de equivalencia.

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Ejemplo 3.3:

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Relaciones de orden entre los elementos de un conjunto

Definición 4.1: Una relación de orden Monografias.comentre los elementos de un conjunto Monografias.comes una relación, reflexiva, anti simétrica y transitiva.

Observación 4.1: Según los teoremas 2.1, 2.2, 2.4 y 2.6, la relación Monografias.comentre los elementos de Monografias.comes una relación de orden si, y solamente si,

Monografias.com

Por analogía con los conjuntos numéricos, salvo excepciones, las relaciones de orden se designarán con el símbolo =. Así, los símbolos Monografias.comy Monografias.comse pueden sustituir por los símbolos = (menor o igual) y = (mayor o igual). Con estas nuevas notaciones, la relación = será una relación de orden si cumple las condiciones:

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Definición 4.2: Una relación transitiva entre los elementos del conjunto Monografias.comes una relación de pre-orden.

Observación 4.2: Todas las relaciones de orden son de pre-orden. Sin embargo una relación de pre-orden podría no ser una relación de orden.

Ejemplo 4.1: La relación ". El tipo de orden del conjunto ordenado de números cardinales Monografias.comes el número ordinal designado por 5. Los números cardinales y ordinales finitos se designan por los mismos símbolos.

Otras relaciones binarias de interés

Definición 6.1:

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Definición 6.2:

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Teorema 6.1:

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Teorema 6.2:

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Bibliografia

[1] P. M COHN, , M??, , 1968.

[2] John L. Kelley, , 1968.

[3] Ion D.Ion, N. Radu, ALGEBRA, EDITURA DIDACTIC?, BUCURESTI, 1970

[4] C. Flament, Cahiers du Centre d"études de Rechers Opérationnelle, 1962

[5] A. Kaufmann, M Précigout, Elemente de teoria multimilor si algbra moderna, Editura Technica, Bucuresti.

[6] Alexandru Froda, Introducere ?n algebra moderna, Editura Stiintifica Bucuresti, 1968.

[7] Boubaki, N, Livre I, Herrmann, Paris.

[8] KAZIMIERZ KURATOWSKI, Introducere ?n teoría multimilor si ?n topologie, Editura Tecnica, Bucuresti, 1969

[9] Izu Waisman, Fundamentele Marematicii, Editura Didactica si Pdagogica,Bucuresti,1968

[10] Mauricio Telias H.,Introducción al algebra, Univercidad de Chile, 2015

 

 

Autor:

Aladar Peter Santha


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