(Gp:) an
Diagrama de bloques (3)
Para la función de transferencia de un sistema de orden n
Solución mínima (son n retardos)
Definición: Sucesión Pulso Unitario
Respuesta al pulso y convolución (1)
Consideremos un sistema en tiempo discreto, causal, lineal e invariante en el tiempo, S:
La sucesión {uk} la podemos considerar como la suma de infinitas sucesiones:
(Gp:) S
(Gp:) u(k)
(Gp:) y(k)
(Gp:) k
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) k
(Gp:) u0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) u1
(Gp:) u2
(Gp:) …
(Gp:) k
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) u1
(Gp:) …
(Gp:) k
(Gp:) u0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) …
=
+
+
…
(suma de pulsos unitarios ponderados)
Respuesta al pulso y convolución (2)
Si llamamos {hk} a la sucesión de salida cuando aplicamos a la entrada {?k}, entonces, como el sist. es lineal e invariante:
Si el sistema es causal
y el término yk sólo depende del efecto de entradas anteriores.
Basta conocer la respuesta al pulso unitario, {hk}, para caracterizar al sistema.
La salida se obtiene como la convolución discreta de la entrada con la respuesta al pulso unitario.
Respuesta al pulso y transferencia
Teorema: Convolución discreta
Si lo aplicamos al resultado anterior
se obtiene
Tenemos que la función de transferencia es la Transformada Z de la respuesta al pulso unitario.
Todo lo anterior se extiende para más de 1 entrada y 1 salida, y hablamos de sucesiones de vectores y de una matriz de transferencia.
Modelo en variables de estado (1)
Consideremos modelos en tiempo discreto, de la forma:
y ?, ?, C y D matrices de dimensión adecuada.
Conocidos el estado inicial y la entrada a partir de ese estado inicial, se puede saber cómo evolucionan el estado y la salida.
Novedoso: la 1ª ecuación, conocidos el estado y la entrada actual, se tiene el estado siguiente.
¿C y D no cambian? Recordemos que la 1ª ecuación en tiempo continuo era una integral, en tanto que la 2ª ecuación era
, y muestreada en t = k.T queda como arriba.
Modelo en variables de estado (2)
Si aplicamos la Transformada Z al M.V.E.:
Trabajamos la 1ª:
Luego:
De aquí se deduce:
Cada elemento de la matriz de transferencia, es la función de transferencia entre un elemento de la entrada y uno de la salida; es una función racional en z, con gr(num) ? gr(den), y un denominador común a todos: el polinomio característico de ?, o sea
Modelo en variables de estado (3)
Otra forma de resolverlo es aplicar la recursividad:
El primer término representa la contribución del estado inicial, y los restantes la de la entrada.
Muestreo y retención de señales (1)
Muestreador ideal (sampler)
Genera una sucesión de valores e(k) a partir de una señal de tiempo continuo:
Recordar Teo. de muestreo de Shannon (T < 1/(2.fmax)
Es un sist. lineal e invariante en los instantes de muestreo.
Muestreo y retención de señales (2)
Mantenedor de orden cero (MOC)
Es el que vamos a usar.
Genera una señal en el tiempo continuo, escalonada, a partir de una sucesión de valores.
Es un sist. lineal e invariante en los instantes de muestreo.
Muestreo de sist. continuo: TM (1)
Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Sea un sist. en tiempo continuo caracterizado por su función de transferencia G(s).
(Gp:) G(s)
(Gp:) u(t)
(Gp:) y(t)
¿Cómo se relacionan las Transf. Z de las señales de entrada y salida en esta configuración?
(Gp:) G(s)
(Gp:) u(t)
(Gp:) y(t)
(Gp:) MOC
(Gp:) yk
(Gp:) uk
(Gp:) T
Muestreo de sist. continuo: TM (2)
Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Demostración
1) El nuevo sist. es lineal e invariante en los instantes de muestreo (todos sus componentes lo son).
Luego, la función de transferencia existe y es única.
2) Elijo una señal particular, conveniente a la entrada: un escalón unitario
Pues la salida del MOC es un escalón unitario en tiempo continuo.
3) Veo la relación entre transformadas Z de entrada y salida.
Muestreo de sist. continuo: TM (3)
Muestreo de sist. continuo: TM (4)
Relación entrada-salida:
Teorema de la Transmitancia Muestreada
Ejemplo
Nota:
(Gp:) G(s)
(Gp:) y(t)
(Gp:) MOC
(Gp:) yk
(Gp:) ek
(Gp:) T
(Gp:) uk
(Gp:) wk
(Gp:) H(s)
(Gp:) T
(Gp:) +
(Gp:) _
Muestreo de sist. continuo: MVE (1)
Modelo en variables de estado
Sea un sist. en tiempo continuo caracterizado por su representación en variables de estado.
¿Cómo se relacionan las matrices A y B con las matrices ? y ?, para esta nueva configuración?
(Gp:) u(t)
(Gp:) S
(Gp:) y(t)
(Gp:) MOC
(Gp:) yk
(Gp:) uk
(Gp:) T
(Gp:) xk
(Gp:) T
(Gp:) x(t)
(Gp:) x0
Muestreo de sist. continuo: MVE (2)
Modelo en variables de estado
La solución para el sistema en tiempo continuo es:
Considerando como instante inicial t0 = k.T y como instante de evaluación t = (k + 1).T
u(?) vale u(k.T) en el intervalo [k.T; (k + 1).T), luego
Hago un cambio de variable s = (k + 1).T – ?
Muestreo de sist. continuo: MVE (3)
Modelo en variables de estado
Sustituyendo:
De donde
(Gp:) xk+1
(Gp:) z-1
(Gp:) ?
(Gp:) yk
(Gp:) uk
(Gp:) xk
(Gp:) D
(Gp:) ?
(Gp:) C
(Gp:) +
(Gp:) +
Estabilidad (1)
Estabilidad BIBO
Un sist. discreto es estable en el sentido entrada acotada – salida acotada, BIBO estable, si para toda entrada acotada y cualquier condición inicial, la salida es acotada.
Teorema
El sistema es BIBO estable
? todos los autovalores ? de la matriz ?
tienen módulo menor que 1, o sea
? todos los polos (las soluciones de ) están dentro del círculo unitario.
Nota: Recordar que
y que
(Gp:) 1
(Gp:) -1
(Gp:) j
(Gp:) -j
Estabilidad (2)
Relación de los polos del sist. en tiempo continuo y discreto
Los polos del sist. en tiempo continuo se transforman en polos del sist. discreto con z = es.T (recordar que )
Luego, un polo en s = 0, se transforma en un polo en z = 1
1
-1
j
-j
Criterios de estabilidad (1)
Necesitamos criterios que nos digan si el módulo de los polos de la función de transferencia es menor que 1.
Habrá que transformar los criterios para tiempo continuo:
1) Routh-Hurwitz
2) Nyquist
3) Lugar de las raíces
4) Respuesta en frecuencia
Sólo veremos criterios que nos permitan decidir sobre la estabilidad y no valorar la estabilidad relativa.
Criterios de estabilidad (2)
Acabo de agregar n polos en w = 1. Debo sacarlos.
Routh-Hurwitz modificado
Si d’(w) tiene todas las raíces en el semiplano izquierdo, entonces d(z) tiene todas las raíces dentro del círculo unitario.
Se aplica el criterio de estabilidad de R-H a:
Cambio de variable (transf. de Möbius) que mapea el interior del círculo unitario (en z) en el semiplano izquierdo (en w).
(Gp:) 1
(Gp:) -1
(Gp:) j
(Gp:) -j
(Gp:) 0
(Gp:) w
(Gp:) z
Si el polinomio característico es:
Criterios de estabilidad (3)
Criterio de Juri – Schur – Kohn
Si a0 > 0, el sist. es estable ? los a0k, k = 0, 1, … , n-1 son >0.
Para determinar si un polinomio tiene todas sus raíces dentro del círculo unitario.
Criterios de estabilidad (4)
Criterio de Juri – Schur – Kohn
Si ningún a0k es nulo, entonces el nº de a0k negativos es igual al número de raíces fuera del círculo unitario.
Si todos los a0k son positivos (k = 0, 1, … , n-1), entonces a00 >0 es equivalente a las condiciones:
Estas condiciones son necesarias para la estabilidad y pueden usarse antes de formar la tabla.
Criterios de estabilidad (5)
Criterio de Juri – Schur – Kohn
Estable ?
Ejemplo:
(Gp:) 1
(Gp:) -1
(Gp:) 1
(Gp:) -1
(Gp:) a2
(Gp:) a1
Control (1)
Hasta ahora nos preocupamos esencialmente por las herramientas y el análisis de sistemas dados.
Pero, ¿cómo diseñamos una función de transferencia (o la ecuación en diferencias) de un controlador digital que satisfaga las especificaciones de diseño de un cierto sistema de control?
Especificaciones
Error en estado estacionario
Se mejora agregando polos en z = 1 a la función de transferencia en lazo abierto y/o aumentando la ganancia de lazo abierto.
Contrapartida: se compromete la estabilidad.
Respuesta transitoria
Para sist. de 1er y 2º orden hay fórmulas para tR, tS y sobretiro.
Se mejora la velocidad aumentando el ancho de banda.
Contrapartida: se incrementa la repuesta al ruido.
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