Ecuación de Schrödinger

Erwing Shrödinger aprovecho los postulados de la dualidad onda-partícula de Louis de Broglie y la relación de energía de Max Planck para expresar la ecuación de Shrödinger onda-materia en una dimensión dependiente del tiempo de la forma:

(1)

Ahora se mostrará que la función de onda dada por la expresión:

(2)

satisface la ecuación (1).

Entonces, sustituyendo (2) en (1), resulta:

(3)

(4)

Ahora:

(5)

Sustituyendo (4) y (5) en (1), resulta:

Simplificando la relación anterior se obtiene:

En donde el operador aplicado a la función de onda ( (x , t) esta dado por:

Lo cual confirma que efectivamente la ecuación (2) es una solución de la ecuación de Schrödinger y en particular para una partícula libre se satisface:

Ahora para la ecuación (1) consideraremos la solución de forma:

Separando variables.

Para la parte espacial:

y la parte temporal:

(6)

De manera que:

(7)

Diferenciando (6) y (7), se obtiene:

(8)

(9)

Sustituyendo (8) y (9) en (1), resulta:

Simplificando resulta:

O bien de la forma:

(10)

En donde:

E: Corresponde a la energía total de la partícula y es constante.

V (x): Corresponde al potencial y que no contiene explícitamente al tiempo.

Cabe mencionar que la ecuación (10) solo se aplica a campos conservativos.

Aplicando el operador hamiltoniano que aparece en la Mecánica Clásica para la función H (p, x), para un sistema físico que se expresa de la forma:

(11)

Un caso particular de la relación (11) corresponde para cualquier solución dada por la función ( cuando se aplica el operador H, que se expresa de la forma:

De manera al que la relación (10) se expresa de la forma:

(12)

Observe que la ecuación anterior es independiente del tiempo.

En el caso tridimensional.

Entonces, la ecuación (10) se expresa de la forma:

En cuyo caso el operador Hamiltoniano en este caso se escribe:

O bien:

(13)

Por analogía de la ecuación (13) con el operador de momento correspondiente a la parte de la energía cinética, en el caso de que la partícula se desplace en un espacio esta dado por las componentes de momento:

Así, el operador E en su dependencia temporal considerando su consistencia lógica con la ecuación (1) esta dado por:

La ecuación de Shrödinger corresponde a una ecuación de onda desde el puno de vista formal.

El significado físico, de la función de onda representada
por, considera el hecho del
carácter de la partícula material que puede ser medido por la
función de onda, en donde se miden cantidades físicas como por
ejemplo campo eléctrico y magnético y dicha función de
onda describe la posición de la partícula en el espacio y el tiempo.

Por otra parte la función de onda contiene una interpretación probabilística en dada por la relación:

En donde:

es la función conjugada de (

es proporcional a la probabilidad por longitud de encontrar a la partícula.

La probabilidad de encontrar a la partícula dentro de un elemento
de longitud d x esta dada por la expresión:.
La condición de normalización para una dimensión en general
esta dada por:

En el caso más general para un elemento de volumen:

Se puede decir que la ecuación de Shrödinger representada por la relación (1), es equivalente a la segunda ley de Newton en el caso de la mecánica clásica.

La mecánica cuántica incorpora con la relación de incertidumbre de W. Heisenberg expresada por:

En donde se establece un limite en la precisión en la medición entre las variables p y x, debido al pequeño valor de h (constante de Planck). En donde no podemos predecir exactamente el movimiento de partícula ya que su posición y su velocidad no pueden ser medidas simultáneamente con precisión y por lo tanto en este caso no se establece el principio deterministico de la mecánica clásica. En este caso solo se evalúa la probabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en una posición y un tiempo dado.

BIBLIOGRAFÍA.

Alonso M. y Finn E., Física Vol. III Fundamentos Cuánticos Y Estadísticos Edit. Addison- Wesley Iberoamericana (1986)

Acosta V., Cowan C. Y Graham B., Essenctials of Modern Physics, Edit.
Harper & Row, Publishers, Inc., (1973).

Autor:

José Jesús Mena Delgadillo