Algunos apuntes sobre didáctica de la matemática (página 3)

• Planificar las diferentes tareas que resolverá el estudiante ante el computador, con el objetivo de que estas sean lo mas eficientes posible.

Luego la selección de los contenidos que se abordarán habrá una planificación minuciosa de las tareas a realizar por el estudiante en el computador; con estas tareas el alumno obtendrá el conocimiento a través de la formación de conjeturas, que luego se demostrarán matemáticamente con los conocimientos que posee del curso desarrollado. También es en este momento donde se planificarán las actividades que debe realizar el profesor en el aula con los alumnos, con el objetivo de trabajar sobre el potencial que cada uno tiene.

Se propone el siguiente plan para el trabajo en el aula:

• 1. La primera columna contiene la "acción" que hay que efectuar directamente con la barra de botones de sistema de Geómetra.

• 2. La segunda columna especifica los conceptos involucrados y las implicaciones de las acciones anteriores. Forman el núcleo de la actividad y deben presentarse y discutirse hasta su completa asimilación. Esto es de gran importancia, por cuanto es precisamente esta presentación y discusión la que proporcionará la actividad directa por parte del alumno y que a su vez, posibilitará la asimilación de los conceptos y procedimientos que enumeran en esta columna.

• 3. La tercera columna contiene sugerencias didácticas, posibles exploraciones y actividades complementarias que se pueden realizar.

• Llevar un registro individual donde se recojan los avances y dificultades de cada estudiante.

Este punto resulta interesante, ya que el registro individual le facilitará al profesor un control más exacto de cada uno de los alumnos del grupo, lo que propiciará planificar de una manera más eficiente las próximas actividades a desarrollar con el estudiante. Para este aspecto el profesor puede apoyarse en la opción "historial", que tienen los programas de geometría dinámica.

Además de la computación, la utilización del video y la TV también pueden ser útiles en las clases de matemática, concebir el planteo de problemas a partir de datos que se ofrezcan en algún documental vinculado con la economía, desarrollo social o político, la apreciación de las representaciones geométricas en la naturaleza, las obras de arte, la arquitectura u otras, la apreciación de documentales de la vida u obra de científicos e investigadores que realizaron aportes a esta u otra ciencia con el empleo de la modelación matemática son aspectos que contribuirían a la motivación y el despertar del interés por el trabajo con las matemáticas, además de mostrar el origen objetivo del conocimiento matemático.

Algunas sugerencias sobre la evaluación en Matemática

Respecto a la evaluación en el proceso de enseñanza – aprendizaje, es factible verla con una interrelación dialéctica entre la evaluación del proceso y la evaluación del resultado donde, además de aportar datos cuantitativos obtenidos a través de instrumentos, el juicio de la evaluación se sostenga aportando la valoración de estos datos y de la información que el docente va obteniendo sobre la adquisición y desarrollo del aprendizaje por parte de los alumnos durante todo el proceso, por lo que evaluar es algo más que recoger datos, es además un juicio que se va formando de manera continua y cualitativa.

La evaluación es un proceso que ayuda al profesor a comprender mejor lo que los estudiantes saben, a tomar decisiones docentes significativas y lograr una mejor adecuación a la realidad del alumnado. La atención se centra en lo que ocurre en el aula con la interacción de profesores y alumnos. Por tanto la evaluación actual propone cambios que sean más allá de una simple modificación de los exámenes.

A la hora de proceder a la concepción de la forma de evaluación de una unidad didáctica cualquiera, es necesario que el docente tenga presente que los instrumentos evaluativos deben capacitarlo para estudiar la forma que tienen los alumnos de percibir ideas y procesos matemáticos y la capacidad que demuestran de funcionamiento en un contexto matemático. Al mismo tiempo deben contribuir a que el profesor pueda identificar áreas concretas que resulten problemáticas o de potencialidades, con el objetivo de mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

Existen variadas técnicas de evaluación, incluyendo preguntas de opción múltiple, de respuesta corta, de discusión o abiertas; entrevistas estructurales o libres, trabajos en casa; proyectos; diarios; ensayos; escenificaciones, y exposiciones en clases. Entre estas técnicas las hay que son adecuadas para que los estudiantes trabajen de forma individual, en grupos reducidos o con el grupo clase entero. El modo de evaluación puede ser escrita, oral o ante el ordenador.

No todos los estudiantes tienen la misma percepción ni las mismas características de pensamiento. Un método de evaluación que sólo ponga atención en un tipo de tarea o en un modelo de respuesta no ofrece un indicador fiable de actuación, ni permite que cada estudiante demuestre su propia capacidad. Por ejemplo, un examen de opción múltiple con limitación de tiempo que puntúe el reconocimiento rápido de la opción correcta puede perjudicar a los alumnos más reflexivos, mientras que los problemas no estructurados pueden resultar difíciles a los estudiantes que hayan tenido poca experiencia con la exploración y la generación de ideas. Confiar exclusivamente en un solo tipo de evaluación puede ocasionar frustración en los estudiantes, disminuirles la confianza en sí mismos y causarles ansiedad e incluso rechazo ante la Matemática.

En ocasiones una tarea de resolución de problemas que resulta apasionante para unos, supone para otros un ejercicio de memoria. Si se quiere que los estudiantes actúen a su nivel máximo de capacidad, la medida por la que se les va a valorar debe darles la oportunidad de hacerlo, y debe animarlos a ello.

Se precisa de una evaluación que permita evaluar, además de conocimientos y procedimientos, modos de actuación, actitudes y valores. Se deben tener muy claro cuáles son los conceptos, procedimientos y actitudes que deben aprender los alumnos; no se evalúan del mismo modo unos que otros.

Para planear aprendizajes que sigan una secuencia, es preciso verificar lo que saben los alumnos y la eficacia de las estrategias didácticas empleadas, a través de entrevistas, debates, tareas, pruebas, etc. Si un concepto o una estrategia tiene alta prioridad en el descubrimiento de aprendizajes más avanzados, los alumnos deben comprenderlo por completo antes de dar paso a un nuevo trabajo.

El control se fortalece mediante una valoración adecuada. Esta valoración se realiza, ante todo, mediante el elogio, la crítica pero también mediante la calificación. Para el éxito de la evaluación el alumno debe reconocer por qué fue elogiado o criticado o el porqué de su calificación; el hecho de que el alumno conozca los aspectos no logrados de su superación, para los nuevos aprendizajes, y que no resolverlos implica que presente dificultades en la asimilación del nuevo conocimiento, le permitirá trazar sus propias estrategias de solución, asimismo lograr que las ayudas que se le ofrecen tengan un mayor sentido para sí, además de hacerse consciente del estado del desarrollo de sus habilidades para fundamentar, para demostrar, para sintetizar. La primera batalla contra los bajos resultados se logra aquí.

Por supuesto que la efectividad de la evaluación depende en gran medida de considerarla una importante base para la planificación de la enseñanza de la Matemática y una condición previa para el trabajo individual de los alumnos descubriéndoles sus dificultades y potencialidades, y mostrándoles la forma de aumentar sus esfuerzos.

En la propuesta, por tanto, se propone cambiar dialécticamente la evaluación como proceso y como resultado, la evaluación formal y la informal, la cualitativa y la cuantitativa.

Desde luego todo esto le imprime al proceso evaluativo la necesidad de emplear diferentes estrategias como son:

• Establecer una comunicación asertiva con los estudiantes de manera que se posibilite el conocimiento entre los diferentes sujetos.

• No separar los momentos de evaluación de los de enseñanza – aprendizaje.

• Hacer énfasis, por diferentes vías, en aquellos aspectos que el alumno debe descubrir o comprender.

• Dejarle claro al alumno las actividades a ejecutar de manera independiente.

• Se sugiere que los alumnos realicen por sí solos producciones de conocimientos ( mapas conceptuales, resúmenes, gráficos, etc. ) permitiendo que el profesor se retroalimente constantemente de cómo marcha el aprendizaje del alumno y al alumno emplearse en su aprendizaje.

• Negociar de manera afable con los estudiantes para que éstos se impliquen y acepten la evaluación como una necesidad de mejorar su aprendizaje.

• Necesidad de aplicar variadas formas e instrumentos para adquirir la información del proceso de aprendizaje y sobre todo que la evaluación sea motivadora, de forma tal que hagan surgir tanto las potencialidades como limitaciones de los alumnos.

La reflexión en la unidad didáctica debe llevar a decidir el qué, cómo y en qué momento evaluar y estas reflexiones contribuyen a la toma de decisiones para lograr un proceso evaluativo que arroje verdaderamente el estado del aprendizaje de los estudiantes.

Para este último componente la propuesta se refiere a:

• Diseño y selección de tareas encausadas a valorar la comprensión y dominio alcanzados en conocimientos concretos.

• Diagnóstico y corrección de errores conceptuales, procedimentales y actitudinales.

• Cuestiones relevantes que controlar, detección de carencias en el uso de las representaciones y en las tareas de traducción.

• Tareas abiertas enfocadas a valorar la comprensión global y las estrategias de alto nivel.

• Sistemas para obtener información sobre el conocimiento adquirido por los alumnos, seleccionarla y registrarla.

• Métodos adecuados para la valoración del aprendizaje alcanzado y de las actitudes desarrolladas por los alumnos.

Debido a que una de las formas de plantear las evaluaciones es a través de ejercicios de selección múltiple, que con frecuencia es empleada para medir el aprendizaje de nuestros alumnos en innumerables controles aplicados por las instancias superiores, es conveniente que se realice un uso más sistemático por parte de los docentes de este tipo de evaluación de manera que los estudiantes se preparen o entrenen para enfrentarse a las mismas.

Este tipo de evaluación tiene sus particularidades, por lo que a través de un ejemplo mostraremos el proceder para su confección, ya que la selección múltiple no puede llevar a plantear respuestas que no tengan una relación adecuada con la posible lógica de errores que los alumnos pueden cometer en dependencia de sus creencias y que la admiten como válidos, de manera que podamos precisar luego donde está el error y este pueda ser atendido hasta que se solvente (aquí está presente el denominado seguimiento al diagnóstico), no obstante somos del criterio que esta evaluación no puede concebirse de manera aislada sino que debe aparecer combinada con el intercambio conversacional con el alumno para saber qué lo llevó a realizar esa selección y no otra.

EJEMPLO:

Ante la pregunta o ejercicio siguiente:

¿Por qué se escogen estas opciones y no otras?

• Cuando se plantea el inciso a) es porque los alumnos que afirman que 2 (–3) =0.002 se debe a lo que se conoce por deslizamiento de la memoria a aquellas respuestas que son ocasionadas por recordar equivocadamente las convenciones relativas a los exponentes negativos. En este caso el recurso del estudiante es recordar las ocasiones de uso de este tipo de expresiones lo cual lo lleva a la notación científica de los números. Se destaca esta interpretación del exponente negativo, pues posee un elemento de coherencia relacionado con la semántica de los números negativos, ya que los alumnos relacionan el exponente (- 3) con el proceso de "mover la coma a la izquierda".

Lo anterior está fuertemente relacionado con la estrategia que utilizan muchos estudiantes de asociar una transformación en el signo del exponente (asociada a la noción de negatividad).

Otras de las causas por la que escogen esta opción es que sí reconocen que 2 (–3) = ½3 , pero lo que no saben es convertir en expresión decimal la fracción ½3 ; como ese número es positivo y menor que uno, entonces tiene la forma 0,… y el exponente indica tres lugares después de la coma (0,002).

• En el inciso b) se presenta una respuesta que se produce por lo que se conoce como persistencia de operaciones simples, que consiste en las respuestas que recurren a al suma, resta, multiplicación o división entre la base y el exponente. La noción de exponente es vista con frecuencia como la cantidad de veces que debe multiplicar la base, que la potenciación es un conjunto de operaciones de multiplicación "tantas veces como lo indica el exponente", ante la imposibilidad de utilizar este conocimiento en 2 (–3), se ven en la necesidad de buscar otro modelo, pero como hemos señalado, la noción ha sido presentada como cierto número de multiplicaciones, consecuentemente los estudiantes eligen la multiplicación y expresan que 2 ·(- 3) = – 6.

Otra de las causas de que los estudiantes seleccionen esta opción (al igual que la tercera) es la creencia que poseen de que si la potencia de un número con exponente positivo es positiva, entonces la potencia de un número con exponente negativo es negativa.

• Para el caso presentado en el inciso c) los argumentos para establecer tal igualdad son coherentes con la enseñanza de la noción del exponente natural y con una concepción del (- 3) como un número natural con un signo menos junto a él. De ahí que los estudiantes plantean que 2 (–3) = – 8 ya que 23 = 8 y se le coloca el signo.

Otra de las causas por la escogen esta opción es por lo que se conoce como persistencia del modelo de multiplicación reiterada, o sea, recurren al modelo 2n = 2·2·2 (n veces). Los estudiantes asumen que cuando el exponente es negativo se puede interpretar a través del modelo de multiplicación reiterada. A ello se agrega la concepción que tienen de los enteros negativos como un número natural con un símbolo menos asociado. En este caso, ante la disyuntiva de no saber cómo multiplicar (– 3) veces la base 2 recurren a otro modelo y multiplican 3 veces la base (- 2); entonces operan de la siguiente forma: 2 (–3) = – 8 ya que (-2) · (-2) · (-2) =-8.

• Con respecto al inciso d) es la respuesta correcta y presupone que el estudiante además de conocer que una base elevada a un exponente negativo es equivalente a una fracción donde el numerador es la unidad y el denominador es la base elevada al valor absoluto del exponente inicial, realiza la conversión de esta fracción a expresión decimal, sin ninguna dificultad aparente.

Observen ustedes que incluso ante una respuesta incorrecta el error puede ser motivados por más de una razón, de ahí la necesidad de insistir con otra técnica para cerciorarse de cuál ha sido la verdadera causa del error y poder plantearse una estrategia adecuada para solucionar su falsa concepción.

De esta manera es recomendable que cuando se elaboren estos tipos de evaluaciones se debatan en colectivo todos los posibles errores que pueden cometer los alumnos y se seleccionen adecuadamente las opciones que se les plantearán de manera que facilite el diagnóstico profundo de cada alumno, sin importar que el número de opciones exceda de cuatro, como clásicamente se plantea.

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Autor:

Dr. C. Juan José Fonseca Pérez.

Universidad de Las Tunas.

Dr. C. Michel Enrique Gamboa Graus.

Universidad de Las Tunas.