Sigamos con nuestro ejemplo, poniendo ahora c.i.:
Supongamos las c.i.:
La solución para
(s,0) será:
Igualando a la c.i.:
De modo que la única solución particular posible es:
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Método de las características
Casi-lineal de primer orden:
o
Podemos expresar las curvas
características en forma
paramétrica con x(t) e y(t).
Pero para resolver el sistema
necesitaríamos conocer
u(x(t),y(t)) = u(t), que es justamente
la solución que queremos encontrar.
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Método de las características
Sistema característico:
Recurriendo a la propia EDP:
Obtenemos una tercera ecuación para u(t).
Este sistema describe tanto las
curvas características como el
comportamiento de la solución a
lo largo de ellas.
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Método de las características
Si estamos frente a un problema de Cauchy, tendremos además:
Para resolverlo, observemos que para cada s deberemos resolver el problema
de Cauchy del sistema de EDOs:
Cuya solución tendrá la forma general:
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Fijamos s para aplicar las c.i.:
Resolvamos un ejemplo:
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Demuestra que si la condición inicial hubiera sido:
entonces la solución sería:
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Método de Lagrange
Se trata del método de las características pero en coordenadas
cartesianas, en vez de paramétricas:
Las tres ecuaciones se pueden
combinar para obtener:
Si se pueden integrar directamente, el método nos proporciona
la solución de manera muy sencilla.
Ejemplo:
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Ecuaciones semi-lineales de segundo
orden en dos variables
Integrando:
Y volviendo
a integrar:
Nota: Comprueba que obtenemos el mismo resultado si
comenzamos a integrar respecto a y en vez de x.
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Añadamos ahora una condición inicial:
Necesitamos otra condición no redundante con la anterior para
conseguir una solución particular…
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Incompatible
El motivo es la incompatibilidad de las c.i.
Si derivamos la primera:
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Características en ecuaciones semi-lineales
de segundo orden en dos variables
Ecuación diferencial para las curvas
características
Ecuación parabólica: existirá una
familia uniparamétrica de características.
Ecuación elíptica: no existirán curvas
características.
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