- Introducción
- Matemáticas financieras
- Interés compuesto
- Valor presente y descuento
- Fondos de amortizaciones
- Gradientes
Introducción
El campo de la administración a través de la historia ha presentado una evolución totalmente significante, la existencia de diferentes investigaciones acerca del campo de la administración basaron su enfoque y atención, en cada uno de los pasos que la comprenden, aportando cada vez más ideas que complementaron las de mejoras necesarias para la organización, destacando el control como modelo que ayuda a la mejorara del proceso administrativo. Diseñando así; un modelo propuesto con un enfoque en aspectos de planeación, organización, dirección–liderazgo y control para obtener resultados eficientes para el bienestar organizacional.
Matemáticas financieras
INTERÉS SIMPLE
Conceptos básicos y ejercicios:
Interés Simple: Se define como el interés que se paga sólo sobre el capital prestado, este se emplea en préstamos a corto plazo. Se calcula de la siguiente forma:
La notación puede variar dependiendo del autor, por ejemplo:
Villalobos (2003) cita 
ó 
Pastor, (1999) refiere 
Lo importante es el significado de cada variable, por lo que en este caso se usara la siguiente fórmula:
Ejemplo: Una Empresa de Limpieza, necesita pedir un pequeño préstamo para poder pagar un pedido al proveedor porque no le alcanza con lo que tiene en ese momento, así que pide a una caja popular un préstamo por $50,000.00 a pagar a tres meses con una tasa del 18% anual.
Aplicamos la fórmula, quedando de la siguiente manera:
Concluyendo: Una persona que pide un préstamo en las condiciones observadas en el ejemplo, estará pagando un interés de $2,250.00 lo largo de tres meses y al final la persona pagará $52,250.00 para liquidar su préstamo a la caja popular.
VALOR FUTURO:
Se define como la suma total de dinero a pagar al final de un periodo de préstamo sin ningún monto capitalizado. A este total lo llamaremos monto y será identificado con la letra (S). Se representa de la siguiente forma:
Ejemplo: Una Compañía de electrónica compra a su proveedor $30,000.00 en mercancía para su tienda abarrotera, pagando $12,000.00, de contado la entrega, el resto a pagar en cuatro (4) meses con un interés del 13.5% anual. ¿Cuánto deberá pagar a su proveedor para liquidar su deuda?
Aplicando la fórmula tenemos que:
Concluyendo: Del escenario anterior tenemos que, por los $18,000.0 que se adeudara, al cabo de cuatro (4) meses con una tasa de interés del 13.5%, deberemos pagar la cantidad de $18,809.99 para liquidar nuestra deuda.
VALOR PRESENTE
Cuando se desea liquidar la deuda antes de la fecha acordada
Cuando se realiza una compra a crédito pero luego se tienen la posibilidad de pagarlo antes del tiempo establecido se aplicar la siguiente fórmula para calcular el valor presente de dicha compra:
Ejemplo: Mariana desea compran una máquina para incrementar su producción, con un valor de 55.000Bs en 7 meses, con un interés del 23%. Calculando el monto total a pagar:
El costo total de la maquina al finalizar los 7 meses es de 62379,17Bs; pero si Luis puede cancelar la maquina en un plazo de 4 meses; es decir se estará ahorrando 3 meses de interés.
Se calcula así:
Mariana al adelantar su deuda cancelara Bs. 58987.39, ahorrándose Bs. 3391.78.
Cuando no podemos pagar en la fecha acordada
Lo que pasaría si las ventas no resultan como se espera y a pesar de tener mayor capacidad de producción las ventas caen drásticamente advirtiendo no poder pagar el equipo en el plazo acordado.
ECUACIONES DE LOS VALORES EQUIVALENTES CON INTERÉS SIMPLE:
Cuando se tiene la necesidad de renegociar la distribución de los pagos de una deuda surge esta aplicación, ya que dependiendo de las necesidades del deudor se tendrá la posibilidad de movilizar los pagos a través de tiempo. Se toman como referencia los pasos para la renegociación planteados por Pastor (1999):
Determinar una fecha a la cual podamos comparar las operaciones a realizar la cual llamaremos fecha focal.
Calcular el valor de la deuda a esa fecha con la fórmula del Valor Esquema Original.
Calcular con base a esa fecha focal las opciones de pago al proveedor.
Por último determinar cuánto es el monto de cada pago renegociado a través de la fórmula del Valor Nuevo Esquema.
Antes de definir las opciones de pago se realiza una línea de tiempo:
EJEMPLO: Considere una Empresa de Servicios que adeuda $280,000.00 para pagar en seis meses. La tasa de interés es del 18% anual. ¿Cuánto debe pagar la empresa, si el pago lo hace tres meses antes del vencimiento?
Calculado el valor presente de la deuda total tenemos:
En caso de que la empresa lo pague tres meses después de su vencimiento:
Se debe calcular el valor futuro partiendo del punto focal
Interés compuesto
Conceptos básicos y ejercicios:
La metodología para el cálculo del interés compuesto es similar al interés simple. En todo momento se trabajará con la expresión 
Lo que hace diferente este tema, es desde luego la capitalización de las tasas y el incremento de "P" en "n" tiempo con "i" tasa.
Ejemplo: Dado los siguientes datos aplique metodología d interés compuesto.
DIFERENCIA: Así, si denotamos por "i" a la tasa de interés por el período de capitalizaciones, el monto del capital invertido después de "n" períodos de capitalización es 
En esta fórmula, la tasa de interés se especifica por el período de capitalización. En la práctica financiera, lo más común es expresar la tasa de interés de forma anual e indicando el período de capitalización. Ejemplo de ello, podemos decir que tenemos una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente. O la misma tasa del 18% capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente.
Cuando la tasa de interés se especifica nominalmente, se tiene:
En donde "i" es la tasa nominal, "m" el tipo de capitalización por año y "n" el número de capitalizaciones que comprende el plazo de la inversión. Haciendo uso en este caso, de la siguiente ecuación:
Esto es Capitalizable mensualmente (se incluye directamente la tasa mensual):
Capitalizable trimestralmente (se incluye directamente la tasa trimestral):
Valor presente y futuro:
El Valor presente es el valor que posee un bien o servicio en la actualidad mientras que el valor futuro no es otra cosa, que el valor que tendrá una inversión en un tiempo posterior (siempre va del presente al futuro).
Ejemplo: Suponga una inversión para una pequeña empresa de 150,000, a tres (3) años con una tasa del 7.8%, calcular el valor futuro.
A lo largo de tres años el valor futuro de la inversión será $187,908.98
Tasa de rendimiento y descuento:
Conceptos básicos:
La tasa de interés: Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos financiados.
La tasa de rendimiento: Se refiere a la tasa que el inversionista espera obtener de sus inversiones, claro está, antes de la carga tributaria. Si buscamos los componentes que son base para la determinación de la tasa de rendimiento que ofrecen los instrumentos de inversión, podríamos decir: que la tasa de rendimiento debiera exceder a la tasa de mercado en proyectos de riesgo. Como función lineal, situaríamos a la tasa de rendimiento como:
En resumen, la tasa de rendimiento es el premio que se espera recibir, mientras que la tasa de descuento se refiere a un índice de rendimiento utilizado para descontar
El Cete
Se puede calcular de dos maneras:
A partir de su tasa de rendimiento:
Tasa de Interés:
Conceptos básicos:
Tasa nominal y tasa efectiva: La tasa nominal es la tasa pasiva sin capitalizar. La tasa efectiva es la que resulta de capitalizar la tasa nominal, la cual depende de los períodos de capitalización (diario, semanal, mensual, semestral o anual). La relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva se puede expresar de la siguiente forma:
También se puede calcular de la siguiente manera: Si f es la tasa efectiva, i la tasa de interés por el período de capitalización y por m al número de períodos, entonces:
Ejemplo: Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal mensual del 12%.
Tasa real: Representa la utilidad neta de una inversión de capital. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en la siguiente formula:
Valor presente y descuento
El valor presente compuesto, su descuento e inflación. Recordando:
Cuando la fecha de pago del adeudo es mayor, se utiliza la fórmula de valor presente utilizando interés compuesto. Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa "x" y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro. Podemos decir que, a la diferencia entre el valor del monto que se requiere para saldar una deuda y su valor actual neto o presente, le denominaremos descuento compuesto.
INFLACIÓN
Esta variable explica el cambio del valor de una moneda, en el tiempo. En períodos de inflación alta, nos pasa a perjudicar nuestro bolsillo y caso contrario cuando la inflación es baja no se reciente tanto, En la práctica, todo negocio requiere ser analizado con la inclusión de todas las variables macro y micro que pudiesen afectarnos. Ante esto, La Tasa de Inflación constituye una medida para evaluar el valor de la moneda en determinado período.
Ejemplo: Una inflación anual del 10% eleva en promedio el precio de un bien de "x" cantidad a "1.10x" entre un período y otro. Si el precio actual de un producto es "y" pesos, entonces el año anterior en promedio sería de y/1.10. Señala un error que es muy común en la práctica, ya que se pensaría que el año anterior, el valor de 100 pesos, era de 90. El verdadero significado es, que lo que hoy vale 100, hace un año hubiera sido de
ANUALIDADES
Conceptos Básicos:
Anualidades: Se refiere a una serie de flujos normalmente de un mismo monto y períodos iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo más importante, no necesariamente deben ser de periodicidad anual, sino mensual, quincenal, bimestral etc. El tiempo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, se refiere al intervalo de pago o intervalo de abono según sea el caso que se desee calcular. Y el tiempo del contato se refiere al plazo de la anualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer y último de los pagos o abonos.
Tipos de anualidades:
Ordinarias: Son aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en la actividad financiera y comercial, Las características de éste tipo de anualidades son:
Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo de pago.
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago.
El plazo inicia con la firma del convenio.
Procedimiento: Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Cuando las tasas de interés cambian en el lapso del tiempo, se buscara el VF de la anualidad de la siguiente forma: Calculando VF1, VF2, VFn, esto es, cuantas veces cambie la i, la fórmula se modifica en los siguientes términos.
Para calcular el tiempo "n" en valor futuro
Para calcular el tiempo " – n" en valor presente neto
Para calcular la tasa de interés "i"
En Valor Futuro o Monto
En Valor Presente Neto
Anticipadas: Son aquellas anualidades que son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, toda vez que los pagos se hacen por anticipado, salvo que el deudor (en caso de alguna compra a plazos) desee liquidar por adelantado sus pagos. Estos se hacen a inicio del convenio y así sucesivamente hasta el final del convenio. Las características de este tipo de anualidades son:
El plazo inicia con la firma del convenio.
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago.
Los pagos o abonos se realizan al inicio de cada intervalo de pago.
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.
Variables que se utilizan en este apartado:
Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos).
Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos).
Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad).
Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12).
Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i).
Tiempo.
Procedimiento: Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Para calcular el tiempo "n" en el valor futuro o monto de una anualidad anticipada
Para calcular el tiempo "- n" en valor presente neto de una anualidad anticipada.
Si obtenemos un resultado con decimales: ejemplo 5.78 esto quiere decir que son 5 pagos de una cantidad "x" y 1 pago por la diferencia. Para ello se trae a valor presente el importe de los pagos:
Diferidas: Son poco utilizadas este tipo de anualidades, aunque cabe resaltar que con frecuencia son utilizadas para vaciar los inventarios, esto es, cuando las empresas quieren rematar su mercancía de temporada, surgen las ofertas de "compre ahora y pague después". Las características de este tipo de anualidades son:
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago.
El plazo da comienzo en una fecha posterior al de inicio del convenio.
Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos).
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos).
A ó R p : Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad).
M: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12).
I: Tasa de Interés (la i que integra el factor de acumulación o descuento (1+i ).
K = diferimiento (tiempo en que se difiere el pago) utilizado en valor presente.
Procedimiento: Para calcular el monto de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
En anualidad diferida, se toma de la fórmula de la anualidad ordinaria:
Generales: Entramos a una modalidad de anualidades que por sus características particulares, son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, los pagos o abonos no coinciden con la capitalización, de ahí que tengamos que calcular tasas equivalentes. Las características de este tipo de anualidades son:
El plazo inicia con la firma del convenio o apertura de cuenta de ahorros o inversión (en su caso).
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad.
Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos).
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos).
A ó R p: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad).
m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12).
I: tasa de interés equivalente (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento) (1+i).
Procedimiento: Para calcular el monto o valor futuro de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo.
Siguiendo el mismo esquema que las anualidades ordinarias, recordaremos que es muy probable que las tasas de interés cambien en el lapso del período, ante ello debemos realizar cálculos parciales utilizando tasas equivalentes para: VF1, VF2, VFn, conforme cambien las tasas.
Para calcular el tiempo "n" ó " – n"
Para calcular la tasa de interés "i equivalente"
Amortizaciones
En la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). El financiamiento o crédito adquirido debe reembolsarse en un plazo que previamente haya quedado establecido, sea en cuotas uniformes periódicas vencidas o anticipadas, o con cuotas que se incrementan de manera proporcional.
NPV = Valor presente de la deuda.
Rp = el pago periódico.
i = la tasa de interés.
m = la capitalización.
n= el tiempo o número de pagos
Fondos de amortizaciones
Conceptos básicos:
Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del "Fondo de Amortización" se hace necesaria.
Procedimiento:
Para calcular el monto que se desea obtener en el tiempo "n" a una tasa "i" es necesario conocer el importe de los depósitos o abonos periódicos, por lo que debemos utilizar la fórmula del monto de la anualidad ordinaria si los depósitos los hacemos al final de mes.
En su caso si los depósitos se hacen a principio de mes, se utiliza la fórmula del monto de la anualidad anticipada.
M = Monto deseado.
i = la tasa de interés nominal.
m = la capitalización.
n= el tiempo o número de depósitos.
A = el abono o depósito mensual.
Gradientes
Conceptos Básicos:
Son una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen, sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo incluso a perpetuidad.
La clasificación de este tipo de rentas periódicas variables es:
Anualidad ó Rentas periódica con gradiente aritmético: La cuota periódica varía en progresión aritmética (A+ ga ó Rp + Ga).
- Anualidad ó Rentas periódica con gradiente geométrico: La cuota periódica varía en progresión geométrica (A* ga ó Rp * Gg).
Variables que se utilizan en este apartado:
Mga ó VFga= Valor Futuro o Monto de una serie de cuotas con gradiente: aritmético o geométrico (de la suma de unos pagos abonos).
A ó Rp= Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad).
Vaga= Valor actual del conjunto de rentas periódicas.
i= Tasa de Interés nominal (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i).
m= Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12).
n= Tiempo.
- Ga= Es el gradiente aritmético.
Gg= Es el gradiente geométrico.
Rp1= Anualidad o Renta periódica número 1.
Es una serie de cuotas periódicas o flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. La notación para la serie uniforme de cuotas:
- El gradiente (Ga) es una cantidad que aumenta o disminuye (puede ser positivo o negativo).
- Rp: es la cuota periódica 1.
- La representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.
- n: tiempo (número de cuotas periódicas).
Para conocer el Valor Actual se tiene la siguiente fórmula:
Para conocer el valor futuro tenemos que:
Gradientes geométricos:
La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o flujos de caja que aumentan o disminuyen en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m)
Gradiente aritmético-geométrico:
El monto acumulado de esta serie aritmética y geométrica está dado por la siguiente ecuación:
Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico.
MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada.
MGg = El monto acumulado de la anualidad anticipada.
A1 = la primera cuota.
n = el número de cuotas.
i = es la tasa nominal (normalmente es anual).
i/m = La tasa capitalizable.
- Gg = El gradiente geométrico.
Conclusiones
El factor de riesgo de una inversión estará representado a través de diferentes indicadores de variabilidad, de los posibles retornos en torno al valor medio o esperado de los mismos y a su vez del riesgo que viene dado por la desviación de la función de probabilidad de los posibles retornos. Cada decisión de inversión tiene dos componentes de riesgo, uno depende de la propia inversión relacionada con la empresa y el tipo de sector de inversión, llamado Riesgo diversificable y otro establecido por el mercado en general y afecta a todas las inversiones del mercado, conocido como Riesgo no diversificable.
En el proceso de toma de decisiones competentes a las inversiones, se buscara minimizar el riesgo, aplicando una eficiente diversificación del riesgo y una correcta medición del no diversificable. La medida del Riesgo no diversificable, vincula los retornos del mercado con los de una inversión en particular. La Tasa de retorno requerida, siempre será la tasa mínima de rendimiento exigida para una inversión aceptada. En la determinación de esta tasa se deben tener en cuenta todos los factores internos y externos que influyen en la decisión de inversión.
Bibliografía
Libros y Manuales: Finanzas, Contaduría y Administración
Unidad Multidisciplinaria: CIEA. Libros de Texto: 05/2010
GARCIA SANTILLAN A., (2010) "ADMINISTRACION FINANCIERA I" Edición electrónica. Texto completo en www.eumed.net/ ISBN.
ASESOR ACADÉMICO: MSc. Ing. Iván J. Turmero Astros
CIUDAD GUAYANA, MAYO DE 2017
Autor:
María Pérez.
Talisa Griffith.
Virginia Basanta.
Siomis Coa.