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Transformaciones no singulares




  1. Resumen
  2. Introducción
  3. Antecedentes
  4. Materiales y métodos
  5. Resultados
  6. Discusión
  7. Conclusiones
  8. Referencias bibliográficas
  9. Anexos

Resumen

En la presente monografía, se hace una descripción de las diferentes transformaciones y sus respectivas aplicaciones al campo de la geometría; y está orientado principalmente al desarrollo de la demostración que toda transformación rígida es una transformación no singular, para el cual seguimos el siguiente procedimiento, alcanzando progresivamente los siguientes resultados:

  • Definiremos primeramente las transformaciones como traslaciones, rotaciones, y la reflexión.

  • Definiremos transformaciones rígidas y demostraremos que las traslaciones, rotaciones, y la reflexión son transformaciones rígidas.

  • Demostraremos que toda transformación rígida es univalente y por lo tanto son no singulares.

Con estas herramientas y la definición de transformaciones no singulares, lograremos demostrar que toda transformación rígida es una transformación no singular y finalmente anexaremos a la presente algunas definiciones adicionales y teoremas demostradas que complementan a nuestro estudio.

SUMMARY

In this paper, a description of the different transformations and their applications in the field of geometry is made; and it is directed mainly to the development of the demonstration that all rigid transformation is a non-singular transformation, for which we follow the following procedure, gradually reaching the following results:

• First define transformations as translation, rotation, and reflection.

• Define rigid transformations and show that translations, rotations, and reflections are rigid transformations.

• Demonstrate that any rigid transformation is univalent and therefore are not unique.

With these tools and the definition of non-singular transformations, we will demonstrate that any rigid transformation is a non-singular transformation and finally attach it to present some additional definitions and theorems demonstrated that complement our study.

Introducción

Una transformación no singular, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, y la reflexión. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir o aumentar el tamaño y cambiar la posición de la figura.

Cuando un problema geométrico es operativo, extenso o engorroso al ser resuelto por ciertos métodos, muchas veces es más ventajoso someter a la figura, o parte de ella, a una o más transformaciones, que facilite la resolución o que lo transforme en uno más sencillo o en todo caso que sea conocido.

Éstas se encuentran presentes en las actividades cotidianas, al vernos en el espejo, en el funcionamiento del ventilador o cuando ampliamos o reducimos una imagen en la fotocopiadora; la simetría o reflexión respecto a una línea es la que se aprecia en una imagen natural producida en la superficie quieta de un lago; cuando un camión se desplaza, todo sus elementos se trasladan simultáneamente.

Una de las aplicaciones a la realidad son las transformaciones que se utilizan en la medicina, en el estudio de imágenes, por ejemplo las transformaciones rígidas son convenientes para el caso de registro tipo intermodalidad-intrasujeto el que permite la complementación de la información proveniente de ellas. Así, podemos obtener la localización precisa, gracias a las modalidades anatómicas, de la información funcional que nos presentan las modalidades funcionales.

Antecedentes

En este trabajo presentaremos el surgimiento y la evolución de la noción de transformación. Este estudio nos parece importante visto el rol de las transformaciones en la geometría moderna y el esclarecimiento que puede aportar en cuanto al lugar que debe ocupar este tema en la enseñanza de la geometría.

La Geometría de Euclides, más allá de la exposición deductiva que la caracteriza y de una descripción teórica de la realidad, domina todo el período comprendido entre la antigüedad y la geometría de Hilbert a fines del siglo XIX.

Como es sabido, el libro I de los Elementos comienza con una lista de definiciones, postulados y nociones comunes (Euclides, 1591). Estas primeras definiciones dadas por Euclides hacen referencia a cierta percepción de los objetos de la realidad, y su rol es exponer los fundamentos de la geometría basándose en el sentido común. Es decir, corresponden a descripciones idealizadas de objetos del mundo real, o que se puedan concebir a partir de su observación.

Analicemos la Proposición, que hoy llamamos primer criterio de igualdad de triángulos, donde se describe una práctica utilizando movimientos que perderá su carácter empírico para tomar la forma de teorema: "Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro, y tienen iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales, tendrán también las respectivas bases iguales, y un triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, serán también iguales respectivamente." (Euclides-Libro I). Estas proposiciones o criterios de igualdad de triángulos son a la vez de orden empírico y fundadores de un método racional, ya que enuncian condiciones de igualdad que van a permitir el desarrollo del método deductivo. Para Euclides, según mi criterio, no hay concepto de transformación, se limita a establecer correspondencia entre los elementos de dos figuras mediante la superposición para afirmar la igualdad de las mismas.

Descartes (siglo XVII) introdujo en la geometría las nociones de variable y de función. La imagen de variable doble acondiciono la penetración reciproca de la geometría y el álgebra.

La variable cartesiana fue el punto de viraje en la matemática, a partir del cual el movimiento y la dialéctica forman parte de la matemática. El método de coordenadas se considera como el logro principal para el desarrollo de la geometría analítica, el cual fue elaborado conjuntamente con Pierre Fermat (1601 -1665)

Guirard Desargues (1593 - 1662) y Blais Pascal (1623-1662) crearon la geometría proyectiva sintetica; luego Lazare N. M. Carnout (11753-1823) dio grandes aportes en su obra Goemetrie de position (1803) en su Essair sur lae transversales (1806)

Evolución de la noción de transformación:

Los problemas de representación de los objetos del espacio y los problemas de sombra fueron preocupación de los pintores y artistas del Renacimiento. La descripción del mundo real se convirtió en el objetivo de la pintura. Los artistas emprendieron el estudio de la naturaleza para reproducirla fielmente en sus lienzos y se enfrentaron al problema matemático de presentar el mundo real tridimensional en un lienzo bidimensional.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) (fue el primer artista que estudió y utilizó intensivamente las matemáticas), Leonardo da Vinci (1452- 1519) (quien escribió su obra "Tratattodella pintura" sobre la perspectiva, publicado recién en 1651) y Durero (1471-1528), se preocuparon por una representación exacta de la naturaleza.

De todos los artistas del Renacimiento, el mejor matemático fue el alemán Albert Durero quién escribió un libro sobre geometría: "Instrucción en la medida con regla y compás" (1525), para ayudar a los artistas sobre la perspectiva.

Materiales y métodos

Fuentes internas:

  • Biblioteca de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional "San Luis Gonzaga" de Ica.

  • Bibliografía básica y complementaria del autor.

Fuentes externas:

  • Biblioteca de la U. N. M "San Marcos".

  • Consultas por Internet.

  • MÉTODOS:

Tal como ocurre en todas las áreas de la Matemática, propias de las ciencias formales, el método utilizado es el científico (inductivo-deductivo) y el método de Razonamiento Directo.

Utilizamos el método científico para construir conceptos, propiedades y proposiciones acerca de las transformaciones no singulares; el de razonamiento directo e indirecto para el desarrollo y aplicación de teoremas.

Resultados

Este trabajo de investigación tiene como soporte una Base Teórica en la cual brindo una serie de observaciones y sugerencias, que presento a continuación:

  • CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Discusión

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  • SOBRE LAS APLICACIONES EN LA GEOMETRÍA

En la geometría cuando para resolver diferentes problemas de congruencia de triángulos, "se dice que son congruentes si uno puede transformarse en el otro mediante una transformación rígida (no singular)". Lo mismo diríamos para cuando son segmentos de recta, cuadriláteros o poligonales cualesquiera.

Una transformación rígida no es más que simplemente una transformación que preserva la distancia, la matemática intenta mostrar que cualquier movimiento de un cuerpo rígido puede dividirse en una secuencia de traslaciones y rotaciones respecta un eje de coordenadas fijo.

  • SOBRE LAS APLICACIONES EN LA VIDA

En la robótica, un sistema mecánico son aquellos en los cuales la inercia de los cuerpos se toma en cuenta. Los elementos que constituyen los sistemas mecánicos son cuerpos rígidos y deformables, fluidos compresibles e incompresibles. Estos sistemas pueden ser naturales o creados por el hombre.

La importancia de las imágenes médicas es bastante conocida ya que su aplicación es un componente vital en el diagnóstico de enfermedades. Las imágenes con las que se trabaja para la realización de una concordancia geométrica. La correspondencia espacial entre las imágenes se denomina registro a través de una serie de transformaciones geométricas de una de las imágenes. Transformaciones Rígidas: son aquellas en las que se producen rotaciones y traslaciones de la imagen original. En tres dimensiones esto supone tres traslaciones y tres rotaciones posibles, por lo que también se denomina transformación de 6 parámetros. Este es el tipo de transformación conveniente para el caso de registro tipo intermodalidad-intrasujeto.

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Conclusiones

Los resultados obtenidos y el análisis efectuado en la discusión hacen posible señalar las conclusiones siguientes:

Toda transformación rígida es una transformación no singular. Aplicar transformaciones y usar simetría para analizar situaciones matemáticas. Describir tamaños, posiciones y orientaciones de figura a las que se han aplicado transformaciones no formales como: saltos, giros, deslizamientos y alargamientos o acortamientos

Referencias bibliográficas

[1]. HASSER N.-LA SALLE J. SULLIVAN J. Análisis Matemático; volumen 1-2 . Editorial Trillas-México-1974

[2]. GUERRERO M. Oscar. Cinética del cuerpo rígido.

[3]. GARCÍA J. F José. Estudio Comparativo de Métodos de Interpolación Para el Cálculo de la Información Mutua e Registro de Imágenes Médicas. Universidad Politécnica de Cartagena-Colombia

[4]. GARBAYO, E. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

[5]. A. VENERO B.; Introducción al análisis matemático; Ediciones Gemar SC.R.L; Lima, 1983

[6]. E. ARTIN; Algebra Geometrica; Editorial Limusa; Mexico, 1992

Anexos

  • TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES

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Autor:

Flora Martinayalle Rojas.


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