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Errores y análisis numérico

Enviado por Pablo Turmero



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En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los: MÉTODOS NUMÉRICOS Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar APROXIMACIÓN SOLUCIÓN ANALÍTICA: Puede NO tener Puede ser DIFÍCIL o COSTOSA (objetivos) MÉTODOS NUMÉRICOS Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL

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MÉTODO NUMÉRICO Resolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES. OBJETIVO (Gp:) Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema. (Gp:) ALGORITMO (Gp:) RECORDEMOS (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) Es un (Gp:) ALGORITMO (Gp:) diseñado para dar respuesta (Gp:) problema con una PRECISIÓN prescripta. (Gp:) NUMÉRICA (Gp:) a un (Gp:) DIREMOS (Gp:) CÁLCULO NUMÉRICO (Gp:) EVALÚA los (Gp:) MÉTODOS NUMÉRICOS (Gp:) diseñados. (Gp:) OBJETIVO

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El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera. DIREMOS ¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución “exacta”) son los resultados? O ¿Qué tanto ERROR se ha introducido? (Gp:) NOS PREGUNTAMOS (Gp:) Si el cálculo aproxima a la solución “exacta”:

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(Gp:) TRATAMIENTO INFORMACIÓN (Gp:) RESUMIMOS (Gp:) ENTRADA INFORMACIÓN (Gp:) PROCESO INFORMACIÓN (Gp:) SALIDA INFORMACIÓN NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES (Gp:) DATOS (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) RESULTADOS FUENTES DE ERROR Distintos ERRORES en cada ETAPA. (Gp:) ERROR (Gp:) ERROR (Gp:) ERROR Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL. ¿Cómo MEDIMOS el ERROR?

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MAGNITUD DEL ERROR CUANTIFICAMOS el ERROR: Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor real, entonces: e = | VA – VV | eR = | ( VA – VV ) / VV | con la condición VV ? 0 ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO ABSOLUTO eP = 100.| ( VA – VV ) / VV |(%) con la condición VV ? 0

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS EJEMPLOS MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO (Gp:) Siendo VA una aproximación de VV (de la definición de ERROR RELATIVO) (Gp:) Si d es el mayor número natural tal que | ( VA – VV ) / VV | < 10-d/2 VA es una aproximación a VV con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS (Gp:) VA = 3.14 y VV = 3.141592 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000507 < 10-2/2 VA es una aproximación a VV con 2 cifras significativas. (Gp:) VA = 999 996 y VV = 1 000 000 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000004 < 10-5/2 VA es una aproximación a VV con 5 cifras significativas. (Gp:) VA = 0.000012 y VV = 0.000009 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.25 < 10-0/2 VA es una aproximación a VV con 0 cifras significativas.

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(Gp:) PROCESO (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) ALGORITMO COMPUTACIONAL FUENTES DE ERROR ERRORES ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo). (Gp:) Tiempo ERROR DE REDONDEO (espacio). ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO. Es decir: TIEMPO FINITO (ALGORITMO) ESPACIO FINITO (COMPUTADORA) (Gp:) INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL (Gp:) Introducimos restricciones: (Gp:) Espacio RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.

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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE TRUNCAMIENTO SURGEN debido a la limitación en TIEMPO. Debemos realizar un número finito de acciones. EJEMPLOS: Evaluar funciones con la Serie de Taylor. Proceso iterativo convergente. Evaluar por intervalos. Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS. NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO TRUNCAR

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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE REDONDEO SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio). Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos. En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA. X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10n , 1=d1=9 y 0=di=9 d1 d2 d3 …. dm: mantisa n: exponente Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.

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El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777 Errores REDONDEO TRUNCADO REDONDEO SIMÉTRICO El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene

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ERROR NUMÉRICO TOTAL ERROR NUMÉRICO TOTAL Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo. DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA ERROR DE TRUNCAMIENTO ERROR DE REDONDEO Error de truncamiento Significa número de operaciones Error de redondeo

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There are 10 types of people in the world: those who understand binary and those who don't. 2

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