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La matemática de las expediciones cosmológicas

Enviado por Pablo Turmero



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Resumen Las cuestiones relativas a la forma de la Tierra, la estimación de su radio, la determinación de las trayectorias planetarias en torno al Sol y la medición de un grado de meridiano, entre otras, precisaron de los conocimientos matemáticos que se conocían en las correspondientes épocas en que fueron estudiadas. Una hipotética expedición actual a un punto del Universo, si fuese necesario, para constatar alguna predicción cosmológica también precisaría de ellos. El análisis del bagaje matemático empleado para corroborar o refutar estos misterios del Cosmos de nuestro pasado y, sobre todo, el que hoy usaríamos para dilucidar hipotéticas cuestiones sobre cómo es nuestro mundo, serán el objetivo de nuestra ponencia. Es posible que tras nuestro análisis lleguemos a la conclusión de que es más difícil conjeturar algún aspecto cosmológico que el corpus de conocimiento matemático necesario para su constatación o refutación.

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1. La forma de la Tierra En la antigüedad la forma de la Tierra fue inicialmente objeto de especulaciones mitológicas y religiosas que dieron paso a una correcta formulación científica y posterior solución. Al parecer los primeros intentos se dirigieron sobre la suposición de que la Tierra era plana. Semejante hipótesis aún hoy suscita dudas, y a este respecto se cuenta ([6], p.3) que en una conferencia sobre Astronomía dada por Bertrand Russell, éste relataba como la Tierra giraba alrededor del Sol mientras que éste a su vez daba vueltas sobre nuestra galaxia. Una señora se levanta y dice que todo lo que ha contado Russell es un tremendo disparate y que realmente el mundo es una placa más o menos plana sostenida por el caparazón de una tortuga gigante. Russell le pregunta con sorna, ¿ sobre qué se sostiene la tortuga? La Señora responde, Vd. se cree muy agudo, ¡pero hay tortugas hasta el fondo!.

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Ahora bien, constataciones experimentales de tipo elemental tales como, por ejemplo, la visión de un barco que se acerca a la orilla, donde lo que primero vemos es su mástil y por último el casco, dieron en postular la esfericidad de la Tierra y este supuesto fue ampliamente aceptado en el mundo científico de la Antigüedad griega a partir del siglo V a.C. Ahora bien, ¿cual fue la matemática que se usó para probar la esfericidad de la Tierra?. Por otra parte, la cuestión subsiguiente era la determinación del radio de la Tierra, la distancia al Sol, etc. Las respuestas a estas preguntas las obtendremos de lo que hemos dado en llamar la expedición de Eratóstenes.

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1.1.  La Expedición de Eratóstenes Eratóstenes de Cirene, siglo III a.C. ([1]), fue autor de un tratado llamado Sobre la medida de la Tierra, que se perdió, aunque lo esencial nos fue trasmitido, entre otros, por Herón y Ptolomeo de Alejandría. En dicho tratado se recogen las estimaciones más precisas de la antigüedad sobre el tamaño esférico de la Tierra. Eratóstenes diseñó un modelo simple bajo el supuesto de que la Tierra era una esfera y que sobre los puntos de un meridiano, una circunferencia, por tanto, la luz del Sol producía sombras diferentes. A continuación realizó una expedición a dos ciudades, Syena (cerca del actual Assuan, Egipto) y Alejandría, basada en un hecho que anualmente se repetía, consistente en que en el día del solsticio de verano, al mediodía, el sol incidía en vertical sobre el fondo de un pozo de la localidad de Syena. Al mismo tiempo en Alejandría, situada en el mismo meridiano y a una distancia de 5000 estadios (medida griega equivalente a 185 metros), el sol proyectaba una sombra tal que la distancia angular del Sol al cenit era la cincuentava parte de un círculo completo (ver figura 1).

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Entonces, fácilmente de aquí se deducía que la circunferencia de la Tierra debía ser cincuenta veces la distancia entre ambas ciudades, por tanto de 250000 estadios o, aproximadamente, de unos 46000 kilómetros. Ahora bien, la expedición de Eratóstenes consiguió, a su vez, dar una estimación de los tamaños reales del Sol y de la Luna , que eran necesarios para la confirmación del modelo heliocéntrico de Aristarco. Es decir, el simple modelo matemático de Eratóstenes basado en una elemental igualdad entre ángulos correspondientes permitió justificar una teoría física, nada trivial, que se adelantó en 1500 años a la de Copérnico, que a su vez constituyó la base de la Física moderna. Para mejor comprender la significación de la expedición de Eratóstenes, expongamos el modelo matemático de la teoría de Aristarco.

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Z ? S A ? A = Alejandría S = Syena Z = Cenit ? = Distancia angular del sol al Cenit (Reflejo de la sombra) (FIGURA 1)

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1.2. El heliocentrismo de Aristarco La teoría heliocéntrica de Aristarco de Samos, siglo III a.C. (unos 30 años anterior a Eratóstenes) ([1]) consistió en afirmar que el Sol era el centro de un sistema sobre el que giraban la Tierra y los otros planetas, es decir, esencialmente coincidente con el modelo copernicano que es, como es bien conocido, nuestro modelo real actual constatado físicamente. El modelo de Aristarco se perdió, pero fue relatado por Arquímedes y Plutarco. Aristarco, un poco antes de escribir su teoría heliocéntrica, publicó un tratado geocéntrico titulado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna, donde encontramos, usando lenguaje actual, la observación de que la razón de la distancia de la Luna a la Tierra, a la distancia del Sol a la Tierra es igual a sen 3º (ver figura 2). Puesto que las tablas trigonométricas no estaban desarrolladas, Aristarco tuvo que deducir este valor por medio de un bien conocido teorema de la época que expresado, asimismo en lenguaje actual, establece que la siguiente cadena de desigualdades: sin ?/sin ? < ? / ? < tg ? /tg ?, 0< ?< ? < 90º es cierta.

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Por tanto 1/20 < sin 3 < 1/18, concluyéndose que la distancia de la Tierra al Sol es algo mayor que 18 veces, pero menos de 20 veces, la distancia de la Tierra a la Luna. Aunque estas apreciaciones están lejos de las actuales, unas 400 veces, resultan notablemente mejores que las que Arquímedes atribuye a Eudoxo y a Fidias, padre de Arquímedes. Además, el método de Aristarco es absolutamente riguroso conteniendo tan sólo el error (ajeno totalmente al método matemático) en la medición del ángulo STL (figura 2) que es en realidad de unos 89º 50’.

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Toda vez que las distancias relativas al Sol y a la Luna fueron determinadas quedaba pendiente la cuestión de sus tamaños. Puesto que el Sol y la Luna tienen aproximadamente el mismo tamaño aparente, es decir, se ven bajo el mismo ángulo por un observador desde la Tierra, se puede medir el cono de sombra en?n eclipse lunar y en virtud de la semejanza de triángulos, se llega a las siguientes relaciones entre los radios RT, RS y RL de la Tierra, del Sol y de la Luna, respectivamente 108/43 < RT/RL < 60/19 y 19/3 < RS/RT < 43/6

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Ahora, el modelo de Aristarco quedaba validado por la aportación del conocimiento del radio de la Tierra, obtenido como hemos visto en la expedición de Eratóstenes. De esta manera comprobamos que el corpus de conocimiento matemático de la época fue suficiente para confirmar el modelo de Aristarco, ya que la ausencia de tablas trigonométricas no fue obstáculo para dar una estimación del seno de 3º ya que, como dijimos, fue utilizado el teorema sobre la relación entre senos, ángulos y tangentes.

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A nuestro juicio, lo realmente meritorio fue la propuesta del modelo heliocéntrico de Aristarco, en un tiempo donde lo primordial no era el conocimiento real, físico, de los fenómenos de la naturaleza sino su ajuste deductivo sometido a las leyes de la Geometría desde una pureza lógica absoluta y, desde luego, donde cualquier tipo de experimentación no era bien considerada. L S 3º LT/ST = sen 3º 87º T (FIGURA 2)

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2. La esfericidad de la Tierra Toda vez que desde la antigüedad fue admitida que la Tierra tenía forma esférica, en el siglo XVIII se planteó si realmente ésta tenia esa forma geométrica de manera perfecta. Aunque claramente esto no podía ser, dado que los movimientos del péndulo eran diferentes dependiendo de la latitud y, de forma mas precisa, de la gravedad. Por tanto había que dilucidar si la Tierra era alargada por los polos, como preveía la teoría de los vórtices de Descartes o, por el contrario, estaba achatada como pronosticó Huygens y asimismo la propia teoría de Newton implicaba.

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