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La matemática de las expediciones cosmológicas (página 2)

Enviado por Pablo Turmero



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2.1. El meridiano de Paris. La expedición de los Cassini Hasta el primer tercio del siglo XVIII el sistema cosmológico imperante estaba basado en la teoría cartesiana de los vórtices. Sin embargo, Newton ([9]) demostró matemáticamente en su Libro II de los Principia (Proposición LIII. Teorema XLI, p. 651) que si los planetas fuesen impulsados por los vórtices, entonces sus velocidades en el afelio serían mayores que en el perihelio, y esto contradice las leyes de Kepler. Por tanto, la conclusión mas inmediata y con posibilidad real de constatación experimental era que la Tierra debería estar achatada en los polos.

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De este modo, el principio del siglo XVIII, y durante unos 50 años, se convirtió en el periodo donde el tamaño y la forma de la Tierra fueron objetivo primordial de investigación por parte del Observatorio Astronómico de Francia dirigido por Domenico Cassini.

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El primer informe, tras la medición de grados del meridiano de Paris desde Dunkerque hasta Colliure, fue dado por Jacques Cassini bajo el título “De la grandeur et de la figure de la Terre” . La conclusión fue errónea, resultaba que la forma de la Tierra era la de un esferoide alargado por los polos. Bien debido a los errores cometidos en el proceso de triangulación, bien a causa de la escasa longitud del meridiano en el suelo francés, o bien a consecuencia de la poca precisión de los aparatos empleados, fue obtenida esta falsa interpretación sobre la variación de las longitudes del meridiano con la latitud.

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2.2. Las expediciones de La Condamine-Maupertuis De una parte los que apoyaban el trabajo de los Cassini y por otra los partidarios de Newton, obligaron a que se implicasen la Academia de Ciencias de Paris y la Secretaría de Navegación en la revisión de la medición del meridiano. Sin embargo, las diferencias, que debían ser pequeñas, podrían ser puestas de manifiesto de forma óptima si se median arcos de meridiano en los polos y en el ecuador terrestre.

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A tal efecto se organizaron dos expediciones, una a Laponia, al valle del río Tornio, dirigida por Moreau de Maupertuis e integrada por Celsius, Clairaut y De Monnier, como figuras mas sobresalientes, y la otra con destino Ecuador, entonces perteneciente al Virreinato del Perú, a la ciudad Mitad del Mundo. Esta última expedición, de mayor interés para nosotros, fue dirigida por Charles Marie de la Condamine y en ella participaron Godin, Bouguer, Hugot, Jussieu, Verguin, y, por parte española, Jorge Juan y Antonio de Ulloa.

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Dado que esta última expedición iba a desarrollarse en territorio de la Corona de España, fue preceptiva la autorización del monarca español Felipe V, quien tras el dictamen favorable del Consejo de Indias, lo comunicó al rey francés Luis XV, y asimismo exigió que dos marinos españoles formaran parte de la expedición. La elección de la parte española recayó en Jorge Juan y en José García del Postigo, quien a la postre no pudo llegar a tiempo y fue sustituido por Antonio de Ulloa, y aunque fueron en calidad de asistentes de los científicos franceses, ambos marinos españoles llegaron a alcanzar unos niveles de conocimientos físicos, matemáticos y de navegación realmente considerables producto de su esfuerzo y, sin duda, de la influencia de los insignes científicos franceses de la expedición.

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2.3. La Matemática que se empleó en la medición del meridiano por parte de Jorge Juan En la expedición al Virreinato del Perú, como era conocida esta inmensa región americana, se tomaron cuidados y muchas precauciones a fin de evitar los errores cometidos en la medición del meridiano francés. Para esta nueva misión eligieron el meridiano desde Pueblo Viejo hasta Cuenca (Ecuador), alrededor de unos 400 kms entre las dos cadenas montañosas de los Andes que penetran en este país. Las estrellas de referencia seleccionadas (con una realmente bastaba) fueron ? de Orion, ? de Antinous y ? de Aquarius, con el objeto de promediar los cálculos debido a las correcciones introducidas por la aberración de la luz y por desajustes de los aparatos de medida, etc.

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Los resultados de las mediciones efectuadas sobre el meridiano del Ecuador correspondiente a un grado fueron el equivalente a 110,640 Kms. Puesto que las medidas, también para un grado, en el meridiano de Paris fueron de 111,190 Kms, y finalmente el de Laponia de 111,946 Kms, se concluyó que en efecto la Tierra estaba achatada por los polos, que las conclusiones de los Cassini no eran correctas, y definitivamente quedaban pues confirmadas las predicciones de Huygens y de Newton. La cuestión subsiguiente era si la Tierra tenía forma o no de elipsoide.

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Dado que las medidas sobre el meridiano estaban hechas, el problema era ahora de carácter exclusivamente matemático y posteriormente de contraste experimental. En lo que sigue, expondremos el trabajo correspondiente a esta cuestión realizado por Jorge Juan en sus Observaciones Astronómicas.

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Supuso que la Tierra tenía forma de elipsoide y planteó dos problemas: Problema 1. Dados dos minutos en dos lugares del meridiano, calcular la razón entre los ejes de la elipse que los contiene. Problema 2. Calcular la longitud del meridiano (lo que implicaba el cálculo de la longitud de una elipse, y en consecuencia encontrar buenas aproximaciones a la integral elíptica).

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En el primer problema hizo uso de la evoluta de la elipse, aplicó la fórmula del radio de curvatura y demostró que: Las longitudes de los minutos de meridiano, en dos lugares del mismo, son proporcionales a los radios de curvatura del meridiano en esos lugares.

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A partir de su conocimiento experimental sobre las longitudes de los minutos de meridiano, de 1,866 kms y de 1,844 kms en Laponia y en el Ecuador, respectivamente, pudo encontrar que el eje de la Tierra medía 12.733,02 kms y el diámetro del Ecuador 12.781,353 kms. De esta manera quedaba resuelto este primer problema, donde hay que destacar que Jorge Juan usó Cálculo Infinitesimal, lo que constituye un mérito por ser el primero que lo haría en España. Respecto al segundo problema, como anunciamos, conduce al cálculo de la integral elíptica completa. Las dificultades matemáticas estribaban en el conocimiento y uso de la serie binomia, que ya había desarrollado tan magistralmente Newton.

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Resulta interesante la honestidad de Jorge Juan en relación a este segundo problema cuando en el preámbulo escribe: Este problema está resuelto en muchos libros pero la fórmula que sacan sólo sirve para arcos pequeños, pues si se aplica a todo el cuadrante de la elipse, los términos de la serie disminuyen tan lentamente que es impracticable, por ello me ha parecido que puede gustar, a los geómetras, el método que yo he seguido, pues en él se evita el inconveniente que padecen los demás.

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La sinceridad de Jorge Juan se prolonga cuando afirma que la cuestión sobre la forma de elipsoide de la Tierra no era concluyente desde la constatación con las medidas que disponía de los minutos en los meridianos de Laponia, Paris y el Ecuador. Cabe resaltar que en esta expedición se usaron prácticamente todas las últimas técnicas matemáticas que se disponían como eran el Cálculo Diferencial y la Teoría de Series. En comparación con la expedición de Eratóstenes, podemos añadir que, a nuestro juicio, la trascendencia física del fenómeno que se estudió allí fue muy superior al conocimiento matemático usado, mientras que en la expedición de Jorge Juan quizás estuvieran más igualadas las dificultades físicas y matemáticas.

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3. Misterios del Universo Advirtamos que las últimas grandes expediciones cosmológicas fueron las de Maupertuis a Laponia y la de La Condamine al Ecuador, que acabamos de relatar; a partir de aquí los experimentos que pudiesen conducir a confirmar o refutar una determinada cuestión sobre el Cosmos, se realizan en el laboratorio, o en la mente. Los aparatos de medida e instrumentos científicos se perfeccionan a partir del siglo XIX de forma que ya no resulta necesario ir a un lugar preciso del Universo para conocer o medir las magnitudes que se precisan.

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3.1. El problema del éter La medida de la velocidad de la luz sobre la observación de las lunas de Júpiter fue efectuada por Roemer, 11 años antes de que Newton publicara los Principia. Toda una hazaña para la época el probar que la luz no viaja a velocidad infinita; su estimación la situó Roemer en torno a 225.000 km/seg., todavía alejada de nuestra medida actual de 300.000 km/seg. Bastante mas tarde, en 1865, Maxwell unifica las fuerzas eléctricas y magnéticas mediante unas ecuaciones, que llevan su nombre, y que predicen la existencia de perturbaciones ondulatorias (ondas electromagnéticas) al modo de las ondas de un estanque cuando se arroja una piedra.

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Tales ondas deberían viajar a una velocidad fija, y cuando fue hallada se encontró con el valor que ya se conocía, el de la velocidad de la luz!. Este resultado era muy difícil de conciliar con la teoría de Newton ya que sin un patrón absoluto de reposo no podía haber una velocidad fija de las ondas. Una forma de compatibilizar las teorías de Maxwell y de Newton fue la admisión de una sustancia, el éter, que estaría presente en todas partes, incluso en el espacio vacío. La idea era atractiva para los físicos ya que el éter sería para las ondas electromagnéticas el medio de transporte, a semejanza del aire para la propagación de las ondas sonoras o del agua para las ondas del estanque.

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Ahora la teoría de Newton actuaría satisfactoriamente en el sentido que diferentes observadores (moviéndose a una cierta velocidad uno del otro) verían cómo la luz se les acerca con diferentes velocidades, aunque la velocidad de la luz respecto de éter fuese fija. Quedaba pendiente, entonces, realizar la “gran expedición cosmológica” para medir la velocidad de la luz respecto del éter.

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Sin embargo, dada la enorme velocidad de la luz, cualquier experimento se encontraría con la dificultad de conseguir velocidades significativas de un observador moviéndose respecto de otro. Pero en 1887, Michelson y Morley idean un fantástico experimento usando algo que estaba ahí, pero que nadie usaba porque nadie se había percatado: la gran velocidad con que la Tierra viaja alrededor del Sol, 144.000 km/h. Ahora midiendo la velocidad de la luz en puntos correspondientes a cuando nos alejamos, nos acercamos, o en el caso contrario a ambos, es decir cuando el movimiento es perpendicular a la velocidad de la luz, deberíamos obtener ese factor desconocido. Sin embargo todo resultó infructuoso pues en todos los casos, y, para su sorpresa, la velocidad era la misma en todas las direcciones! La teoría del éter tenía los días contados.

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3.2.   La Relatividad Uno de los más notables intentos para salvar la teoría del éter fue dada por Lorentz , cuya aportación matemática sería importante y que analizaremos posteriormente, pero en 1905, Albert Einstein empleado de la Oficina de Patentes de Suiza, publica un trascendente artículo [3] que cambiaría la Ciencia. En este trabajo se hace notar que la idea del éter es innecesaria siempre que se abandone la idea de tiempo absoluto. Pocas semanas después, Poincaré hace una propuesta parecida desde una perspectiva meramente matemática (probando que las transformaciones de Lorentz forman grupo), aunque notando su disconformidad (hasta su muerte) con la interpretación física de Einstein.

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3. 3.   Interpretación física de la Relatividad Las leyes de la Física deben ser iguales para todos los observadores sean cuales sean las velocidades con que se muevan. Esto, que ya era cierto para la física newtoniana, debería extenderse a la teoría de Maxwell en el sentido de que la velocidad de la luz (fija en esta teoría) tiene que ser igual, independientemente de la velocidad con se mueva el observador.

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La consecuencia de este postulado es tajante: El tiempo no es absoluto, los diferentes observadores que se mueven con velocidades distintas deben medir tiempos diferentes. El tiempo no es independiente del espacio, forman una única entidad, el espacio-tiempo.

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Existe una equivalencia entre masa y energía expresada por medio de la ecuación E = mc2, donde c es la velocidad de la luz. En Relatividad la masa aumenta con la energía, y, de hecho, nunca un objeto podría alcanzar la velocidad de la luz ya que se necesitaría una energía infinita para hacerle llegar a esta velocidad.

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Esta teoría de la Relatividad Especial de Einstein de 1905, que daba cuenta de forma tan sugerente de los misterios de la velocidad fija de la luz, de la relatividad del tiempo etc., entraba fuertemente en contradicción con el concepto de fuerza gravitatoria newtoniana. La acción gravitatoria que dos cuerpos se ejercen mutuamente se transmite a velocidad infinita según Newton, pero la Relatividad Especial no admite velocidades superiores a las de luz. Pongamos un ejemplo, si el Sol desapareciese de pronto, tardaríamos unos 8 minutos en percatarnos de ello (es la distancia en términos tiempo-luz), sin embargo de forma instantánea la Tierra dejaría de notar su atracción y saldría de su órbita. Unos 10 años tardó Einstein en dar una nueva teoría aún mas revolucionaria, la Relatividad General, para hacerla coherente con la ley general de la gravitación de Newton.

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3.4.   La Matemática de la Relatividad Aunque una hipotética expedición hacia algún lugar del Cosmos para medir la velocidad de la luz respecto del éter habría fracasado, las alternativas que se propusieron, una para salvarlo “in extremis”, la de Lorentz-Poincaré, y otra para hacerlo innecesario, la de Einstein, ambas necesitaron de unos conocimientos y técnicas matemáticas con las que formalizar y desarrollar sus ideas. Lo primero que hubo que formalizar fue la entidad espacio-tiempo, propuesta que hizo Minkowski al considerar lo que se llamó el elemento de línea y fue definido por ds2 = - c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2, donde c es la velocidad de la luz.

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Este elemento de línea mide la “distancia infinitesimal” entre dos sucesos de coordenadas (t, x, y, z) y (t+dt, x+dx, y+dy, z+dz). Una característica es que ds2 puede ser negativo y nulo. El primer caso corresponde a sucesos que sólo están separados temporalmente. El segundo caso es para sucesos separados de forma luminosa (los dos sucesos están separados por un rayo de luz de manera que ningún otro agente físico puede conectarlos). Cuando ds2 es positivo, estamos en el caso usual de separación espacial entre dos sucesos.

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De forma resumida, y usando un lenguaje preciso, diríamos que la matemática que se empleó para describir la relatividad especial fue la teoría de variedades pseudo-riemanniana de tipo lorentziana donde la variedad considerada es el espacio R4 provisto del tensor métrico g definido por g = -c2dt? dt+dx ? dx+dy ? dy+dz ? dz.

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A partir de aquí y tras el principio de equivalencia, base de la teoría general de la relatividad, la matemática que se emplea es básicamente geometría, es decir, siguen siendo esenciales la geometría riemanniana de variedades y el cálculo tensorial. En cuanto a la aportación de Riemann, estaba reciente; el cálculo tensorial fue desarrollado casi “ad hoc” para formalizar las ideas que venían de la Física. Entonces, si admitimos el problema del éter y el experimento crucial de Michelson-Morley como una expedición cosmológica en el sentido más moderno posible (experimentos mentales, que llamaron los científicos alemanes de principios del siglo XX), de nuevo la genialidad física superó, aunque por muy poco, a la correspondiente contribución matemática, siendo de destacar la aportación de Riemann, que estuvo a la par en cuanto a genialidad y tuvo carácter premonitorio ya que su uso fue posteriormente decisivo, como acabamos de ver, en la teoría de la relatividad .

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4.   Conclusión Tras este análisis sobre la matemática que fue utilizada en las diferentes expediciones cosmológicas, concluimos que hay un hecho invariante: en todas ellas el hecho físico va acompañado del conocimiento matemático, aunque el primero va adelantado respecto del segundo. Encuentro mas brillante desde un punto de vista ontológico la hipótesis física que la matemática, por resultar aquella mas ágil, más penetrante. La parte matemática es semejante a la maquinaría lenta, pero perfecta, que actúa bajo el impulso de la primera acción de la interpretación física de la realidad. Al parecer, siempre hemos tenido históricamente un corpus de conocimiento matemático ya creado y dispuesto a ser aplicado a la propuesta física; es decir, nunca la conjetura cosmológica ha tenido que esperar a que fueran introducidos nuevos y mas potentes métodos y técnicas matemáticas para confirmar o refutar una teoría física.

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Finalmente, la teoría de la relatividad ha creado una ciencia, la Cosmología, donde las “expediciones”, ahora realizadas por medio de sofisticados instrumentos, potentes telescopios, sondas, satélites artificiales, etc., para comprobar las diferentes predicciones se suceden con extrema rapidez y a las que hay que aplicar la matemática al modo en que hemos relatado. En todo caso, la Física y la Matemática siempre han sido complementarias y han caminado juntas, su aunamiento ha resultado fructífero para el desarrollo y el avance de la Ciencia. Como curiosidad les puedo relatar que hasta no hace mucho en la formación de un matemático, en España, era necesario que se incluyesen en su programa académico, al menos, tres asignaturas de Física; por no hablar de otros países europeos donde ambas carreras se estudiaban conjuntamente bajo el nombre de Ciencias Físico-Matemáticas.
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