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Matemáticas y arte (página 2)

Enviado por Pablo Turmero



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Dale Brown: El código da Vinci Anagramas Códigos secretos. Criptografía. Proporción dorada. Número de oro. Geometría sagrada. Sucesión de Fibonacci.

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Quatrivium La música y la matemática han estado relacionada durante siglos. En el curriculum de los estudiantes de la edad media se incluían las siguientes artes o disciplinas: Aritmética Geometría. Astronomía Música

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Pitágoras y la música Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio) Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo. Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta) Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se obtiene la cuarta.

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La escala diatónica  En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros. 

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El Piano Bien Temperado El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce tonalidades usando el modo mayor y menor. Bach afinó su piano en la escala temperada dividiendo los tonos en series dentro de un espacio definido. La escala temperada es la que se usa hoy en día.

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La música y las probabilidades Algunos músicos compusieron obras a partir de reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades. Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para componer valses de 16 compases, lanzando los dados.

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La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de composición” (K294). Los números en la matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart. Hay 2x1114 variaciones del mismo vals.

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¿De que está hecha la música? Respuesta: De funciones trigonométricas. Los sonidos producidos por la vibración de cuerdas y membranas se propagan en el aire mediante ondas sonoras.

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Componentes de una onda Intensidad = Amplitud Tono= frecuencia. Timbre = forma particular de la onda.

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El Análisis de Fourier El matemático Francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), descubrió que toda función periódica ( onda sonora) es una combinación de senos y cosenos.

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¿ Y que hay del ritmo y la melodía? En 2002, los trabajos Toussaint, inician una investigación teórica de ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas y de combinatoria. Esto permite la enseñanza, el análisis, la visualización y el reconocimiento automatizado de ritmos. Godfried T. Toussaint : “ A mathematical analysis of African, Brasilian and Cuban clave rithms”

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El ritmo clave son y su análisis matemático. Para los ritmos se usa un sistema sencillo de notación en base a unidades de tiempo.

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Otra forma de representar los ritmos consiste en emplear un vector de intervalos. Cada dígito representa el intervalo de tiempo entre sonidos sucesivos. Clave son se representa por: (3 3 4 2 4) Ejercicio ¿ cómo se representa el ritmo de Gaita?

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La Trilogía Sagrada: Matemáticas, Arte y Naturaleza La belleza de las proporciones El rectángulo dorado El Número de Oro La sucesión de Fibonacci La espiral Las simetrías Las teselaciones

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Las proporciones Un radio es una comparación de dos cantidades, tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b. Una proporción es una relación de equivalencia entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe a: b::c: d. Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.

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La proporción dorada ¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa? a + b : b :: b : a La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor. Esta proporción la llamamos proporción dorada a b

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Construcción del segmento áureo

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La belleza de las formas en la naturaleza “Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las matemáticas, y puesto que estas formas parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza” Aristóteles.

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La belleza de las proporciones “Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón. La altura total dividida entre la altura hasta el ombligo debe ser iguala la proporción dorada ? = 1.618…

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Número de oro en el arte del renacimiento italiano El rectángulo dorado sirve de división armónica entre los espacios. Para que un espacio dividido en partes iguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor. Euclides

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El numero de oro generalizado: ¿Qué hay entre un rectángulo dorado y un cuadrado? Un rectángulo verde

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Una familia de números de oro Números de oro generalizados Si para cada número natural n, consideramos la ecuación n x 2 – x- n = 0 La solución de la misma es el n-número de oro ?n = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n En particular se tiene que ?1 = ?

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Los números de oro generalizados:

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La sucesión de Fibonacci Una sucesión de números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…… Una sucesión de proporciones racionales 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8, … Que tienden hacia la Proporción Áurea ? ?

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La Espiral La espiral aparece en la naturaleza organizando el crecimiento de las formas. Cada Angulo central, de una espiral logarítmica, origina arcos similares

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Las espirales del girasol Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas del reloj). Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj. La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis de la planta.

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La Espiral generadora del movimiento en el arte del cuatrocientos florentino.

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