Dale Brown: El código da Vinci
Anagramas
Códigos secretos.
Criptografía.
Proporción dorada.
Número de oro.
Geometría sagrada.
Sucesión de Fibonacci.
Quatrivium
La música y la matemática han estado relacionada durante siglos. En el curriculum de los estudiantes de la edad media se incluían las siguientes artes o disciplinas:
Aritmética
Geometría.
Astronomía
Música
Pitágoras y la música
Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio)
Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo.
Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta)
Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se obtiene la cuarta.
La escala diatónica
En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros.
El Piano Bien Temperado
El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce tonalidades usando el modo mayor y menor.
Bach afinó su piano en la escala temperada dividiendo los tonos en series dentro de un espacio definido.
La escala temperada es la que se usa hoy en día.
La música y las probabilidades
Algunos músicos compusieron obras a partir de reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades.
Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para componer valses de 16 compases, lanzando los dados.
La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de composición” (K294).
Los números en la matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart.
Hay 2×1114 variaciones del mismo vals.
¿De que está hecha la música?
Respuesta: De funciones trigonométricas.
Los sonidos producidos por la vibración de cuerdas y membranas se propagan en el aire mediante ondas sonoras.
Componentes de una onda
Intensidad = Amplitud
Tono= frecuencia.
Timbre = forma particular de la onda.
El Análisis de Fourier
El matemático Francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), descubrió que toda función periódica ( onda sonora) es una combinación de senos y cosenos.
¿ Y que hay del ritmo y la melodía?
En 2002, los trabajos Toussaint, inician una investigación teórica de ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas y de combinatoria.
Esto permite la enseñanza, el análisis, la visualización y el reconocimiento automatizado de ritmos.
Godfried T. Toussaint :
“ A mathematical analysis of African, Brasilian and Cuban clave rithms”
El ritmo clave son y su análisis matemático.
Para los ritmos se usa un sistema sencillo de notación en base a unidades de tiempo.
Otra forma de representar los ritmos consiste en emplear un vector de intervalos.
Cada dígito representa el intervalo de tiempo entre sonidos sucesivos.
Clave son se representa por: (3 3 4 2 4)
Ejercicio ¿ cómo se representa el ritmo de Gaita?
La Trilogía Sagrada: Matemáticas, Arte y Naturaleza
La belleza de las proporciones
El rectángulo dorado
El Número de Oro
La sucesión de Fibonacci
La espiral
Las simetrías
Las teselaciones
Las proporciones
Un radio es una comparación de dos cantidades, tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b.
Una proporción es una relación de equivalencia entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe
a: b::c: d.
Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.
La proporción dorada
¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa?
a + b : b :: b : a
La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.
Esta proporción la llamamos proporción dorada
a
b
Construcción del segmento áureo
La belleza de las formas en la naturaleza
“Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las matemáticas, y puesto que estas formas parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza”
Aristóteles.
La belleza de las proporciones
“Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón.
La altura total dividida entre la altura hasta el ombligo debe ser iguala la proporción dorada ? = 1.618…
Número de oro en el arte del renacimiento italiano
El rectángulo dorado sirve de división armónica entre los espacios.
Para que un espacio dividido en partes iguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor.
Euclides
El numero de oro generalizado:¿Qué hay entre un rectángulo dorado y un cuadrado?
Un rectángulo verde
Una familia de números de oroNúmeros de oro generalizados
Si para cada número natural n, consideramos la ecuación
n x 2 – x- n = 0
La solución de la misma es el n-número de oro
?n = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n
En particular se tiene que
?1 = ?
Los números de oro generalizados:
La sucesión de Fibonacci
Una sucesión de números naturales
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
Una sucesión de proporciones racionales
1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8, …
Que tienden hacia la Proporción Áurea
? ?
La Espiral
La espiral aparece en la naturaleza organizando el crecimiento de las formas.
Cada Angulo central, de una espiral logarítmica, origina arcos similares
Las espirales del girasol
Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas del reloj).
Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj.
La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis de la planta.
La Espiral generadora del movimiento en el arte del cuatrocientos florentino.
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