Modelos Autorregresivos de Media Móvil (página 2)

Partes: 1, 2

AR(1) (cont)
Por lo tanto, el AR(1) es causal si
Alternativamente, considerando la solucion de la ecuación
caracteristica:
i.e. las raices de esta ecuación estan fuera del circulo unidad.
Esperanza
Varianza

Autocovarianza de un AR(1) causal
Re-escribiendo el proceso como
Autocorrelacion de un AR(1) causal
ACF
PACF: De las ecuaciones de
Yule-Walker

AR(p)
Causal
Todas las p raices de la ecuacion caracteristica
fuera del circulo unidad
ACF
Sistema para resolver las primeras p autocorrelations:
p unknowns and p equations
ACF decae como una mixtura de exponenciales y/o sinusoidales,
dependiendo de si las raices son reales o complejas
PACF

Relacion entre un AR(p) y un MA(q)
AR(p) Causal
Ejemplo

MA(q) Invertible
Transforme un MA(2) en un AR(infinito)

ARMA (p,q)

ARMA(1,1)

ACF de un ARMA(1,1)
Tomando esperanzas

PACF
ACF

ACF and PACF of an ARMA(1,1)

ACF and PACF of an MA(2)

ACF and PACF of an AR(2)

Apendice: Operador de Retardos L
Definicion
Propiedades
Ejemplos

Apendice: Operador Inverso
Definicion
Observad que :
esta definicion no se mantiene porque el limite no existe
Ejemplo:

Apendice: Operador Inverso (cont)
Supongamos que tenemos el modelo ARMA
y queremos encontrar la representacion MA .
Se puede intentar hacerlo directamente
pero no es nada divertido. Alternativamente se puede encontrar

e igualar coeficientes en los terminos en Lj .
Example: Suppose .

que se puede resolver recursivamente INTENTALO!!!

Apendice: Factorizando Polinomios de retardos
Supongamos que necesitamos invertir
el polinomio
Se puede hacer factorizando:

Ahora invirtiendo cada factor y multiplicando:

Check the last expression!!!!

Apendice: Algunos trucos
La ultima expresion se puede espresar via la factorizacion parcial. Encuenta las constantes a y b tal que

El numerador del lado derecho debe ser 1, asi que

Apendice: Mas sobre Invertibilidad
Considere un MA(1)
Definicion
Un proceso MA es invertible si se puede re-escribir como un AR( )
Un MA(1) es invertible si
Un MA(q) es invertible si todas las raices de la ecuacion caracteristica
estan fuera del circulo unidad.
Procesos MA tienen representaciones invertibles y no-invertibles
Representaciones invertibles: prediciones optimas dependen de
informacion pasada.
Representaciones no-invertibles: prediciones dependen del futuro!!!