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Momentos segundos de superficie y momentos de inercia

Enviado por Pablo Turmero



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Introducción En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él. Son siempre positivos y sus dimensiones serán L4 (unidades: mm4 o cm4). En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma Momento segundo de la superficie Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones serán ML2 (unidades: kg.m2). Momento de inercia (de masa)

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Momento segundo de una superficie plana El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subíndices) se representará por el símbolo I cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella. Los momentos segundos rectangulares de la superficie A respecto a los ejes x e y del plano de la superficie son: Análogamente, el momento segundo polar de la superficie A respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es

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Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema de Steiner. Demostración: Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje x´ paralelo a él es el segundo término es nulo ya que se trata del momento primero de superficie respecto al eje x que pasa por el centroide de la superficie, quedando: donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide C e es la separación de los ejes x y x´.

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Por tanto, el Teorema de Steiner dice que: El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta por el cuadrado de la separación de los ejes. Atención: Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal, o al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él. Y además se puede demostrar que donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa por el centroide C y d es la distancia que separa los ejes z y z´. Análogamente:

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Radio de giro de una superficie El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues, Y como Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie, existirá una relación correspondiente entre los radios de giro de la superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie.

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Momentos segundos de superficies compuestas Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas. Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes. Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma: Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.

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Momentos segundos de superficies planas 1/2

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Momentos segundos de superficies planas 2/2

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Propiedades de algunas formas de perfiles

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PROBLEMA 1 Determinar el momento segundo de la superficie sombreada respecto a: El eje x. El eje y. Un eje que pase por el origen O del sistema de coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie.

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PROBLEMA 2 Una columna está constituida por una sección de alas anchas W610 x 125 y un canal C305 x 45. Determinar los momentos segundos y los radios de giro de la sección recta respecto a los ejes horizontal y vertical que pasan por el centroide de la sección recta. x

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Momentos segundos mixtos de superficies El momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a los ejes x e y es: Así el momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x e y será: Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto podrá ser positivo, negativo o nulo. De hecho, el momento segundo mixto de una superficie respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera será nulo cuando uno de dichos ejes sea eje de simetría.

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