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Regresión lineal múltiple (página 2)




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2

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Forma matricial del modelo
Habitualmente escribimos el modelo como
Y = Xb + U
con:

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Método de Mínimos Cuadrados
Valor observado
Dato (y)

Recta de regresión
estimada

Valor observado
Dato (y)

Recta de regresión
estimada

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Mínimos Cuadrados
Objetivo: Buscar los valores de b0,b1,…,bk que mejor ajustan nuestros datos.
Ecuación:

Residuo:

Minimizar:

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Mínimos Cuadrados
Resultado en forma matricial:

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Interpretación geométrica
Hemos calculado:

Tenemos:

Definimos la matriz:

H es idempotente, simétrica y del mismo rango
que X, (k+1). Es una matriz de proyección.

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Interpretación geométrica
H simétrica (obvio)
H idempotente

Residuos ortogonales a valores ajustados

Residuos ortogonales a matriz de diseño X

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Interpretación geométrica
Subespacio vectorial generado por las columnas de X

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Varianza
Para estimar s2 utilizamos la varianza residual

Es insesgado como estimador de s2 y además

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Propiedades de los estimadores
Normalidad. Sabemos Y=Xb +U, de donde Y~N(Xb,s2I).
Como también es normal.
Esperanza.

Varianza.

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Propiedades de los estimadores
Tenemos

La varianza s2 suele ser desconocida y utilizamos
el error estándar estimado

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Inferencia. Contrastes para b
Para averiguar si la variable xi afecta a la
respuesta, debemos plantear el contraste

Rechazamos la hipótesis nula si:

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Inferencia. Int. de confianza para b
Podemos construir un intervalo de confianza
para bi con nivel de confianza 1-a como

Si n > 30 y a = 0.05, sabemos que tn-k-1,a/2 @ 2.

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Descomposición de la variabilidad
Igual que en la regresión simple VT=VE+VNE

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Coeficiente de determinación
El coeficiente de determinación se define:

El coeficiente de determinación ajustado es más interesante ya que sólo aumenta si disminuye la varianza residual

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Contraste de regresión (fuera programa)

Para averiguar si existe relación lineal entre la
variable respuesta y las explicativas, realizamos

Rechazamos la hipótesis nula si:

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Predicción para la media
Buscamos estimador puntual e I.C. para el valor medio de la respuesta cuando x=x0

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Predicción para la media
El intervalo de confianza para la media que obtenemos es:

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Ejemplo: semiconductores
¿Cuál sería el I.C. para para la respuesta media si la longitud del cable es 8 y la altura de la estructura es 275?

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Ejemplo: semiconductores

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Predicción para una nueva observación
Intervalo de predicción

Ejemplo: semiconductores (long. 8, altura 275)

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Multicolinealidad
Problema frecuente que se presenta cuando las variables explicativas son muy dependientes entre sí.
No es un problema del modelo, sino de los datos, surge cuando det(XtX) próximo a cero.
Las variables explicativas son significativas en el modelo simple, pero dejan de serlo en el múltiple.

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Índice de condicionamiento
Los autovalores de XtX son mayores o iguales que cero, para que haya multicolinealidad, alguno tiene que ser aproximadamente cero.

Si 10 £ Ind.Cond. £ 30, multiolinealidad moderada
Si Ind.Cond. > 30, multicolinealidad alta

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Ejemplo: Sabor del queso

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Ejemplo: sabor del queso
Multicolinealidad moderada

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Ejemplo: sabor del queso

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Ejemplo: sabor del quesoRegresión simple Láctico
Antes 30.73

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Ejemplo: sabor del quesoRegresión simple Acético
Antes 3.9

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