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Regresión lineal múltiple (página 2)

Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2

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Forma matricial del modelo Habitualmente escribimos el modelo como Y = Xb + U con:

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Método de Mínimos Cuadrados Valor observado Dato (y) Recta de regresión estimada Valor observado Dato (y) Recta de regresión estimada

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Mínimos Cuadrados Objetivo: Buscar los valores de b0,b1,…,bk que mejor ajustan nuestros datos. Ecuación: Residuo: Minimizar:

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Mínimos Cuadrados Resultado en forma matricial:

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Interpretación geométrica Hemos calculado: Tenemos: Definimos la matriz: H es idempotente, simétrica y del mismo rango que X, (k+1). Es una matriz de proyección.

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Interpretación geométrica H simétrica (obvio) H idempotente Residuos ortogonales a valores ajustados Residuos ortogonales a matriz de diseño X

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Interpretación geométrica Subespacio vectorial generado por las columnas de X

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Varianza Para estimar s2 utilizamos la varianza residual Es insesgado como estimador de s2 y además

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Propiedades de los estimadores Normalidad. Sabemos Y=Xb +U, de donde Y~N(Xb,s2I). Como también es normal. Esperanza. Varianza.

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Propiedades de los estimadores Tenemos La varianza s2 suele ser desconocida y utilizamos el error estándar estimado

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Inferencia. Contrastes para b Para averiguar si la variable xi afecta a la respuesta, debemos plantear el contraste Rechazamos la hipótesis nula si:

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Inferencia. Int. de confianza para b Podemos construir un intervalo de confianza para bi con nivel de confianza 1-a como Si n > 30 y a = 0.05, sabemos que tn-k-1,a/2 @ 2.

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Descomposición de la variabilidad Igual que en la regresión simple VT=VE+VNE

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Coeficiente de determinación El coeficiente de determinación se define: El coeficiente de determinación ajustado es más interesante ya que sólo aumenta si disminuye la varianza residual

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Contraste de regresión (fuera programa) Para averiguar si existe relación lineal entre la variable respuesta y las explicativas, realizamos Rechazamos la hipótesis nula si:

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Predicción para la media Buscamos estimador puntual e I.C. para el valor medio de la respuesta cuando x=x0

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Predicción para la media El intervalo de confianza para la media que obtenemos es:

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Ejemplo: semiconductores ¿Cuál sería el I.C. para para la respuesta media si la longitud del cable es 8 y la altura de la estructura es 275?

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Ejemplo: semiconductores

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Predicción para una nueva observación Intervalo de predicción Ejemplo: semiconductores (long. 8, altura 275)

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Multicolinealidad Problema frecuente que se presenta cuando las variables explicativas son muy dependientes entre sí. No es un problema del modelo, sino de los datos, surge cuando det(XtX) próximo a cero. Las variables explicativas son significativas en el modelo simple, pero dejan de serlo en el múltiple.

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Índice de condicionamiento Los autovalores de XtX son mayores o iguales que cero, para que haya multicolinealidad, alguno tiene que ser aproximadamente cero. Si 10 £ Ind.Cond. £ 30, multiolinealidad moderada Si Ind.Cond. > 30, multicolinealidad alta

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Ejemplo: Sabor del queso

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Ejemplo: sabor del queso Multicolinealidad moderada

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Ejemplo: sabor del queso

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Ejemplo: sabor del queso Regresión simple Láctico Antes 30.73

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Ejemplo: sabor del queso Regresión simple Acético Antes 3.9

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