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Sistemas dinámicos

Enviado por Pablo Turmero



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Introducción La descripción del movimiento de un cuerpo, describiéndolo en función de la posición (x), tiempo (t), velocidad (v) y aceleración (a), de tal forma que mediante el análisis decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de tiempo predecir en que posición se encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el porque se mueve el cuerpo. En el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento de los cuerpos, que es el objeto de estudio de la Dinámica. Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica que es el nivel que nos atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudio considerando: Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (modelo corpuscular) y que además se mueven con velocidades mucho muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ). Las causas que originan el movimiento de los cuerpos se deben a la interacción con otros cuerpos que conforman su medio ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.

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Introducción Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema, considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se puede despreciar. El problema a resolver es el siguiente: Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen, composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc. Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay un plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc. Las preguntas a contestar serían: ¿Por que se mueve? ¿Como se seguirá moviendo? Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad de medios ambientes y fue cuando formuló las Leyes de Movimiento y la Ley de la Gravitación Universal.

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Introducción Las interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo: Fuerza Gravitacional.- Mantiene unidos a cuerpos grandes: Tierra - personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol). Fuerza Electromagnética.- Mantiene unidas a las moléculas y a los átomos y en el interior de estos últimos, hace que los electrones permanezcan cerca del núcleo. Fuerza Nuclear Fuerte.- Actúa a nivel nuclear y hace que las partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico. Fuerza Nuclear Débil.- Permite que algunos núcleos atómicos se separen produciendo radioactividad. De acuerdo a su magnitud pueden ser: Constantes Variables Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser: Conservativas No conservativas o disipativas Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser: Por contacto A distancia

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Introducción En nuestro caso, abordaremos el concepto de interacción que es una fuerza, la cual se define en función de la aceleración que experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambiente, estableciendo una técnica para asociarle una masa m a cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera), experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismo medio ambiente. El concepto de fuerza y masa se encuentran íntimamente relacionados, asociamos a: la fuerza con jalar o empujar un objeto y, la masa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado (movido). Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí por medio de: las Leyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas y las Leyes de Movimiento o Leyes de Newton, Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio ambiente. Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio ambiente.

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Introducción ( Leyes de Fuerza ) Dentro de las Leyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones: Interacción por contacto Interacción a distancia Interacción por contacto Fuerzas de fricción F = mN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una superficie áspera. F = mv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede ser aire o un líquido. Fuerza elástica: F = kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte. Fuerza de sostén o soporte: F = P/A Por ejemplo cuando aplicamos una presión sobre un objeto.

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Introducción ( Leyes de Fuerza ) Interacción a distancia Fuerza gravitacional (de atracción) F = may Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde ¦ ay ¦ = g) F = (GmM/r2) r Por ejemplo la fuerza de atracción que existe entre el Sol y la Tierra. Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión) F = (kq1q2/r2 ) r Por ejemplo la fuerza de repulsión que existe entre dos electrones. Fuerza magnética (atracción o repulsión) F = q (v x B) Por ejemplo un electrón que se mueve en un campo magnético.

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Introducción (Leyes de Movimiento) De las Leyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las Leyes de Newton: Primera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza. Segunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional su masa. Tercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario.

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Introducción En esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos únicamente casos ideales en los cuales: No existe fricción, adicionalmente, trabajaremos exclusivamente con Fuerzas constantes, es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido. En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que involucran fricción. Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzas tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.

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LEYES DE MOVIMIENTO PRIMERA LEY DE NEWTON En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo, tendía nuevamente a su estado natural. Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, ya que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una cierta velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se detiene. Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el siguiente experimento: Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este tendería al reposo después de recorrer una distancia. v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦

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PRIMERA LEY DE NEWTON Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia. Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va a recorrer una mayor distancia. Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpo recorrerá cada vez una mayor distancia. (Gp:) v0 ? 0 (Gp:) v = 0 (Gp:) d = ¦ ? x¦ v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦ v0 ? 0 v = 0 d = ¦ ? x¦

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Primera Ley de Newton En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueve siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un movimiento rectilíneo uniforme. El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado: “Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia para que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”. Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton. (Gp:) v0 ? 0 (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x (Gp:) v = ctte. (Gp:) ? x

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Primera Ley de Newton Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, entonces no habrá aceleración y por consiguiente el cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante. Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso especial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se atribuye a marcos de referencia inerciales, ya que sobre un cuerpo puede estar obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo es cero. Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto, observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo con respecto a él. (Gp:) x´ (Gp:) y´ (Gp:) y (Gp:) x (Gp:) a (Gp:) a = 0 (Gp:) Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está acelerado (Gp:) Visto desde el interior del auto, el sistema está en reposo

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