------------------------------------------------- Matemática
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Frente II
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CAPÍTULO 16 – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

1- INTRODUÇÃO

Vimos no capítulo passado como resolver inequações envolvendo expoentes. Neste capítulo, veremos como proceder em problemas de inequações envolvendo logaritmos. O raciocínio é muito parecido com o de inequações exponenciais, a única diferença é que devemos atentar a mais um detalhe: a condição de existência do logaritmo.

2 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Este tópico visa a relembrar algo que já vimos no capítulo 14, mas que é uma propriedade primordial dos logaritmos de que sempre devemos nos …exibir mais conteúdo…

como proceder:

Exercício Resolvido 4

Resolva a inequação log2(2x)-log2(3x+1)≤1

Resolução:

Antes de qualquer coisa, atentemos à condição de existência:

Para log22x:
→ Logaritmando positivo: 2x>0→x>0
→ A base do logaritmo é 2, que é maior que 0 e diferente de 1

Para log2(3x+1):
→ Logaritmando positivo: 3x+1>0→x>-1/3
→ A base do logaritmo é 2, que é maior que 0 e diferente de 1

Agora para a solução da inequação:

Veja que agora a inequação está um pouco “mascarada”, mas aqui podemos fazer algumas coisas:

→ Propriedade dos logaritmos: log22x-log23x+1=log2(2x)/(3x+1) → Podemos também reescrever o número 1 do lado direito como:

1=log22

Nossa inequação fica então assim:

log2(2x)/(3x+1)≤log22

Aqui resolvemos conforme vimos acima: A base (2), é maior que 1, então:

2x3x+1≤2

Chegamos numa inequação produto/quociente, que aprendemos a resolver no capítulo 8:

2x3x+1-2≤0→2x3x+1-6x+23x+1≤0

-4x-23x+1≤0→4x+23x+1≥0

Analisando o sinal:

Como queremos soluções positivas, temos: x≤-12ou x>-13

Juntando a solução da inequação com as condições de existência (x>0 e x>-1/3), chegamos à solução:

S={x∈R / x>0}

5 - RESUMO

Em resumo, quando virmos problemas de inequações logarítmicas, nós devemos seguir os seguintes passos:

→ Atentar à condição de existência dos logaritmos que aparecerem na inequação

→ Reduzir todos os termos e números à mesma base

→ Se a base for maior que 1, comparar os