INTRODUÇÃO

Axiomas e teoremas esta é a estrutura da Geometria, desde "Elementos" de Euclides, escrito no século III A.C., onde ele tentou definir os conceitos fundamentais.
Atualmente, a Geometria aceita por normas:
- Enunciar, sem definição, os conceitos fundamentais.
- Admitir, sem demonstração, certas propriedades que relacionam estes conceitos, enunciando os axiomas correspondentes.
- Deduzir logicamente as propriedades restantes.
O que são os axiomas?
São afirmações tantas vezes provadas na prática, que é muito pouco provável que alguém delas duvide. Deverão ser o menor número possível.
Um sistema de axiomas deve satisfazer a três propriedades, que são: plenitude, independência e compatibilidade.
O sistema deverá ser pleno …exibir mais conteúdo…

É já bem dentro do século XIX que a crítica a Euclides se assume até as últimas consequências, culminando quer na proposta de geometrias alternativas por Bolyai (1802 - 1860), Lobachewski (1792 - 1856) e Riemann (1826 - 1866), quer numa completa revisão dos fundamentos da geometria euclidiana por Pasch (1843 - 1930) e por Hilbert (1862 - 1943), quer ainda no surgimento de novas concepções sobre a classificação das geometrias por Félix Klein (1849 - 1925). Nada disto retira valor à monumental obra de Euclides. Como dizem Borsuk (1905 - 1982) e Szmielew (Foundations of geometry, 1960):
“Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos.”
Os elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar geométrica. O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e cinco proposições distribuídas em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três últimos tratam sobre geometria no espaço.

2.1. Livro I

O livro I começa com definições, axiomas e postulados. As quarenta e oito proposições se distribuem em três grupos: as primeiras vinte e seis tratam de propriedades do triângulo e