La Conjetura de Poincaré y Grigori Perelman (página 2)

R=-1/2 t g (R tensor de curvatura de Ricci relacionado
con el lapalaciano y g tensor métrico. Obvio
subíndices de R y g por agilizar procesamiento del texto.)
y la ecuación diferencial de onda electromagnética,
y el hecho que relacionen campos con curvaturas y espacio-tiempo,
me hace pensar que quizás especialistas en el tema
pudieran encontrar en ésto, aportes al empeño
teórico de unificación de las fuerzas gravitatorias
y electromgnéticas soñado por Einstein y Kaluza.
También advierto una analogía formal entre la
ecuación temporal de Schroedinger y la que he presentado
del Flujo de Ricci igualmente una ecuación diferencial
no-lineal del tipo parabólico. . Si en ésta
realizamos la sustitución que encontrmos en el desarrollo
de la Teoría General de la Relatividad:

R=1/c2 donde =-c2/2(g+1), R tensor de curvatura de
Ricci, g componente de tensor métrico, potencial
gravitatorio, tendremos la siguiente expresión para el
Flujo: g= tg que es análoga a la ecuación temporal
de Schroedinger lo cual motiva a pensar en una solución
para la ecuación del flujo igualmente
análoga:g=const.exp1/2m(Et-pr) donde E
energía y p momentum. La solución
ondulatoria g quedaría relacionada con la curvatura de
Ricci por la expresión: R=-1/2 g y de esa forma
también tendríamos una relación
cuántico-relativista en el contexto de
geometrización.

Indicaré una forma de demostrar la
relación antes utilizada entre el flujo de Ricci y el
lapalaciano del potencial. Las ecuaciones de la TGR las
mostraré de la forma siguiente. Las ecuaciones de la TGR
pueden escibirse así:

R=8 k/c4(Tik-1/2gT) donde T tensor energía
impulso que lleva implícita la masa por lo que en esa
expresión de R se evidencia la relación curvatura-
masa que estipula la TGR.

Realizando la sustitución T=- c2 y g=1,
además por la relación antes vista de g en
función de se llega a

R=(4 k/c2) y aplicando. R= x derivada respecto a x del
símbolo de Christoffel que representa intensidad de campo
de modo que por las igualdades anteriores se tiene R=1/c2 que es
la relación que queríamos demostrar la cual nos
sirvió para llegar a una ecuación que mostrara el
carácter de ecuación diferencial no-lineal parcial
tipo parabólica del Flujo de Ricci.

Soy de la opinión al interpretar las conclusiones
de Perelman en la solución de la Conjetura, de que la
superficie del Universo "aparece" a cierta escala como una
estructura la cual en cada punto luce ser un espacio euclideo (en
inglés: manifold), pero que en una mas cercana
visualización nos mostraría cambios en la
topología y la superficie dejaría de ser suave y se
presentaría discreta,surgiendo como una espuma lo cual
interpretamos debida a las fluctuaciones cuánticas en el
espacio-tiempo fundamentada por el Principio de Heisenberg
(aspectos no mencionados en estos términos en la
literatura sobre la Conjetura a la que he podido acceder) . En su
solución de la Conjetura, Perelman maneja el Flujo de
Ricii para sortear de forma que pudiera calificarse de
"quirúrgica", las singularidades posibles que a la postre
muestra a la triesfera y posible forma del Universo, como
homeomórfica con toda estructura compacta simplemente
conexa. El llamar quirúrgico al procedimiento descrito
quizás sea una metáfora para el hecho de que la
aparición y aniquilación de partículas y
antipartículas producto de las fluctuaciones, Perelman lo
muestre como una supresión teórica del impedimento
de que en la estructura los lazos cerrados puedan
constreñirse hasta puntos. ¿Alguna analogía
con la intención de la Teoría de las Cuerdas de
ignorar u ocultar las singularidades y posibles desgarramientos
del tejido espacio-temporal a nivel subplanckiano representada
mediante los modelos de Calabi-Yau?, Una última
reflexión al respecto: por lo que he podido conocer
mediante lo aparecido en Internet y sobre todo en el
magnífico libro "The Poincaré Conjecture", de Donal
O´Shea, no se hace mención cuando se trata la forma
del Universo, a la expansión y posible futura
contracción del mismo.

La comunidad científica ha
reconocido los méritos indiscutibles de Grigori Perelman
al que consideran un genio y otorgaron la Medalla Fields en el
XXX Congreso de la Unión Matemática Internacional.
Sin embargo, Perelman de 40 años, al que se le conoce un
carácter muy especial, , rechazó un premio al que
se considera como el

Nobel de las Matemáticas, el cual iba a ser
entregado por el Rey de España y anunció que
rompía sus relaciones con la comunidad matemática,
se supone que por estar disgustado por el hecho de que algunos
aún discuten sobre lo acertado o no, de su solución
a la Conjetura de Poincaré. Matemáticos destacados
como el norteamericano John Ball, trataron de disuadirlo de su
drástica decisión, pero sin lograrlo.

Quizás una de las causas de la actitud asumida
por Perelman, fue el disgusto de conocer como algunos
matemáticos especializados en el tema de la Conjetura,
alegaron haber resuelto el famoso problema antes que él.
Tal es el caso de Shing-Tung Yau, nacido en Shan- Tuney, China,
pero desarrollado gran parte de su trabajo en EstadosUnidos, el
cual se le conoce por sus aportes a la Teoría de las
Cuerdas. Junto con Eugeno Clabi, es autor de los modelos de
espacio-tiempo conocidos como Formas de Calabi-Yau, los cuales
sirven como maquetas para visualizar los presupuestos de la
Teoría de las Cuerdas, Alegó que el ya había
con anterioridad resuelto la Conjetura, pero que tal hallazgo no
despejaba la duda sobre la forma del espacio. No obstante Yau
reconoció en una entrevista de prensa el talento de
Grigori Perelman.

Desde que en el 2002, Grigori Perelman, dio a conocer
que había resuelto el famoso problema de la Conjetura de
Poincaré, se ha suscitado entre quienes tienen cierto
grado de preparación matemática, gran
interés en conocer, detalles de en que consiste el tal
problema. Pero es el caso que la literatura , a un nivel como el
de los artículos del propio Perelman, disponibles en
Internet, resulta muy difícil de entender, para quienes no
poseen conocimientos suficientes de las disciplinas implicadas en
el tema de la conjetura, tales como Topología y
Geometría Difeencial. Pero aspectos fundamentales del
tema, como lo es el Flujo de Ricci, éste se presenta como
una ecuación diferencial en derivadas parciales
análoga a conocidas como la del Calor, la temporal de
Schrodinger, y otras del mismo tipo parabólico. Para
aquellos que en sus carreras universitarias si bien recibieron
cursos hasta de Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales,
pero no Teoría General de la Relatividad

(TGR), al no conocer sobre el Tensor de Ricci, no
advierten una ecuación diferencial en la expresión
habitual del Flujo de Ricci. En este trabajo intento en lo
posible, mostrar el carácter de ecuación
diferencial del Flujo de Ricci a partir de expresiones tomadas de
la TGR. Analizo también, en el mismo contexto, la
analogía entre la ecuación que nos ocupa con otras
importantes en física.

El Flujo de Ricci suele presentarse
así:

gt = –2R (1)

donde R tensor de Ricci y g componente del tensor
geométrico, en los cuales omito los subíndices
tensoriales para agilizar el procesamiento del texto.

Tomadas de la TGR, utilizo las siguientes relaciones
como ya antes hice y repito por su importancia,

R=1/c2 (2) y g=-1-2 /c2 (3)

para llegar a expresar el Flujo en la forma
siguiente:

g = gt (4)

la cual al aparecer un operador diferencial como el
laplaciano, ya muestra la condición de ecuación
diferencial del tipo parabólico con lo cual ya obtenemos
uno (el principal) de nuestros objetivos.

Por lo general en la literatura al uso, se recalca la
analogía del Flujo de Ricci con la ecuación del
Calor la cual suele expresarse en la siguiente forma:

T = c//kTt

expresión en la cual se advierte la
anlogía con la que hemos encontrado para el Flujo si
analogmos c/k con 1. Esta inusual analogía con un
número, la utilzaremos en lo que sigue para mostrar otras
analogías.

Ahora ya es fácil mostrar la analogía de
(4) con ecuaciones como la temporal de Schroedinger:

= -4 mi

cuya solución es = Cexp (-2 i/h(Et- p.r)).
Continuando con la analogía podemos tomar como
solución de (4) la análoga a esta última, la
cual tendrá esta forma: g = Dexp (-1/2m (Et-p.r)
donde se ha anlogado -4 mi con 1.

Para ambas soluciones hemos representado por C y D, las
respectivas constantes de integración las cuales se
determinarán de las convenientes condiciones
iniciales.

El Flujo de Ricci expresado en la forma (4) sólo
es analogable con ecuaciones diferenciales parciales del tipo
parabólico, lo cual me ha llevado a pensar en buscar una
especie de ampliación de (4) que nos permita analogarla
con ecuaciones del tipo elíptico.

Primero presentaré una ecuación de tipo
elíptico, la conocida ecuación de onda, la cual
representaré de esta manera:

y = -1/v2 ytt (5)

donde el laplaciano es en este caso unidimensional, y la
elongación y v la velocidad de propagación.. Como
se sabe, la soluvión de (5) es: y= Aexp(i(wt-kx)) con lo
que y=-k2y y ytt=k2v2y que puestos en (5) confiman lo
dicho.

Procedimiento análogo pudo haberse seguido con la
ecuación de onda electromagnética tambíen
elíptica y no lineal la cual manteniendo la
notación utilizada la repeesentamos así:

f = n2/c2 ftt

donde se toma como un comodín o joker para
representar, según el caso, al campo eléctrico o el
magnético. En este caso la analogía con el Flujo lo
realizamos analogando el coeficiente en el segundo miembro con
1.

Veamos ahora como puede llegarse a una expresión
que pudiera analogarse con (5) como el Flujo de Ricci se
analogó co la Ecuación de Schcroedinger. Para ello
analogamos y con g y –1/v2 con 1 por lo cual obtenemos la
expresión:

g = gtt (6)

Ahora mediantte (2) y (3) llego a g=-2R que puesto en
(6) da:

gtt = -2R (7)

muy parecida a (1). A la ecuación (7) a la cual
he llegado, sugiero llamarla Extensión del Flujo de Ricci
y que debidamente modificada en forma similar a (6),
podría generalizarse para los tres tipos de ecuaciones
diferenciales parciales. El Flujo Generalizado se
presentaría así:

gti = ng donde i=1 o 2 n= número de
dimensiones.

Conclusiones

Como ha podido verse además de presentar el
componente histórico y conceptual de lo esencial
relacionado con la Conjetura de Poincaré, he dedicado
especial atención a mostrar el carácter de
ecuación diferencial en derivadas parciales no lineal del
tipo parabólico de la ecuación que expresa al Flujo
de Ricci, motivado por el hecho cierto de que quienes se acercan
al tema en cuestión.sin conocimientos especializados en
Topología y Geometría Diferencial así como
tampoco en TGR, no veían en la sumamente escueta
expresión con que suele representarse al Flujo indicios de
una ecuación que respondiera a las caracteríticas
señaladas no obstante haber cursado en su formación
universitaria avanzados cursos de Cálculoy Ecuaciones
Difderenciales. En ese contexto introdujimos algunas
analogías formales del Flujo con importantes ecuaciones de
la fíisica tales con las de Schroedinger, las de las
ondas, así como la del calor que es la mas socorrida para
comparar con la del Flujo. Por último y sólo como
algo curioso sin intención de sugerir su uso
científico,aunque si quizás el didáctico,
hicimos una digresión acerca de una posible
generalización a otros tipos de escuaciones y para otro
número de dimensiones, de la expresión del Flujo de
Ricci.

Bibliografia

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London.

Landau, L. y E.Lifshitz. 1968.Teoría Clasica de
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O´Shea, D.2007 The Poincaré
Conjecture. Walker and Company. New York.1984.

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Clásica de los Campos. Pergmon

Press.1962.

O´Shea, D, The Poincaré
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York. 2007

Autor:

Joaquín González
Álvarez

j.gonzalez.a[arroba]hotmail.com

Graduado en Enseñanza Superior de
Fícica y de Optometrista en la

Universidad de la Habana.

Profesor Universitario de Física
(Jubilado).

Autor de varios libros de texto y de
divulgación de su especialidad. Ha publicado multitud de
artículos de su especialidad en revistas,
periódicos, la radio y la televisión en Cuba,
España, México y Nicaragua.

Es Miembro de Mérito de la Sociedad
Cubana de Física..