del
momento total en una sección transversal dada es resistido por las vigas y un
porcentaje pequeño por la losa.
Dentro de estos dos casos, el peralte de la viga puede ser de cualquier valor y el
momento total se distribuye entre la viga y la losa, de acuerdo con sus ridideces
flexionantes.
EFECTO DE LA RIGIDEZ TORSIONANTE DE LAS VIGAS
La rigidez torsionante de las vigas proporciona un empotramiento parcial a las
losas. Su efecto es de especial importancia en los bordes del sistema de piso y en
tableros interiores, cuando un tablero se encuentra carado y el tablero adyacente
descargado. En el primer caro, cuando mayor sea la rigidez torsionante, mayores
serán los momentos negativos. El segundo caso se analiza al estudiar el efecto
del tipo de carga que se verá enseguida.
Para que en un sistema de piso exista el efecto de la rigidez torsionante de las
vigas, es necesario que estas sean monolíticas con la losa y con las columnas. Si
no se cumple la primera condición, las vigas no pueden restringir o empotrar a la
losa, y no pueden desarrollarse momentos flexionantes en la losa en los bordes
del sistema de piso. Si la viga no es monolítica con las columnas, no pueden
desarrollarse en ella momentos torsionantes, pues giraría libremente en sus
extremos.
202
METODO DE DISEÑO DIRECTO.
El metodo de diseño directo consiste en un conjunto de reglas para el
dimensionamiento de secciones de losa y de vigas para resistir los esfuerzos de
flexion. Las reglas se han desarrollado para satisfacer simultáneamente los
requisitos de seguridad y la mayoría de los requisitos de servicio.
El metodo de diseño directo incluye tres pasos fundamentales, que se muestran a
continuación.
1. Determinación del momento estático factorizado total para el diseño flexion.
2. Distribución de la sección estática factorizada total para el diseño de las
secciones de momentos negativos y positivos.
3. Distribución de los momentos factorizados negativos y positivos en las
franjas de columna y centrales y en las vigas, si las hay.
LIMITACIONES
El metodo de diseño directo se desarrollo tomado en cuanta los procedimientos
teóricos para determinación de los momentos en losas con y sin vigas, los
requisitos de los procedimientos simples de diseño y construcción y los
procedentes sentados por el comportamiento de los sistemas de losas. En
consecuencia, los sistemas de losa que se diseñan con el metodo de diseño
directo deben cumplir con las siguientes limitaciones:
1. Debe existir un mínimo de tres claros continuos en cada dirección.
2. Los tableros deben ser rectangulares, con una relación de claro mayor a
claro menor, centro a centro de los apoyos dentro de un tablero, no mayor
de 2.
a2L1
3. Las longitudes sucesivas de los claros de centro a centro de los apoyos en
cada dirección no deben diferir del claro mayor en más de un tercio.
4. Las columnas pueden estar desalineadas un màximo del 10% del claro (en
la dirección del desalineamiento) a partir de cualquier eje que una los
centros de columnas sucesivas.
5. Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y estar distribuidas
de manera uniforme en todo el tablero. La carga viva no debe exceder de 3
veces la carga muerta.
6. Para un tablero con vigas entre los apoyos en todos los lados, la rigidez
relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares, no debe ser menor
que 0.2 ni mayor que 5.0
a1L22
2
———-
(C)
En esta ecuación, L1 es el claro en la dirección en que se determinan los
momentos, medido centro a centro de los apoyos, L2 es el claro en dirección
perpendicular, tambien medido centro a centro de los apoyos, y los términos a
son iguales a la relación entre la rigidez a flexion de la viga y la rigidez a flexion de
la franja de losa comprendida entre los ejes centrales de los tableros situados a
cada lado de la viga; a1 es el valor de a en dirección del claro L1 y a2 en
dirección del claro L2 .
Las cuatro primeras limitaciones tienen por objetivos garantizar que la estructura
sea suficientemente rectangular en su geometría, principalmente para que no se
desarrollen desplazamientos laterales de la estructura por condiciones de
asimetría, que modificarían el momento estático total. No son limitaciones muy
203
severas, ya que en la mayoría de los casos prácticos se cumplen estas
condiciones.
La limitación del enciso e) si impide la aplicación del metodo a un buen numero de
estructuras encontradas en la práctica, ya que es común tener fuerzas
horizontales producidas por viento o por sismo. Esto limita el uso de este metodo a
estructuras bajas situadas en zonas en que los efectos de fuerzas horizontales
sean despreciables, o bien a estructuras que tengan muro de cortante o
contravientos para resistir las fuerzas horizontales.
Con la limitación f), se trata de evitar la aplicación del metodo a estructuras que
tenga vigas de muy distinta rigidez en las dos direcciones. Desde luego que esta
limitación no se aplica en el caso de losas planas e inclusive no evita que el
método pueda usarse en losas planas con vigas de borde, caso muy frecuente en
la práctica.
DETERMINACION DEL MOMENTO ESTATICO TOTAL
Para la determinación del momento estático total, se consideran franjas de losa
como las mostradas en la figura 5.12. Si se trata de una franja interior, como la del
eje 2 de esta figura, se considera que esta limitada por los ejes centrales de los
tableros adyacentes al eje, por lo que el ancho de la franja es el promedio de los
claros transversales de dicho tableros.
De este modo, para la franja del eje 2 se tiene un ancho de:
Lb + Lc
2
L2 =
Si es una franja de borde, como la del eje 1, esta limitada de un lado por el borde,
y del otro por el eje 1, esta limitada de un lado por el borde, y del otro por el eje
central del tablero. En el caso de esta franja, su ancho será:
204
205
Lb
2
L2 = La +
El momento estático total puede calcularse con una ecuación igual a la
ecuación “A”. En esta ecuación y en la figura 5.11 se supuso que los apoyos son
puntuales, lo que no sucede en estructuras reales. Para tomar en cuenta esta
diferencia, en el reglamento ACI 318-89 se considera que el claro, Ln , debe
medirse entre las caras interiores de las columnas, capiteles o muros en que se
apoye la losa, como se muestra en la figura 5.12, pero que en ningún caso debe
ser menor de 0.65L1. Los apoyos circulares o en forma de polígono regular deben
tratarse como apoyos cuadrados que tengan la misma área.
Con estas consideraciones sobre el ancho L2 y en el claro L1 de las franjas de
losa, el momento estático total se calcula con la ecuación:
Wu.L2Ln2
8
Mo =
Para cada claro y para todas las franjas en las dos direcciones.
206
DISTRIBUCION
DEL
MOMENTO
ESTATICO
TOTAL
EN
MOMENTOS
NEGATIVOS Y POSITIVOS (MOMENTOS LONGITUDINALES).
En un claro interior, el momento estático total Mo debe distribuirse como se indica
a continuación:
Momento negativo factorizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.65
Momento positivo factorizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.35
En un claro extremo, el momento estático factorizado total Mo debe distribuirse
como se indica a continuación:
207
La columna 1 de la tabla anterior se aplica si la losa esta libremente apoyada en
un muro de mampostería o en un muro de concreto no construido monolíticamente
con la losa. La columna 2, a sistemas con vigas entre los apoyos, como en el caso
de losas apoyadas perimetralmente o en vigas de poca rigidez a flexion. Las
columnas 3 y 4 son para el caso de losas planas, que tengan viga de borde o que
no la tengan, respectivamente. Y la columna 5, para el caso de losas construidas
monolíticamente con muros que tengan una rigidez a flexion tan grande en
comparación con la de la losa, que ocurra muy poca rotación entre la losa y el
muro.
Los coeficientes de la tabla son tales que el promedio de los que corresponden a
momentos negativos sumados al que corresponde a momento positivo es siempre
igual a uno, para que se conserve el momento estático total.
Los momentos calculados con la tabla son lo que actúan en los paños de columna.
Cuando los momentos en las dos caras de una columna no son iguales, como
suele suceder en la primera columna interior, se debe diseñar con el momento
mayor, o bien, distribuir el momento de desequilibrio entre los miembros que
concurren al nudo de acuerdo con su rigidez.
208
Cuando existen vigas de borde perpendiculares a la dirección en que se hace el
análisis, los momentos negativos exteriores en la losa, se transfieren como
momentos torsionantes a dichas vigas, lo cual debe ser considerado en su diseño.
Cuando no existen dichas vigas, se debe considerar que una franja de losa que
actúa como viga de borde resiste el momento torsionante correspondiente. Las
características de esta viga ficticia de borde se indican mas adelante.
En las columnas de borde hay una fuerte transferencia de momento flexionante
entre losa y columna. De acuerdo con el reglamento ACI 318-04, el cual especifica
que dicho momento se transfiera en este caso, debe ser igual al momento
resistente de la franja de columnas, como se muestra en la figura 5.13.
Una fracción de este momento dada por la ecuación:
2
3
1+
1
c1 + d
c2 + d
d f =
debe transferirse por flexion entre losa y la columna, considerando para estos
efectos un ancho de losa igual al ancho de la columna en dirección perpendicular
a la del momento, c2, mas una vez y media del espesor de la losa, 1.5 h, a cada
lado del paño de columna. La fracción restante del momento debe transferirse por
excentricidad de la fuerza cortante.
DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS A LO ANCHO DE LA FRANJA
Los momentos hasta ahora calculados son lo que actúan en todo el ancho de la
franja L1 de la figura 5.12. Es necesario distribuirlos ya que su distribución no es
uniforme. Para ello, las franjas de losa se dividen en una franja de columnas y una
franja central, como se muestra en la figura 5.14.
4
El ancho de la franja de columnas se limita al menor de los valores de L1
4
o L2
a cada lado del eje de columnas, para que en el caso de tableros alargados en
dirección de L2, la franja de columnas no sea demasiado ancha. Las dos medias
franjas centrales abarcan desde el borde de cada franja de columnas hasta el eje
central del tablero correspondiente. La distribución se hace de tal manera que el
momento total de la franja completa se divide primero en la franja de columnas y la
franja central, completa se divide el momento de la franja de columnas entre la
losa y la viga. A continuación se presentan los porcentajes de distribución.
209
210
1. Franja de columnas. Los porcentajes del momento en la franja completa
que corresponden a la franja de columnas se presenta en la tabla 5.3.
2. Franjas centrales. La diferencia entre 100 por ciento y el porcentaje
asignado a las franjas de columnas.
3. Distribución entre viga y losa en la franja de columnas. A las vigas se les
L1
asigna el 85% del momento en la franja de columnas si (a1L2
) =1.0 . Si
este parámetro esta comprendido entre 1.0 y cero, el porcentaje de
momento asignado a las vigas se calculara por interpolación lineal entre
85% y 0%.
4. Las vigas deben tener las dimensiones adecuadas para resistir los
momentos provocados por cargas concentradas o lineales aplicadas
directamente en las vigas, incluyendo el peso del alma que se proyecta por
encima o por debajo de la losa, además de los momentos calculados para
cargas uniformes.
5. Modificaciones en los momentos. Los momentos factorizados positivos y
negativos pueden modificarse en un 10% siempre que se conserve el valor
del momento estático total.
211
212
Tabla 5.3.- Porcentaje de los momentos totales que se asignan a las franjas de
columnas.
Puede usarse interpolación lineal entre los valores mostrados.
213
DETERMINACION DE LA FUERZA CORTANTE EN VIGAS Y LOSAS
El área tributaria para calcular el cortante en una viga interior aparece sombreada
en la figura 5.15, siempre que el parámetro
L1
a1L2
=1. Es decir, cuando las
vigas son suficientemente rígidas, se considera que la carga distribuida que actúa
en la losa se transmite a las vigas de la manera indicada, y a partir de la carga que
actúa sobre las vigas, puede calcularse la fuerza cortante en las mismas para
fines de diseño o revisión.
Si las vigas son flexibles
L1
a1L2
?min imo = 0.0018
? =?
As = ?db = (0.0062)(79)(9) = 4.69cm2
Usando varillas del no. 4 tenemos.
No solo existen 2 vrs, en la franja de 79 cm, se agregaran 2 vrs. Adicionales.
Calculo del refuerzo para las franjas centrales:
En el borde de la losa, el momento en las franjas centrales vale cero, ya que la
franja de columna absorbe el 100% del momento factorizado, debido a esto, se
colocara el acero mínimo por temperatura.
Por lo que se colocaran varillas del no. 4 @ 26 cm.
Por lo tanto, el armado final en el borde de la losa, dentro de la franja de diseño
queda de la manera siguiente:
Momento que resisten las 4 varillas sobre la columna.
La fracción de momento no equilibrado transmitida por excentricidad de cortante
debe estar basada en la resistencia nominal plena de momento, Mn,
proporcionada en la franja de columna,
234
=
] 6[(2)(44.5)(9)[44.5+ (2)(49)+93(2×44.5+ 49)
235
•
Momento que resisten la franja de columna,
Se supone un momento de transmisión Mn, en el centroide de la sección critica de
transmisión.
c).- Esfuerzo cortante combinado en el paño interior de la sección critica de
transmisión.
El esfuerzo cortante se calcula con la ecuación:
+
Vu =
vu
Ac
s.M
J
C
Haciendo referencia a la figura 17.6 del apéndice, para la columna de borde con
flexion perpendicular.
9
2
d
2
= 44.50cm
= 40 +
a = C1 +
b = C2 + d = 40+9 = 49cm
=14.35cm
a2 44.502
(2.a +b) ((2)(44.50)(49))
c =
Ac =(2.d +b).d =[(2×44.5)+49](9) =1242cm
]]
44.5
a
J
C
=19,400cm3
=
6.[2.ad.(a + 2b)+ d 3.( 2.a +b)
=
2
3
1+
1
C1 + d
C2 + d
s v =
236
Para columnas cuadradas; s v = 0.40 ; sustituyendo este valor tenemos:
448000
19400
8910
1242
cm2
=16.41kg
+ (0.40)
Vu =
d).- Esfuerzo cortante permisible.
cm2
cm2
L, de acuerdo a la estática, la
fuerza total resistente de presiones en el
suelo debe ser igual y col lineal con la
carga aplicada.
8
Para que exista equilibrio.
8
X /3= L/2-e
por lo tanto x = 3(L/2-e)
Como: P =sx/2.B
Resulta: P = (s3(L/2-e)B)/2
Finalmente, despejando a B:
B = 2p/3s(L/2-e)
R= Resultante de presiones en el suelo
P= Suma de cargas verticales
M = Momento
e= Excentricidad = M /P
condición e > H /6
L= Lado de la Zapata en el sentido del
momento.
B = Ancho de la Zapata
s = Presión máxima admisible en el suelo
9
DISTRIBUCIÒN UNIFORME DE PRESIONES
El segundo criterio establece que se puede considerar una distribución uniforme
de presiones en tal forma que la resultante de las cargas sea concéntrica y de la
misma magnitud de la resultante de presiones del suelo. Para el caso de
excentricidad en una elección se tiene:
ZAPATA CORRIDA O COMBINADA
En los tres casos, las piezas trabajan básicamente a flexión, debiéndose
verificar por tensión diagonal y adherencia. En los casos de zapata corrida y
combinada, la resultante de cargas debe coincidir con la resultante de reacciones del
terreno para equilibrio del cimiento.
10
CASCARONES
Superficie paraboloide hiperbólico, trabajo a esfuerzos directos.
11
BÓVEDA CÁSCARA
Régimen mixto de esfuerzos en membrana y flexión con un predominio de los
primeros.
PLATAFORMA CORRIDA
Substitución o compensada. El peso del edificio substituye el peso total o parcial del
suelo extraído.
12
CIMIENTOS EN COLINDANCIA
ZAPATAS COMPUESTAS
En las zapatas compuestas, la condición básica será que coincida el centro de
gravedad de la base con la resultante de cargas.
EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES EN CIMENTACIONES.
Uno de los problemas mas fuertes en las cimentaciones, es la solución al
equilibrio de fuerzas verticales en cada una de las columnas; en otras palabras, a
lograr la igualdad de acción entre solicitaciones verticales de columnas y reacciones
virtuales provocadas por continuidad en las contra trabes de cimentación.
Suponiendo la contra trabe (ABC) como parte de un sistema de cimentación se
observa lo siguiente:
Existe equilibrio total pero no parcial del sistema de fuerzas verticales. El
problema a solucionarse consiste en equilibrar las fuerzas normales el plano del
13
14
estructura, por lo cual se puede seguir distintos caminos; uno de ellos de ser expuesto
por el Sr. Ing. A. Olvera en su libro “estructuras de concreto” por un método que
designa con el nombre de equilibrio de cortantes.
MÉTODO: EQUILIBRIO DE CORTANTES
Encontramos una cimentación por plataforma corrida a base de los hace contra
trabes coladas ortogonalmente. Al efectuar el equilibrio de fuerzas verticales (carga
sobre cimentación y reacciones nudos) posiblemente exista un desequilibrio en los
nudos que componen el sistema.
Debido a la diferencia de fuerzas verticales, si se analiza el nudo (A) suponiendo el
resto fijos, habrá sufrido un desplazamiento (¡Error! Marcador no definido.) que es posible
expresar en función de las características de las contra trabes. En el caso de piezas
de sección constante vale:
15
1. AYUDAS DE DISÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO
CONFORME AL REGLAMENTO A.C.I. 318-04 (2006) : EDITORIAL
NORIEGA EDITORES, QUINTA EDICION.
2. EDIFICIOS
DE
BAJA
ALTURA
(1998) :
EDITORIAL
INSTITUTO
MEXICANO DEL CEMENTO Y DEL CONCRETO, A.C., MEXICO,
PRIMERA EDICION.
3. GONZALES
CUEVAS
Y
OSCAR
M.
(1989) :
ASPECTOS
FUNDAMENTALES
DEL
CONCRETO
REFORZADO,
EDITORIAL
NORIEGA EDITORES, MEXICO, TERCERA EDICION.
4. G. NAVY, EDWARD (1990) : CONCRETO REFORZADO, UN ENFOQUE
BASICO, EDITORIAL PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A.,
MEXICO, PRIMERA EDICION.
5. H. NILSON ARTHUR AND WINTER GEORGE (2000) : DESIGN OF
CONCRETE STRUCTURES, PRINTED BY MC GRAW-HILL, USA.
6. NOTAS DE LAS CLASES DE INGENIERIA CIVIL (1995) : UNAM, MEXICO.
7. PARKER HARRY (1986) : DISEÑO SIMPLIFICADO DE CONCRETO
REFORZADO, EDITORIAL NORIEGA EDITORES, MEXICO.
8. PORTLAD CEMENT ASSOCIATION (1995) : EDITED BY S.K. GOSH AND
BASILE G. RABBAT, USA, FIRST EDITION.
9. REGLAMENTO
DE
LAS
CONSTRUCCIONES
DE
CONCRETO
REFORZADO DEL A.C.I. 318-04 Y COMENTARIOS (2006) : INSTITUTO
MEXICANO DEL CEMENTO Y DEL CONCRETO, MEXICO, PRIMERA
EDICION.
10.TREMARI GOMEZ, RAUL (1990) : DISEÑO PRACTICO DE ELEMENTOS
DE CONCRETO REFORZADO, EDITADO POR LA UNIVERSIDAD
AUTONOMA DE GUADALAJARA.
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