Análisis básico del experimento de Michelson y Morley (1887) (página 2)

En estas condiciones la velocidad de la luz
c" resultante, que se mediría en la
Tierraen el eje perpendicular al movimiento,
sería: c´=c 2 v
2(aplicando Pitágoras). Visto
desde

el observador las trayectorias y
velocidades serán (figura 3):

Figura 3. Intreferómetro de Michelson
en un sistema con éter en movimiento visto desde el
observador.

En el interferómetro lo que se mide es
la proporción entre c y c" cuyo valor
es:

c´ =1 v .c c 2

Resultado del
experimento:

Los resultados del experimento, tal como se
consignaron en la publicación A. A. Michelson and E.W.
Morley, Philos. Mag. S.5, 24 (151), 449-463 (1887), fueron
negativos.

Esto es, independientemente de la dirección la
medida, la hora el día y el mes, la velocidad de la luz es
la misma y constante. Es decir, independientemente de la
dirección, hora y día, los resultados son que
c"/c = 1, como si el sistema estuviera en
reposo respecto del éter (tal como en la figura
1).

Conclusiones:

Las conclusiones de este experimento fueron
básicamente cuatro:

" El éter no
debía existir.

" En 1902 Lorentz
supuso que en la dirección del movimiento, el brazo
delv 2
interferómetro sufría una contracción
precisamente en un factor 1
.c 2

" En 1904 Lorentz
enmarca la contracción (que ya se empezaba a conocer
como contración de Lorentz) en el conjunto de
un cambio a las transformaciones de Galileo. A estas
transformaciones de Galileo modificadas se les llamó
Transformaciones de Lorentz.

" En 1905 Einstein propone que
las transformaciones de Galileo son una consecuencia de un
principio más general: La constancia de la velocidad de la
luz en los sistemas inerciales.

El éter no debía
existir

El experimento indicaba que, si existía, el
éter debía estar en reposo en todas las direcciones y
en cualquier sistema inercial. Puesto que la tierra se mueve, que
el eter estuviera en reposo debería ser imposible. En
consecuencia el éter no debía existir.

La ausencia del éter abría un nuevo problema:
Si el éter no existe: o la luz no era una onda, en contra de
los fenómenos de interferencias (Young 1801) y
difracción (Fresnel 1818) y de la teoría
eletromagnética de Maxwell, o en caso de ser onda ¿cual
era el medio en el que se movía la luz?

La propuesta de Lorentz de
1902

La idea de Lorentz de 1902 era ingeniosa:
la ecuación

(Fórmula visible en la versión de
descarga)

reposo los dos brazos del interferómetro miden lo
mismo (se calibran cambiando las orientaciones). Pero
¿necesariamente esto quiere decir que, en movimiento, deben
medir lo mismo?. Si suponemos que en movimiento el brazo
horizontal del interferómetro pasa de ser b a ser
b" entonces, para que se cumplan todas las ecuaciones
teóricas y resultados prácticos debe verificarse
que:

(Fórmula visible en la versión de
descarga)

Con este resultado como c =
b"/t y c" = b/t
(Lorentz en 1902 consideraba el tiempo absoluto) todas las
ecuaciones cuadraban. A esta contracción se le llamó
contracción de Lorentz- Fitzgerald (publicada en
1903).

Ahora bien, ¿por qué se producía esta
contracción? Lorentz lo enfocó de una forma muy
inteligente. Supongamos por un momento que sí existe el
éter. Lorentz entonces se preguntaba ¿Cómo
afectaría este éter al campo
electromagnético?.

Está claro que a la luz, que es una
onda electromagnética, el éter le afectaba

v2

cambiando su velocidad precisamente en un
factor

1 al que se llamó factor de
Lorentz.

c2

Siendo así, como los enlaces moleculares de los
cuerpos macroscópicos son también por fuerzas
electromagnéticas, entonces el éter también
debía modificar las distancias intermoleculares.

En consecuencia, de una forma muy ingeniosa
Lorentz pretendía salvar el concepto de éter a costa de
una contracción en la dirección del
movimiento.

¿Cómo pretendía llevar a cabo esta
contracción sobre los campos electromagnéticos?. En un
primer momento Lorentz hizo un estudio exhaustivo de las
propiedades moleculares de los sólidos y como estas
debían variar con la velocidad del éter. Es decir, se
planteó el problema desde un punto de vista químico.
Pero sus resultados, no solo no fueron concluyentes, sino que en
el mejor de los casos eran ambiguos.

La propuesta de Lorentz de
1904

En 1904 Lorentz se planteó el problema, nuevamente,
desde un punto de vista físico. Ya no estaba tan convencido
de la existencia del éter y empezó a pensar que el
error estaba en las transformaciones de Galileo modificadas por
él mismo en 1897.

En 1638 Galileo estableció cuales deberían ser
las transformaciones para pasar las coordenadas de un sistema de
referencia a otro que se moviera respecto del primero con una
velocidad constante v en el eje de las x. Estas
ecuaciones eran:

x = x'+vt

y = y'

z = z'

En esa época el tiempo se consideraba absoluto y
que no dependía del sistema de referencia. Por ello, aunque
actualmente se completan estas tres ecuaciones con t =
t", lo cierto es que Galileo no escribió nunca esta
cuarta ecuación por ser para él una
obviedad.

En 1865 Maxwell desarrolló un conjunto de cuatro
ecuaciones que resumían todos los trabajos anteriores que se
habían hecho en electricidad y magnetismo: Ley de Gauss,
ausencia de monopolos magnéticos (del propio Maxwell), Ley
de Faraday y ley de Ampere (generalizada por Maxwell). Estas
ecuaciones combinadas, conducían a la expresión de las
ondas electromagnéticas, pero no eran invariantes ante las
transformaciones de Galileo, esto es, si en tales ecuaciones se
sustituyen x, y y z por x",
y" y z" según las transformaciones de
Galileo, el resultado son ecuaciones distintas.

En 1897 Lorentz observó que las
ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo se podrían
ajustar a unas trasformaciones de Galileo "modificadas" asumiendo
que el tiempo era

variable en ambos sistemas, de forma tal
que las transformaciones quedaban de la forma:

x = x'+vt'

y = y'

z = z'

t = t '+ v
x'

c 2

A este concepto de transformación del tiempo se le
llamó "tiempo local de Lorentz" que analizado por
Poincaré en 1900 correspondía a la sincronización
de relojes mediante señales luminosas, suponiendo que la luz
fueran partículas. La cuestión era la siguiente
(recordemos que aun estamos en mecánica prerrelativista): Si
un reloj mide un tiempo t, un observador que se
encuentre en reposo respecto del reloj, pero a una distancia
x" verá el reloj retrasado en
x"/c (que es el tiempo que tarda la señal
luminosa en llegar hasta el observador).

Sin embargo, si el observador se mueve alejándose
del reloj a una velocidad v, el retraso será
debido, no sólo a la distancia, sino también a la
"disminución" (¡recordemos que aun estamos en
mecánica prerrelativista!) de la velocidad de la luz por
efecto de la velocidad v (suponiendo que la luz fueran
partículas). Es decir, si en el sistema en reposo la
velocidad de la luz es c, en el sistema en movimiento
debería viajar a una velocidad (¡¡recordemos que
aun estamos en mecánica prerrelativista!!) de c +
v.

Puesto de la distancia recorrida por la luz
debía ser la misma: x = x", (estamos
en

1900) esta diferencia de velocidad será a costa de
una diferencia entre t y t" (c =
x/t ; c + v =
x"/t") de la forma t·c =
t"·(c + v). Desarrollando
(Poincaré 1900; recordemos que este desarrollo no tiene en
cuenta la contracción de Lorentz):

? v
?

? v
?

? v ??
v ?

v ?
v 2 ?

t·c =
t'·(c + v) ? t = t
'·?1 +

? ?
t?1

? = t'·?1
+

??1

? ?
t

t =
t '·?1 ? ?

v v 2

c
 

v 2

c
 

v

c   c
 

v

c c
2  

v

t x = t
'

c 2
c 2

t ' ? t = t
'

c 2

t '+

c 2

x ? t = t
'+

c 2

( x vt' ) ? t =
t '+ x'

c 2

que era la modificación que hizo
Lorentz a las trasformaciones de Galileo en 1897.

En 1904 Lorentz se dio cuenta que debía hacer unas
nuevas modificaciones a las transformaciones de Galileo
modificadas en 1897, para añadirles el factor de Lorentz. En
un principio, para que se verificara la contracción de
Lorentz era necesario que el factor se

incluyera en la transformación de la
coordenada x:

x = x'+vt '

v 2

1

c 2

Sin embargo, esto implica que en el
desarrollo de Poincaré hay que partir, en vez de
x

= x" de una expresión con el
factor de Lorentz acorde con la contracción,
obteniendo:

t '+ v x'

t = c

v 2

1

c 2

Esta transformación del tiempo estada de acuerdo
con las observaciones hechas por Larmor en 1897 que indicaban que
el movimiento circular de un electrón en un campo
magnético exterior, según las ecuaciones de Maxwell,
suponía una dilatación del tiempo propio del
electrón en un factor igual al factor de Lorentz. En
consecuencia las

transformaciones de Lorentz en 1904
quedaban establecidas de la siguiente forma:

x = x'+vt '

v 2

1

c 2

y = y'

z = z'

t '+ v x'

t = c

v 2

1

c 2

Y su interpretación era la siguiente: "cuando se
hace un cambio de sistema de referencia entre dos sistemas
inerciales que se separan a una velocidad v, si la
posición y tiempo de un suceso se realiza mediante
señales luminosas, las transformaciones de Lorentz nos
indican las coordenadas en el nuevo sistema".

Como podemos comprobar, aunque las trasformaciones son
relativistas, la interpretación es claramente
prerrelativista.

La propuesta de Einstein de
1905

Como habremos observado, la deducción de las
transformaciones de Lorentz fue básicamente
fenomenológica. Esto es, mediante unas observaciones se
modificaron las transformaciones de Galileo.

Para Einstein, la forma de afrontar el problema es desde
el resultado básico y esencial del experimento de Michelson
y Morley. Esto es, como c/c" = 1 entonces
c = c". En consecuencia, no sólo no existe
el éter, si no que, además, la velocidad de la luz debe
ser constante e independiente del sistema de referencia inercial
en el cual se mida.

La cuestión es básicamente la siguiente: Una
onda tiene una determinada velocidad respecto del medio en el
cual se transmite. Las diferencias en las velocidades medidas
dependen de la velocidad del medio respecto del foco y del
observador. Si no existe el éter pero la luz sigue siendo
una onda, su velocidad es independiente de las velocidades del
foco y del observador.

Dicho de otra forma: el medio en el cual se transmite
una onda es el "intermediario" que permite relacionar la
velocidad de la onda en el medio con la velocidad de foco y
observador en el medio. En el caso de la luz, si no hay medio, la
velocidad de la luz es independiente de la velocidad del foco y
el receptor.

Cabría preguntarse: Si no existe el éter
¿En que medio se transmite la onda que es la luz?. La
respuesta a esta pregunta la planteó Einstein mismo en su
artículo anterior sobre el efecto fotoeléctrico, en el
cual establece el cuanto de luz con la ecuación de Planck
como el

corpúsculo lumínico (que más
adelante se llamaría fotón). En consecuencia, la luz
sería una dualidad onda-corpúsculo.

La constancia de la velocidad de la luz se
puede expresar de la forma: Si (x, y,
z) son las coordenadas de un punto que la luz tarda un
tiempo t en alcanzar desde el origen,
entonces:

c2·t2 = x2 + y2 +z2.

Esta es la ecuación de una esfera de
centro el origen y de radio
c·t.

La constancia de la velocidad de la luz viene a decir
que, en otro sistema de coordenadas, el mismo haz de luz que
produce una esfera en el primero también debe producir una
esfera en el segundo, es decir:

c2·t"
2 = x" 2
+ y" 2
+z" 2.

Por tanto, las transformaciones entre sistemas de
referencia son aquellas que transforman unas "esferas de haces de
luz" en otras "esferas de haces de luz".

Busquemos estas transformaciones. Trabajemos en dos
dimensiones, con trasformaciones lineales. Entonces.

x = a·x"
+ b·t" Æ x2 = a2x"
2 + b2t"
2+2abx"t"

t = g·x"
+ d·t"Æ t2 = g2x" 2
+ d2t" 2+2gdx"t"

Sustituyendo en la ecuación de la
primera esfera queda:

c2·t2 = x2 Æ
c2·(g2x" 2 + d2t"
2+2gdx"t") = a2x" 2
+ b2t" 2+2abx"t"

Como este resultado se tiene que obtener la
ecuación de la segunda esfera. De esta forma, los
parámetros a, b, g y d
nos quedan:

§ab
c 2·gd =
0

ª

¨c
2·d 2
b 2
= 1

ªa 2
c
2·g 2
= 1

Como cuarta relación establecemos que
el segundo sistema de referencia se mueve respecto del primero
con una velocidad x"/t" = –v.
Esto conduce a la relación:

Como x =
a·x" + b·t" para
x = 0 se obtiene a·x" = –
b·t" Æ a· v =
b

Resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones
con cuatro incógnitas se obtiene:

a = d =

1 ; b = v
;

v 2
v 2

1 1

c 2
c 2

v g = c
2

1 v

c 2

que sustituido en el sistema lineal conduce
a las transformaciones de Lorentz.

Como podemos ver, la hipótesis de la constancia de
la velocidad de la luz en los sistemas inerciales explica los
resultados del experimento de Michelson y Morley, la no
existencia del éter y engloba desde un punto de vista
teórico (y no fenomenológico) los resultados parciales
de Larmor y Lorentz.

Bibliografía

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Vol I. Mecánica. pp136-149 Addison-Wesley. Experimento
Michelson-Morley. Wikimedia.

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Michelson-Morley

Interferómetro de Michelson.
Wikimedia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Interfer%C3%B3metro_de_Michelson

Lorentz transformation. Wikimedia.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

Bibliografía
Histórica:

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Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen
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Larmor, J. (1897) "On a dynamical theory of the electric and
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Trans. Roy. Soc. 190, 205-300.

Lorentz, H. A. (1895) Versuch Einer Theorie
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Lorentz, H. A. (1899) "Simplified theory of
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Lorentz, H. A. (1904) "Electromagnetic
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Maxwell JC. A Dynamical Theory Of The
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http://books.google.com/books?vid=ISBN0486495604&id=duyKrTNps_AC&pg=PA526&lp
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S431TklLmLLYbdZMKfl7H0g

Michelson AA, Morley EW, Philos. Mag. S.5,
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http://www.aip.org/history/gap/PDF/michelson.pdf

Poincaré, H. (1898) La mesure du
Temps, reprinted in La valeur de la science,
Ernest

Flammarion, Paris.

Poincaré, H. (1900) La Theorie de
Lorentz et la Principe de Reaction, Archives

Neerlandaises, V, 252-78.

Autor:

Enrique Ordaz Romay

Facultad de Ciencias Físicas,
Universidad Complutense de Madrid (España)