erda AB y bajo la acción de la fuerza horizontal F
suponiendo que AB = 150 cm. y que la distancia entre la pared y
el cuerpo es de 90 cm, calcular el valor de la fuerza F y la
tensión de la cuerda. cos d = 90 150 = 0,6 A d = arc cos
0,6 d = 53,130 TX = T cos d T 150 cm d 0 TX = T cos 53,13 TY = T
sen d 90 cm B F TY = T sen 53,13 S FX = 0 F – TX = 0 F – T cos
53,13 = 0 F = T cos 53,13 Ecuación 1 W = 40 kg-f S FY = 0
TY – W = 0 T sen 53,13 – W = 0 T Y d 0 T F T sen
53,13 = W T sen 53,13 = 40 Ecuación 2 T = 40 sen 53,13 =
50 lb – f W = 40 kg -f Reemplazando el valor de la tensión
T en la ecuación 1, se halla F 6
4 F F = T cos 53,13 Ecuación 1 F = 50 cos 53,13 F = 30 lb
– f 4.26 Para la figura 4-30, calcular el ángulo ? y la
tensión en la cuerda AB, si M1 = 300 lb-f M2 = 400lb-f. TX
= T sen ? TY = T cos ? A S FX = 0 F – TX = 0 F – T sen ? = 0 F =
T sen ? Ecuación 1 S FY = 0 TY – W = 0 T cos ?
– W = 0 ?0 T ß0 F B F T cos ? = W T cos ? = 300
Ecuación 2 BLOQUE M2 La F tiene igual magnitud que M2
Ecuación 3 F = M2 = 400 lb-f. F = 400 lb-f. M1 = 300 kg-f
M2 = 400 kg-f Reemplazar la ecuación 3 en la
ecuación 1 F = T sen ? Ecuación 1 400 = T sen ?
Ecuación 4 T Y ? 0 ß0 T F T X Haciendo una
relación entre la ecuación 1 y la ecuación 4
400 = T sen ? Ecuación 4 T cos ? = 300 Ecuación 2
M1 = 300 kg-f 400 300 = T sen? T cos ? = tg ? tg ? = 3 ? = arc tg
1,333 ? = 53,130 Para hallar la tensión T se reemplaza en
la ecuación 2. T cos ? = 300 Ecuación 2 T cos
53,130 = 300 BLOQUE M2 M2 = 400 kg-f T = 300 cos 53,13 = 500 lb –
f T = 500 lb – f 4.27 Un muchacho que pesa 120 lb-f se
sostiene en una barra de levantamiento de pesas.
¿Qué fuerza ejerce cada uno de sus brazos sobre la
barra cuando 7
B B B C B B B B B B B B a) Sus brazos están en
posición paralela. b) Cuando cada brazo hace un
ángulo de 300 con la vertical. a) Sus brazos están
en posición paralela. Si los brazos están en
posición paralela, cada brazo ejerce una fuerza igual a la
mitad del peso de su cuerpo. F = w 2 = 120 2 = 60 lb – f b)
Cuando cada brazo hace un ángulo de 300 con la vertical.
TAY = TA sen 60 300 300 TBY = TB sen 60 TAX = TA cos 60 TBX = TB
cos 60 S FX = 0 TBX – TAX = 0 TB cos 60 – TA cos 60 = 0 T B – T A
= 0 TB = TA Ecuación 1 S FY = 0 TAY + TBY – W = 0
TAY + TBY = W TA sen 60 + TB sen 60 = 120 Ecuación 2 A 600
300 600 W = 120 lb-f TA 0 60 300 TB 600 B Reemplazando la
ecuación 1 en la ecuación 2 TA sen 60 + TB sen 60 =
120 TB sen 60 + TB sen 60 = 120 2 TB sen 60 = 120 TAY TA 0 60 TB
600 T BY TB = 120 2 sen 60 = 60 sen 60 = 69,28 lb – f T AX TBX W
= 120 lb-f TB = TA = 69,28 lb-f 4.28 Una cuerda ABCD cuelga de
los puntos fijos A y D. En B hay un peso de 12 kg-f y en C un
peso desconocido. Si el ángulo que hace AB con la
horizontal es de 600 BC es horizontal y CD 8
P TD TD = = 8 kg – f hace un ángulo de 300 con la
horizontal, calcular el valor que P debe tener a fin de que el
sistema se encuentre en equilibrio. TAX = TA cos 60 TAY = TA sen
60 S FX = 0 T – TAX = 0 A D T – TA cos 60 = 0 T = TA
cos 60 Ecuación 1 TA TD S FY = 0 TAY – W = 0 TA sen
60 – W = 0 TA sen 60 = W 600 B T T C 300 TA sen 60 = 12 TA
= 12 sen 60 = 13,85 kg – f W = 12 kg-f TA = 13,85 kg-f Reemplazar
en la ecuación 1 TA T = TA cos 60 Ecuación 1 T =
13,85 cos 60 T = 6,92 kg-f TAY 600 TDX = TD cos 30 TAX T TDY = TD
sen 30 W = 12 kg-f S FX = 0 TDX – T = 0 TD cos 30 – T = 0
TD cos 30 = T Ecuación 2 Reemplazar en la ecuación
2 TD cos 30 = T Ecuación 2 300 TDY TD cos 30 = 6,92 6,92
cos 30 T P TDX S FY = 0 TDY – P = 0 TD sen 30 = P
Ecuación 3 8 sen 30 = P P = 4 Kg-f 4.29 Tres cuerdas,
situadas en un plano en un plano vertical, están fijas a
puntos diferentes sobre el techo. Los otros extremos están
unidos en el nudo A y del cual cuelga un peso P. Los
ángulos formados por las cuerdas con la horizontal son:
350, 1000, 1600 Las tensiones en las dos primeras cuerdas son de
100 kg-f y 75 kg-f. Calcular la tensión en la tercera
cuerda y el peso P. T1X = T1 cos 35 T1Y = T1 sen 35 T2X = T2 cos
80 T2Y = T2 sen 80 9
A P 0 N 2 * 0,5 N1 = 2 = T3X = T3 cos 20 T3Y = T3 sen 20 S FX = 0
T2X + T3X – T1X = 0 T2 cos 80 + T3 cos 20 – T1 cos 35 = 0 T1 =
100 kg-f 1600 T2 T3 Pero T1 = 100 kg-f T2 = 75 kg-f. 350 800 200
75 cos 80 + T3 cos 20 – 100 cos 35 = 0 75 (0,1736) + T3 cos 20 –
100 (0,8191) = 0 13,0236 + T3 cos 20 – 81,9152 = 0 T3 cos
20 = 81,9152 – 13,0236 T3 cos 20 = 68,8916 68,8916 68,8916 T3 = =
cos 20 0,9396 T3 = 73,31 kg-f. = 73,31 kg – f T2Y T2X T2 S FY = 0
T1Y + T2Y + T3Y – P = 0 T1 sen 35 + T2 sen 80 + T3 sen 20 –
P = 0 T1Y 35 T1 0 80 T3 200 Pero T1 = 100 kg-f T2 = 75 kg-f. T1X
T3X P 100 * sen 35 +75 * sen 80 + 73,31 * sen 20 – P = 0 100 *
0,5735 +75 * 0,9848 + 73,31 * 0,342 – P = 0 57,35 +75 * 73,86 +
25,072 = P P = 156,28 kg-f. 4.31 Una esfera cuyo peso es de 50
kg-f descansa sobre dos planos lisos, inclinados respectivamente
con respecto a la horizontal, ángulos de 300 y 450.
Calcular las reacciones de los dos planos sobre la esfera. N1X =
N1 cos 45 N1Y = N1 sen 45 N2X = N2 cos 60 N2Y = N2 sen 60 450 300
S FX = 0 N1 P N2 N1X – N2X = 0 N1 cos 45 – N2 cos 60 = 0 N1 cos
45 = N2 cos 60 N cos 60 cos 45 0,7071 S FY = 0 N1Y + N2Y –
P = 0 = 0,7071 N 2 Ecuación 1 600 450 300 450 300 N1Y +
N2Y = P N1Y + N2Y = 50 N1 sen 45 + N2 sen 60 = 50 Ecuación
2 N1 P N2 (0,7071 N2) * sen 45 + N2 sen 60 = 50 (0,7071 N2) * sen
45 + N2 sen 60 = 50 10
0 P 0 = = 0 P 0,5 N2 + 0,866 N2 = 50 1,366 N2 = 50 50 N 2 = =
36,6 kg – f 1,366 N2 = 36,6 kg –f. N2Y 60 N2 N1 450 N1Y
Pero: N1 = 0,7071 N2 N1 = 0,7071 * 36,6 N2X N1X N1 = 25,88 kg
– f. 4.32 Una esfera (fig. 4-31) que pesa 50 lb-f descansa
sobre una pared lisa, manteniéndose en esa posición
mediante un plano liso que hace un ángulo de 600 con la
horizontal. Calcular la reacción de la pared y el plano
sobre la esfera. N2X = N2 cos 30 30 N2Y = N2 sen 30 S FX = 0 N1 –
N2X = 0 N1 – N2 cos 30 = 0 N1 = N2 cos 30 Ecuación 1 S FY
= 0 N2Y – P = 0 N1 P 600 N2 N1 P 600 300 N2 N2Y = P N2 sen
30 = 50 50 N 2 sen 30 50 0,5 = 100 lb – f N2Y 30 N2 Reemplazando
en la ecuación 1 N1 = N2 cos 30 Ecuación 1 N2X N1
N1 = 100 cos 30 N1 = 100 * 0,866 N1 = 86,6 lb – f 4.33 Una esfera
de peso W se sostiene mediante una cuerda AB. (fig. 4-32) y
presiona una pared vertical lisa AC. Si d es el ángulo
entre la cuerda y la pared, determinar la tensión en la
cuerda y la reacción de la pared sobre la esfera. TX = T
sen d TY = T cos d TY d T d S FX = 0 N – TX = 0 N – T sen d= 0 TX
N N T N = T sen d Ecuación 1 S FY = 0 TY – W = 0 W W
TY = W 11
T 0 = 0 0 T cos d = W T = W cos d Reemplazando en la
ecuación 1 N = W cos d * sen d = W * tg d N = W tg d 4.34
Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC
ejercen en A, suponiendo que M pesa 40 kg f y que el peso del
cable y la viga son despreciables. TX = T cos 45 TY = T sen 45 S
FX = 0 F – TX = 0 F – T cos 45 = 0 C 450 F = T cos 45
Ecuación 1 S FY = 0 TY – M = 0 TY 45 T F B 450 A TY
= M T sen 45 = M TX F M T = M 40 sen 45 0,7071 = 56,56 kg – f. M
T = 56,56 kg – f. Reemplazando en la ecuación 1 F =
T cos 45 Ecuación 1 F = 56,56 * cos 45 = 40 kg – f. F = 40
kg –f. 4.34 Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB
y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa 40 kg f y que
el peso del cable y la viga son despreciables. TY = T sen 40 TX =
T cos 40 C FX = F cos 40 FY = F sen 40 T F 500 T S FX = 0 FX – TX
= 0 TY 40 TX 400 Fx FY 400 400 A F cos 40 – T cos 40= 0 F -T =0 F
= T Ecuación 1 M B 500 40 M S FY = 0 F TY + FY – M =
0 TY + FY = M T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2 12
= 300 0 M Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación
2 T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2 T sen 40 + T sen 40
= 40 2 T sen 40 = 40 T = 40 2 sen 40 20 sen 40 = 31,11 Kg – f T =
F = 31,11 Kg – f. 4.34 Calcular las fuerzas (fig 4-33) que
la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa 40
kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables. TY = T
sen 60 TX = T cos 60 TY T FX = F cos 30 FY = F sen 30 600 Fx S FX
= 0 FX – TX = 0 F cos 30 – T cos 60 = 0 0,866 F – 0,5 T = 0
Ecuación 1 TX M 300 F FY S FY = 0 TY + FY – M = 0 TY
+ FY = M T sen 60 + F sen 30 = 40 0,866 T + 0,5 F = 40
Ecuación 2 Resolver las ecuaciones 1 y 2. 0,866 F –
0,5 T = 0 Ecuación 1 * (0.866) 0,866 T + 0,5 F = 40
Ecuación 2 * (0,5) F 600 0,75 F – 0,433 T = 0 0,433
T + 0,25 F = 40 0,75 F + 0,25 F = 40 F = 40 Kg – f. 60 300
300 300 T A Reemplazar en la ecuación 1 0,866 F –
0,5 T = 0 0,866 * 40 – 0,5 T = 0 34,64 – 0,5 T = 0
0,5 T = 34,64 Ecuación 1 T = 34,64 0,5 = 69,28 Kg – f 4.45
Calcular el peso P necesario para mantener el equilibrio en el
sistema mostrado en la figura 4 – 39, en la cual A pesa 100
kg-f. y Q = 10 kg-f. El plano y las poleas son lisas. La cuerda
AC es 13
T1 0 AX horizontal y la cuerda AB es paralela al plano. Calcular
también la reacción del plano sobre el plano A.
(Normal N ) Bloque C S FY = 0 T2 B T1 – Q = 0 pero: Q = 10
kg-f. T1 = Q = 10 kg-f. Ecuación 1 Bloque A T1X = T1 cos
30 T1Y = T1 sen 30 AX = A sen 30 C T1 T1 300 T1 T2 A = 100 kg-f
T2 P AY = A cos 30 Q = 10 kg-f S FX = 0 T2 – T1X – AX = 0
T2 – T1 cos 30 – A sen 30 = 0 Ecuación 2 Bloque A T2
= T1 cos 30 + A sen 30 pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f. N T2
T2 = 10 cos 30 + 100 sen 30 T2 = 8,66 + 50 T2 = 58,66 kg-f. T1Y
300 T1X A 30 AY S FY = 0 N – AY + T1Y = 0 N – A cos
30 + T1 sen 30 = 0 pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f. N –
100 cos 30 + 10 sen 30 = 0 N – 86,6 + 5 = 0 N – 81,6
= 0 N = 81,6 kg-f Bloque B S FY = 0 Bloque C T1 Q Bloque B T2 P
T2 – P = 0 T2 = P Ecuación 2 pero: T2 = 58,66 kg-f.
P = 58,66 kg-f. 4.48 Dos esferas idénticas se colocan en
el sistema mostrado en la figura 4-42. Calcular las reacciones de
las superficies sobre las esferas. Demostrar que cada esfera se
encuentra independientemente en equilibrio. ESFERA 2 FY = F sen
20 FX = F cos 20 F1Y = F1 sen 45 F1X = F1 cos 45 S FX = 0
14
F2 0 F F3 FX – F1X = 0 F cos 20 – F1 cos 45 = 0 F1 cos 45 =
F cos 20 Esfera 2 F1 = F cos 20 cos 45 = 1,33 F Esfera 1 F1 =
1,33 F Ecuación 1 S FY = 0 F1Y + FY – W = 0 F1 sen
45 + F sen 20 – W = 0 F1 sen 45 + F sen 20 = W F3 F 450 200
F1 Pero: F1 = 1,33 F (1,33 F) * sen 45 + F sen 20 = W (1,33 F) *
0,7071 + F 0,342 = W 0,9404 F + 0,342 F = W 1,2824 F = w F = W
1,2824 = 0,77 W F = 0,77 W ESFERA 1 FY = F sen 20 FX = F cos 20 S
FX = 0 FX Esfera 1 F2 F3 – FX = 0 F3 – F cos 20 = 0
Ecuación 2 Pero: F = 0,77 W FY 20 F3 F3 F 3 F3 – (0,77 W)
* cos 20 = 0 – (0,77 W) * 0,9396 = 0 – 0,723 W = 0 = 0,723 W W S
FY = 0 F2 – FY – W = 0 F2 + F sen 20 – W = 0 Pero: F
= 0,77 W Esfera 2 F2 F2 F2 F2 F2 + (0,77 W) * sen 20 = W + (0,77
W) * 0,342 = W + 0,263 W = W = W – 0,263 W = 0,737 W F1Y F1 450
F1X F 200 FY Se reemplaza en la ecuación 1 F1 = 1,33 F
Ecuación 1 Pero: F = 0,77 W F1X W FX F1 = 1,33 * (0,77 W)
F1 = 1,024 W F1 = 1,024 W F2 = 0,737 W F3 = 0,723 W 4.47 Una
varilla de masa de 6 kg. y longitud 0,8 metros esta colocada
sobre un ángulo recto liso como se muestra en la figura
4-41. Determinar la posición de equilibrio y las fuerzas
de reacción como una función del ángulo d.
15
d 2 T2Y = T2 sen d T2X = T2 cos d Pero: sen (90 – d) = cos d T1Y
= T1 sen (90 – d) T1Y = T1 cos d Pero: cos (90 – d) = sen d T1X =
T1 cos (90 – d) T1X = T1 sen d S FX = 0 d T2 d f f T2X –
T1X = 0 T2 cos d – T1 sen d = 0 S FY = 0 Ecuación 1 90 – d
W 90 – d T1 T1Y + T2Y – W = 0 T1 cos d + T2 sen d – W
= 0 T1 cos d + T2 sen d = W Ecuación 2 Resolviendo las
ecuaciones T2 cos d – T1 sen d = 0 * cos d T1 cos d + T2 sen d =
W * sen d Ecuación 1 Ecuación 2 T2 cos2 d – T1 sen
d * cos d = 0 T1 cos d * sen d + T2 sen2 d = W sen d T2 cos2 d +
T2 sen2 d = W sen d T2 (cos2 d + sen2 d) = W sen d Pero: (cos2 d
+ sen2 d) = 1 T2 = W sen d T1Y 90 – d T1X T1 W T2 d T2X T2Y
Reemplazando en la ecuacion 2 T1 cos d + T2 sen d = W
Ecuación 2 T1 cos d + (W sen d) * sen d = W T1 cos d + W
sen2 d = W T1 cos d = W – W sen2 d T1 cos d = W (1 – sen2 d)
Pero: (1 – sen2 d) = cos2 d T1 cos d = W cos d T1 = W cos 2 d cos
d = W cos d T1 = W cos d 16
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