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Los números reales (página 2)



Partes: 1, 2

´n (en particular solo cuando b >
a).Ampli´ndose de esta forma el conjunto de los
n´meros naturales de modo que se puedan representar
cantidades negativas. iii)El problema de la divisi´n. En el
conjunto de los n´meros enteros la ecuaci´n a
· x = b solo tiene soluci´n cuando b es
m´ltiplo de a. Se introduce as´ un nuevo concepto, el
de n´mero fraccionario. Seducidos en parte por el ritmo y
la naturalidad de esta evoluci´n es que surge la idea de
realizar este proyecto, en el cual pretendemos profundizar en lo
que para nosotros representa un eslab´n de esta cadena
evolutiva, a trav´s de un breve estudio comparativo entre
diferentes maneras de de?nir el campo de los n´meros reales
a partir de los racionales. 2

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´ v v u a a o ia u o e v u v u v v v ´ o e i, o u e o
e o NECESIDAD DE LA EXISTENCIA DE NUMEROS REALES No todos los
puntos de la recta representan n´meros racionales; existen
segmentos de medida de un conjunto m´s amplio. Se atribuye
a Pit´goras el notable descubrim- iento de la
inconmesurable de la diagonal del cuadrado de lado 1, que viene a
dar respuesta negativa a la cuesti´n. Si en Geometr´
no se consideran otros n´meros que los naturales y los
racionales, pronto se llegar´ia a contradicciones como se
ha visto en el ejemplo anterior. Ejemplo 1: Se pueden dibujar
todos los cuadrados posibles en la cuadr´icula mostrada a
con- tinuaci´n, de manera que coincidan los v´rtices
de dichos cuadrados con los puntos representados. 1 unidad •
• • • Como se pude ver en una cuadr´icula de
9 puntos se deben dibujar cuatro cuadra- dos de lado i unidad, un
cuadrado de lado 2 unidades y un cuadrado de lado 2 = 12 + 12
unidades : • • • • • • •
• • Se pude apreciar que en la ejecuci´n de esta
actividad aparece el n´mero 2 Conocemos la imposibilidad de
los n´meros racionales de representar 2 dentro de su
conjunto, por lo tanto demostremos 2 es no racional.
Demostraci´n: Supongamos 2 racional 2 = p/q con p y q
primos relativos 2 = p2 /q2 2q2 = p2 de esta igualdad se deduce
que p debe ser par, es decir, p = 2p Luego 2q2 = 4p 2 q2 = 2p 2
por lo que q debe ser tambi´n par, por lo tanto p y q no
son primos entre s´ por lo que llegamos a una
contradicci´n pues al inicio pusimos como hip´tesis p
y q primos relativos. v Entonces 2 no es un n´mero
racional. Sin salir de la aritm´tica, se encuentran muy
diversas cuestiones que obligan a re- alizar una ampliaci´n
del campo num´rico. En primer lugar, en el lenguaje del
Algebra, que existen ecuaciones bin´micas como x3 = 5 y x2
= 2/5 sin ra´ices naturales ni racionales. 3

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ia u e o u o u o u e e Por otra parte, inmediatamente se ve que
las ecuaciones del tipo 10x = 7 carecen de ra´ices
fraccionarias, pues si fuese x = n/m resultar´ 10n = 7m que
es absurdo; otro problema imposible en n´meros racionales y
que reclama soluci´n urgente es, por tanto, el de la
logaritmaci´n. Existen, adem´s, multitud de tipos de
ecuaciones como, por ejemplo, x3 – 7x +7 = 0 tambi´n sin
soluciones en el campo racional. En resumen, la ampliaci´n
de los n´meros racionales tiene su origen, al igual que la
ampliaci´n de los n´meros enteros, en una necesidad
te´rica de solucionar problemas de este tipo. Con esto
surge la necesidad de ampliar el conjunto de dos n´meros a
un conjunto num´rico maypr con ayuda del cual se pueda
expresar la longitud de cualquier seg- mento del eje
num´rico. 4

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´ ´ u a e u a i u u a a ´ u ´ u a o u a u
u a RELACIONES ENTRE LAS DIFERENTES FORMAS DE DEFINIR LOS NUMEROS
REALES ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES N´meros Racionales: En
este trabajo, m´s que los m´todos usados en la
construcci´n del campo de los n´meros racionales nos
interesan sus propiedades, las cuales son conocidas desde la
ense˜anza primaria; pero las fundamentales ser´n
enumeradas aqu´ para nuestros objetivos y se resumen en que
Q es un cuerpo ordenado arquimedeano. Propiedades de los
n´meros racionales: Propiedad 1-Existencia de un orden:
Para cualquier n´mero x y y se cumple una y solo una de las
siguientes relaciones: -x < y -x > y -x = y Propiedad
2-Transitividad: Si x > y y y > z, entonces x > z.
Adem´s, si x = y y y = z, entonces x = z Propiedad
3-Existencia de una suma: Para todo x y y est´ de?nido de
modo unico; el n´mero representado por x + y Esta
operaci´n posee las propiedades siguientes para todo x, y y
z Propiedad 4-Conmutatividad: x + y = y + x Propiedad
5-Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z) Propiedad 6-Existencia
y unicidad del elemento nulo: x + 0 = x para todo x Propiedad
7-Existencia y unicidad del opuesto: Para todo x existe un unico
n´mero, que ser´ -x, tal que x + (-x) = 0 Propiedad
8-Existencia de la multiplicaci´n: Existe una regla por
medio de la cual x y y se le hace corresponder un n´mero z,
que ser´ z = xy Esta operaci´n posee las siguientes
propiedades para todo x, y y z Propiedad 9-Conmutatividad: xy =
yx Propiedad 10-Asociatividad: (xy)z = x(yz) Propiedad
11-Existencia y Unicidad del elemento unidad: Existe un
n´mero 1 tal que: 1x = x Propiedad 12-Existencia y Unicidad
del rec´iproco: Para todo x = 0 existe un n´mero que
ser´ 1/x tal que, x1/x = 1 5

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a ices u v o a o o u a ´ o 2 2 o e a l´ o l´ u
i e u u a o u u ´ Las operaciones suma y
multiplicaci´n est´n relacionadas por la propiedad
siguiente: Propiedad 13-Distributividad respecto a la suma:
Cualesquiera sean x, y y z se cumple: (x + y)z = xz + yz
Relaci´n del orden con la suma y multiplicaci´n:
Propiedad 14- Si x > y, entonces para todo z se cumple: x + z
> y + z Propiedad 15- Si x > y y z > 0, entonces xz >
yz y si x > y y z < 0, entonces xz < yz Propiedad 16-
Propiedad Arquimedeana: Para todo x existe un n N tal que n >
x -Sobre el campo de los n´meros reales. A
continuaci´n enunciaremos una serie de resultados
elementales que nos ser´n utiles en la ulterior
exposici´n de nuestras ideas. A pesar de la aparente
”bondad”que se describe en las propiedades
anteriores, hemos visto que Q tiene huecos. Por ejemplo,
analicemos una sucesi´n que es ampliamente utilizada en la
pr´ctica para el calculo de ra´ cuadradas xn+1 = 1
(xn + xn ).Esta es una sucesi´n de n´meros
racionales, y puede probarse utilizando t´cnicas del
an´lisis cl´sico que im xn = 2. Propiedad de
continuidad: Toda sucesi´n mon´tona y acotada tiene
un imite El siguiente resultado caracteriza una forma de
construcci´n de los n´meros reales que comunmente
llamamos ”Principio de intervalos encajados”. Por la
importancia que representa el acercarnos con mayor exactitud a
describir la longitud; en general lo hacemos por defecto y por
exceso, para conseguir as´ una mayor exactitud. Precisemos
en t´rminos matem´ticos esta idea: Sean a y b dos
n´meros tales que a = b. Se llama intervalo cerrado con
extremos a y b a los n´meros x tales que a = x = b y lo
denotaremos por [a, b]. Se dice que los intervalos (Ik )k?N
est´n encajados uno en los otros si I1 ? I2 ? … ? In ?
…. Los llamaremos sistema de intervalos encajados. Si volvemos
a la idea de la exactitud utilizando dicho sistema de intervalos
encajados cerrados, y la certeza de que estos se acercan a la
medici´n exacta se traduce en la postulaci´n de la
existencia de un n´mero que pertenezca a todos los
intervalos del sistema, se tiene entonces la siguiente
proposici´n: Principio de intervalos encajados: Todo
sistema de intervalos encajados [an , bn ] tiene al menos un
punto com´n a todos los intervalos del sistema. Si el
sistema es in?nitesimal, es decir bn – an ? 0 entonces dicho
punto es unico. 6

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ia u u u u u u e u u u u io u u u ia u u u u u o u a n u u a u a
u a n u u a u a e a Antes de expresar el siguiente resultado,
introduciremos alguna terminolog´ espe- cial. Sea S una
colecci´n de n´meros (reales), a la que se denominara
conjunto. Cada n´mero considerado individualmente se llama
elemento del conjunto y se dice que pertenece al conjunto. Si
existe un n´mero real b tal que x = b para cada x del
conjunto, b se denominara cota superior de S. Por ejemplo el
conjunto de todos los n´meros negativos es un conjunto
acotado superiormente. En efecto, cada n´mero real positivo
b es una cota superior de este conjunto. El n´mero 0 es
tambi´n una cota superior, pero ning´n n´mero
inferior a 0 tiene esta propiedad. Este hecho se expresa diciendo
que 0 es el supremo de este conjunto. En general, un n´mero
b se denomina supremo de S (´in?mo de S) si es la menor
(mayor) de las cotas superiores (inferiores) del conjunto, es
decir: i) b es una cota superior de S y ii) ning´n b1 <
b es cota superior de S El siguiente resultado se re?ere a
conjuntos no vac´ios: Axioma del supremo: Sea S un conjunto
no vac´ de n´meros reales acotado superiormente,
existe entonces un n´mero real y solo uno que es el supremo
S. Comentaremos ahora acerca de otra forma de construir el campo
de los n´meros reales, las cortaduras. La teor´ de
los n´meros reales en la forma de Dedekind esta basada en
la idea de cortar el dominio de los n´meros racionales, es
decir dividimos el conjunto de todos los n´meros racionales
en dos conjuntos no vac´ios A y A y asumimos que: i) todo
n´mero racional se encuentra en uno y solo uno de los
conjuntos A y A . ii) todo n´mero del conjunto A es menor
que cualquiera del conjunto A . El conjunto A es llamado clase
baja y el conjunto A clase alta. El corte puede ser denotado por
A|A . La de?nici´n implica que todo n´mero racional
m´s peque˜ o que el n´mero a de la clase baja
se encuentra en esta clase. Ejemplos: De?namos A como el conjunto
de los n´meros racionales a que 1.) Satisfacen a < 1,
mientras que el conjunto A contendr´ todos los
n´meros a tales que a = 1. F´cilmente se observa que
en efecto hemos obtenido una cortadura el n´mero 1 se
encuentra en la clase A y obviamente es el m´s
peque˜o del conjunto, por otro lado 1 no es el n´mero
mayor de la clase A puesto que para cada a ? A existe un
n´mero racional a1 ,localizado entre A y la unidad,
consecuentemente mayor que a y adem´s perteneciente a la
clase A. 2.) La clase baja contendr´ todos los
n´meros racionales a tales que a = 1 mientras que la clase
alta contendr´ todos los racionales a con a < 1. Este
ejemplo tambi´n es una cortadura, y ahora la clase alta no
tiene un elemento m´inimo sin embargo la clase baja si
tiene un elemento m´ximo. 7

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1 2 1 e 2a 1 a2 + n n n n u u a e u a u o a u i ´ e v a a u
a u u a i o u u ´ u u u a e o ´ u 3.) La clase A
contiene a todo n´mero racional tal que a2 < 2, mientras
que la clase A contiene a todo n´mero racional que cumple a
2 > 2. Es f´cil ver que este ejemplo tambi´n es
una cortadura. Ahora la clase A no tiene un n´mero
m´ximo y la clase A no tiene un n´mero m´inimo.
Probaremos por ejemplo la primera a?rmaci´n(La segunda se
podr´ probar de for- ma an´loga). Sea a un
n´mero positivo de la clase A de aqu´ que a2 < 2.
Probaremos que selec- cionando un entero positivo n tal que (a +
n ) < 2 de modo que a + n tambi´n se encuentra en la
clase A. Esta desigualdad es equivalente a: + 2 < 2 2a 1 + 2
< 2 – a2 y esta ultima desigualdad se satiaface tambi´n
si n es tal que: para el cual es su?ciente tomar 2a + 1 n n>
< 2 – a2 2a + 1 2 – a2 Por otra parte es importante notar que
no existir´ una cortadura que tenga si- mult´neamente
un n´mero m´ximo a0 en la clase baja y un
n´mero m´inimo a0 en la clase alta. En efecto,
supongamos que existe tal n´mero y llamemosle c, entonces c
est´ entre a0 y a0 de aqu´ que no pertenece a la
clase baja, pues es mayor que a0 y tampoco a la clase alta ya que
es menor que a0 lo cual contradice la de?nici´n de corte
dada. De esta manera las cortaduras pueden ser de tres tipos,
iliustrados en los ejemplos 1, 2, 3. En los dos primeros ejemplos
las cortaduras forman el n´mero racional r (que es la
frontera entre las clases A y A ). En el tercer caso el
n´mero frontera no existe y la cortadura de?ne a un nuevo
elemento, un numero irracional. De este modo toda cortadura de la
forma 3) de?ne un n´mero irracional a. Este a reemplaza el
faltante n´mero frontera, el esta entre todo numero a de la
clase A y todo numero a de la clase A . En el ejemplo 3) el nuevo
elemento creado es 2. Entonces para todo n´mero r
existir´n dos cortaduras que lo de?nen, los elementos a
< r estar´n contenidos en la clase baja y los a > r
en la clase alta. Podemos entonces de?nir R a trav´s del
siguiente axioma. Axioma de Dedekind : Dados dos conjuntos A y B
tales que forman una Cor- tadura de Dedekind, es decir: – Para
todo x ? Q se tiene x ? A ´ x ? B, siendo A B = 0 – Para
todo x ? A, y ? B es x = y Existe un unico n´mero ?; para
todo x ? A y y ? B es x = ? = y 8

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i n a a a o a u u a o e e u o o o u a a e o o o l´ a o e a
a n e o a e e e a o o e l´ a a o u -Unicidad en la
construcci´n de R A partir de nuestra corta experiencia
como estudiantes as´ como por los resulta- dos de
entrevistas realizadas a otros compa˜eros, comentamos
cu´l o cu´les de las diferentes formas de de?nir R
nos resultan m´s sencillas y c´modas para entender el
An´lisis Matem´tico, y luego de un estudio sobre el
tema obtuvimos diversas opiniones que conllevaron a un gran
debate. El concepto de n´mero real ?gura entre los
conceptos matem´ticos fundamentales. Se han de?nido los
n´meros reales en nuestro trabajo utilizando el m´s
l´gico y sim- ple de los m´todos existentes, el
m´todo axiom´tico, al cual fue necesario agregar un
axioma de existencia del n´mero real. Por esta raz´n
para algunos la Propiedad de Continuidad, acerca de la
convergencia de toda sucesi´n mon´tona acotada, cons-
tituye el axioma de existencia que nos permite ver la
de?nic´n de n´mero real de forma m´s natural,
siendo muy f´cil comprenderlo. El hecho de haber estudiado
las sucesiones num´ricas fue de gran ayuda pues
permiti´ a los estudiantes irse familia– rizando con los
conceptos de sucesi´n acotada, convergente y
mon´tona, preparando condiciones favorables para comprender
con mayor facilidad este concepto. La opini´n de muchos
estudiantes de matem´tica coinciden con que el Principio de
Intervalos Encajados es el que mejor facilita la
comprensi´n de R pues no necesita de la utilizaci´n
del imite para convergencia de sucesiones mon´tonas y
acotadas como en la Propiedad de Continuidad y el Axioma de
Supremo con la idea de conjunto acotado, que son temas de gran
debate debido al concepto de in?nito. Mientras que el principio
de Intervalos Encajados viene siendo el m´s intuitivo, pues
todo se basa en una idea geom´trica para problemas de
representaci´n num´rica. No existe idea m´s
sencilla, pues todo se resume a un procedimiento mec´nico.
Estudiantes de a˜os avanzados consideran de su preferencia
el axioma de Cortaduras, pues posee ideas tan propias del ser
humano como lo es agrupar. Este m´todo, que aunque muchos
lo consideran abstracto, mani?esta una elegante sencillez poque
su trabajo solo consta de la utilizaci´n de conjuntos, sin
necesidad de llegar a emplear otros entes. Adem´s
tambi´n se utiliza para de?nir otros objetos en cualquier
cuerpo ordenado K, por eso es considerado un m´todo
constructivista. Estas y otras razones hacen ver para algunos el
m´todo de Cortaduras como el m´s e?caz, abstracto y
riguroso de todos los que conocemos, para la contrucc´n de
R. Nos llam´ mucho la atanci´n que el Axioma de
Supremo sea un m´todo para la preferencia de pocos, pues a
nuestro entender no resulta complicado luego de domi- nar
conceptos como imite, convergencia y monoton´ia, y es el
m´s pr´ctico para la deducci´n de las
propiedades principales de los n´meros reales. 9

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o o o l´ l´ 2 u o l´ l´ a , e , a ´
En el pr´ximo apartado presentaremos el siguiente esquema
l´gico para demostrar la equivalencia de cada una de
nuestras proposiciones anteriores: partiremos de la veracidad del
principio de continuidad, el cual emplearemos para demostrar el
prin- cipio de intervalos encajados; luego, utilizaremos este
para probar el axioma del supremo y ya con esta herramienta
demostraremos el principio de continuidad. Fi- nalmente
demostraremos la equivalencia del Axioma de Supremo y las
cortaduras de Dedekind. Demostraci´n: i)Principio de
continuidad ? Principio de intervalos encajados: Sea el sistema
de intervalos cerrados encajados In = [an , bn ] donde a1 < a2
< …an <
an+1 < … < bn+1 < bn < … < b1 donde la
sucesi´n an es creciente y acotada superiormente, entonces
por la propiedad de continuidad ?a = im an ; de la misma forma la
sucesion bn , que es creciente y acotada inferiormente tiene
limite b = im bn . Si a = b ? a ? nIn . Si a < b ? a+b ? nIn .
Veamos la unicidad; supongamos que existen dos n´meros x, y
que se encuentran en la intersecci´n, entonces an = x = y =
bn ?n pero im an = a y im bn = b por lo que an – bn ? 0 ? a = b
de donde x = y = a. ii)Principio de intervalos encajados ? Axioma
del supremo: Sea E ? R acotado superiormente tal que E = Ø
y sea b una cota superior de E es decir x < b para toda x ? E.
Como E = Ø existe a ? E. Luego, el intervalo cerrado [a,
b] contiene al menos un punto de E. Si fuera a = b, entonces
obviamente ser´ia a = sup E. Sea entonces a < b y sea I1
= [a1 , b1 ] = [a, b], de manera que b1 – a1 = b – a y I1 n E =
Ø. Dividimos ese intervalo a la mitad. Si la mitad derecha
contiene un punto de E, tomamos a esa mitad como I2 = [a2 , b2 ].
En caso contrario I2 = [a2 , b2 ] ser´ la mitad izquierda.
Con ello se garantiza que x = b2 para toda x ? E. Entonces se
tiene: I2 ? I1 , b2 – a2 = b – a 2 I2 n E = Ø. Si
repetimos el proceso obtenemos en el n-´simo paso el
intervalo cerrado In = [an , bn ] tal que: In ? In-1 , bn – an =
b – a 2n-1 In n E = Ø Adem´s es x = b para toda x ?
E. De esta manera se ha obtenido un sistema in?tesimal de
intervalos cerrados encaja- dos In = [an , bn ] tal que In n E =
Ø y x = b para toda x ? E. Entonces existe un unico S ? nn
In y obviamente se cumple S = b. Comprobemos que S = sup E.
10

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a u io a u i)Supongamos que existe x0 ? E como bn – an ? 0,
existe n0 ? N tal que bn0 – an0 < x0 – S. Entonce es bn0 <
x0 – (S – an0 = x0 ) (pues S – an0 = 0), lo que contradice el
hecho de que x = bn para toda x ? E. Luego, S es cota superior de
E. ii)Sea ahora > 0 y sea n0 ? N , tal que bn0 – an0 < .
Como In n E = Ø para toda n existe un xn0 ? E tal que xn0
? [an0 , bn0 ] es decir xn0 = S. Entonces es an0 = xn0 = S = bn0
, o sea, S – xn0 = bn0 – an0 < por lo que s – < xn0 <
S. Entonces S = sup E. Axioma del supremo ? Principio de
continuidad : Como xn es acotada superiormente, existe S = supxn
. Queremos demostrar que S = limxn . Como S = supxn , para todo
> 0 existe N ? N tal que S – < xN < S. Por otra parte
como (xn ) es creciente, esto implica que S – < xn < S <
S + para todo n = N , es decir, | xn – S |< para todo n = N ,
que es lo que quer´iamos demostrar. Axioma de supremo ?
Cortaduras de Dedekind : Debemos demostrar que el cuerpo ordenado
R veri?ca el axioma del supremo si y solo si veri?ca el axioma de
cortadura. Procederemos en dos pasos. 1- Supongamos que R veri?ca
el axioma del supremo. Sea (A, B) una cortadura de R. Debemos
probar que existe un x ? R con A = x = B.Tenemos que A es no
vac´io. Adem´s, A es acotado superiormente (por cada
b ? B). Seg´n el axioma del supremo, existe supremo de A.
Lo denominamos x. Entonces x = A porque x es una cota superior de
A. Cada b ? B es cota superior de A, luego x = b porque x es la
menor de las cotas superiores de A. Acabamos de demostrar A = x =
b. 2- Supongamos que R veri?ca el axioma de cortadura. Sea C no
vac´ un subcon- junto acotado superiormente, C ? R. Debemos
probar que exite supremo de C. Denotemos por A el conjunto de
todos los x ? R que son menores o iguales a un c ? C cualquiera:
A = x ? R/?c ? C c x Entonces C. Cada cota superior estricta de C
es una cota superior estricta de A,e inversamente. (Sea z > C.
Si x ? A, entonces existe c ? C con x = c. Dez > C se deduce x
= c = z, es decir z > A). Llamemos B al conjunto de todas las
cotas superiores estrictas de C: B = z ? R/z > C Entonces x
< z para todo x ? A, z ? B, pues cada z ? B es una cota
superior estricta de A. Adem´s, A, B y A n B es no
vac´io. Veremos que A ? B = R. Si y ? R no pertenece a A
entonces, no existe un c ? C con y = c; luego, y = c para todo c
? C, es decir, y > C, o sea, y ? B. Resulta que el par (A,B)
es una cortadura de Dedekind. Seg´n el axioma de cortadura
existe x ? R con A = x = B. Vamos a demostrar que x es el supremo
de C. 11

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2 o o En primer lugar, se cumple x = C para todo c ? C porque C ?
A = x. Supongamos ahora por el absurdo que x < x es una cota
superior de C. Para todo x0 = x+x ? R se cumple x < x0 < x.
Por de?nici´n de A existe c ? C con x0 = c. Para esta c ? C
se tiene x = x0 = c, en contradicci´n con la
hip´tesis que x es cota superior de C. Luego, no existe una
cota superior de C menor que x y, por tanto, x = sup C. 12

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u a e l´ o u e o o u ´ a o u o Conclusiones: El
estudio de las diferentes formas de de?nir los n´meros
reales nos conduce a concretar diferentes ideas. En primer lugar
se obtiene un nuevo conjunto que contiene a Q como subconjunto,
que mantiene sus propiedades y est´n en ´l todos los
elementos imites de sucesiones racionales que no pertenecen a Q,
o sea, este nuevo conjunto es una ampliaci´n del de los
n´meros racionales: ”Tapan los huecos de la recta
num´rica”. Hemos observado como se ilumina una
cuesti´n que fue desconsertante para los pitag´ricos,
que trabajaban solo con los n´meros racionales, y se
percataron de que no pod´ian medir segmentos con exactitud.
Como demostramos, el nuevo dominio puede de?nirse manteniendo los
axiomas que de?nen a los racionales y uno adicional que puede ser
cualquiera de los siguientes: i)Propiedad de continuidad ii)
Principio de intervalos cerrados encajados iii)Axioma del supremo
iv) Cortaduras de Dedekind Este ultimo no esta incluido en el
curso ordinario de An´lisis Matem´tico I pero resulta
de gran importancia te´rica. En segundo se demuestra la
equivalencia que existe entre los resultados que permiten la
construcci´n de lo n´meros reales, lo cual evidencia
el hecho de que este campo puede ser construido de diferentes
maneras sin que resulte ninguna contradicci´n entre ellas.
Estas ideas, que se espera hayan quedado claras en el trabajo,
mani?estan de forma sencilla y transparente la existencia de una
madeja de caminos deslumbrantes en el dif´icil arte de la
matem´ticas. Al lector el deseo de que el presente se
convierta en una invitaci´n a estos caminos. 13

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ia a o a a o Bibliograf´ 1)Fikhtengolts, G.M: The
Fundamentals of Mathematical Analysis, Volumen I, Editorial
Pergamon Press, 1965. 2)Hinrichsen, Driedrich: An´lisis
Matem´tico I Segunda Parte, Editorial Pueblo y
Educaci´n, 1973. 3)Rudin, Walter: Principles of
Mathematical Analysis, Editorial McGraw-Hill Book, 1953
4)S´nchez, Carlos: An´lisis Matem´tico Tomo I,
Editorial Pueblo y Educaci´n, 2001. 14

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