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Algebra lineal en contexto




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Capítulo 1 Las Matrices y sus Operaciones 1 1 ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO JOSE ARTURO BARRETO,M.A. CAPITULO 1. Las Matrices y sus Operaciones OBJETIVOS: Al terminar este capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de: 1. Manipular y reconocer la relación entre subíndices y posición de un elemento en una matriz. 2. Efectuar las operaciones básicas con matrices de pequeñas dimensiones. 3. Reconocer y utilizar las propiedades que rigen el álgebra de matrices( asociativas, distributivas, etc. ) en la simplificación de expresiones y la comprobación de fórmulas. 4. Determinar si matrices de dimensiones pequeñas son no singulares verificando la existencia de la matriz inversa. 5. Utilizar el hecho de que una matriz sea no singular para obtener conclusiones a partir de la manipulación de expresiones algebraicas matriciales. Las aplicaciones “prácticas” tales como las matrices de adyacencia y las cadenas de Markov, no son el objetivo central, se presentan por razones de motivación y para ampliar el contexto. Si el instructor lo considera conveniente podría incluirlas en la evaluación. El autor considera que el énfasis en las aplicaciones, con cálculos matriciales, en los cursos básicos de álgebra lineal, hace que los estudiantes, ávidos de calcular y de emplear recetas, se centren en ellas, olvidando la generalidad de los conceptos fundamentales que serán realmente aplicados en cursos avanzados. Es posible que utilizando herramientas como Matlab, en donde los cálculos, no consumen el tiempo del estudiante, salvo en la etapa de diseño de las especificaciones del problema y su método de solución, permita avanzar en aplicaciones a modo de taller. La discusión sobre este punto de vista queda abierta.
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Las Matrices y sus Operaciones 2 Capítulo 1 1.- LAS MATRICES Y SUS OPERACIONES 1.1- Las Matrices Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como: 123 1 2 1 2 3 7246 (1) 456 (2) -5 3 (3) -4 -3 1 (4 ) 3217 789 2 1 -8 1258 -4 2 8 La matriz * (1) es una matriz de cuatro filas y tres columnnas ( de dimensión 4x3). La matriz (2) es una matriz de 2 filas y 2 columnas (cuadrada, de dimensión 2x2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3 columnas (cuadrada, de dimension 3x3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas ( de dimensión 3x4). El número en la fila i, columna j, será denominado como aij. La matriz A= a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34 es una matriz general de dimensión 3x4 (tres filas, 4 columnas) cuyos elementos se han denominado a11, a12 , a13, etc., puesto que no se conocen sus valores. La matriz A del ejemplo anterior se abreviará como: A = ( aij) 3x4 En general, la notación A = ( aij ) mxn denotará a la matriz A = a11 a21 a31 am1 a12 ... a1n a22 ... a2n a32 ... a3n am2 ... amn de m filas y n columnas. Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es decir, si es de dimensión nxn. Así: 1 2 A= 7 8 es una matriz cuadrada de orden 2 y 1 2 9 B = 7 8 6 4 5 2 es una matriz cuadrada de orden 3. * Hay matrices de números complejos. Este texto está dedicado a las matrices cuyos elementos son números reales 2
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Capítulo 1 Las Matrices y sus Operaciones 3 3 En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22= 8,se denominan los elementos de la diagonal. Tambien lo son los números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B. A los elementos dii(d11, d22, d33, etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal. Igualdad de Matrices Definición: Dos matrices de la misma dimensión A = (aij) mxn B = (bij) mxn , son iguales Por lo tanto: si y sólo sí aij = bij , para todo i,j. 2 3 5 2 3 5 A = ? = B, 4 -1 2 4 1 2 puesto que a pesar de que: aij = bij para todo (i,j) ? (2,2), tenemos que: a22 ? b22 donde aij= 3i + j2. Problema resuelto 1: Describa en detalle a la matriz A = ( aij) 3x3, Solución: Los elementos serán: a11 =3 (1) + 12, a21 =3 (2) + 12 , a31 =3 (3) + 12 , a12 =3 (1) + 22 , a22 =3 (2) + 22 , a32 =3 (3) + 22 , a13 =3 (1) + 32 , a23 =3 (2) + 32 , a33 =3 (3) + 32. Efectuando los cálculos correspondientes: 4 7 12 A = 7 10 15 10 13 18 Fin del problema resuelto 1. MATRIZ TRASPUESTA Dada la matriz cuadrada A = 7 4 -1 2 5 2 1 8 3 a la matriz: A T = 7 2 1 4 5 8 -1 2 3 se le denomina la matriz Traspuesta de A. A T se obtiene de A por medio de traslaciones simétricas de sus elementos respecto de la diagonal como se vé en las figuras anteriores. Este proceso se denomina también reflexión respecto de la diagonal.
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Las Matrices y sus Operaciones 4 Capítulo 1 4 Es de notar que los elementos de la diagonal de A son los mismos que los de la diagonal de A T, o sea que los elementos de la diagonal permanecen fijos. Se puede decir que A T se obtiene de A por medio de una rotación de sus elementos, de 180º respecto de la diagonal que en este caso es el eje de rotación. Otra manera de obtener A T, a partir de A es transformando las filas de A en columnas de A T (o las columnas de A en filas de A T), es decir: 1ª columna de A ------> 1ª fila de A T 2ª columna de A ------> 2ª fila de A T 3ª columna de A ------> 3ª fila de A T En realidad: Si A = ( a ij) mxn y A T= (b ij) nxm, debe darse la relación: ( b ij = a ji) ( para cada i,j) La noción de matriz traspuesta se extiende a matrices de cualquie

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