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Algebra lineal en contexto



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    Capítulo 1
    Las Matrices y sus Operaciones
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    ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO
    JOSE ARTURO BARRETO,M.A.
    CAPITULO 1.

    Las Matrices y sus Operaciones

    OBJETIVOS: Al terminar este capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de:

    1. Manipular y reconocer la relación entre subíndices y posición de un elemento en una matriz.
    2. Efectuar las operaciones básicas con matrices de pequeñas dimensiones.
    3. Reconocer y utilizar las propiedades que rigen el álgebra de matrices( asociativas, distributivas, etc. ) en la
    simplificación de expresiones y la comprobación de fórmulas.
    4. Determinar si matrices de dimensiones pequeñas son no singulares verificando la existencia de la matriz
    inversa.
    5. Utilizar el hecho de que una matriz sea no singular para obtener conclusiones a partir de la manipulación
    de expresiones algebraicas matriciales.

    Las aplicaciones “prácticas” tales como las matrices de adyacencia y las cadenas de Markov, no son el
    objetivo central, se presentan por razones de motivación y para ampliar el contexto. Si el instructor lo
    considera conveniente podría incluirlas en la evaluación.

    El autor considera que el énfasis en las aplicaciones, con cálculos matriciales, en los cursos básicos de
    álgebra lineal, hace que los estudiantes, ávidos de calcular y de emplear recetas, se centren en ellas,
    olvidando la generalidad de los conceptos fundamentales que serán realmente aplicados en cursos
    avanzados.

    Es posible que utilizando herramientas como Matlab, en donde los cálculos, no consumen el tiempo del
    estudiante, salvo en la etapa de diseño de las especificaciones del problema y su método de solución, permita
    avanzar en aplicaciones a modo de taller. La discusión sobre este punto de vista queda abierta.

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    Las Matrices y sus Operaciones
    2 Capítulo 1
    1.- LAS MATRICES Y SUS OPERACIONES

    1.1- Las Matrices

    Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como:
    123
    1 2
    1 2 3
    7246
    (1)
    456
    (2)
    -5 3
    (3)
    -4 -3 1
    (4 )
    3217
    789
    2 1 -8
    1258
    -4 2 8

    La matriz * (1) es una matriz de cuatro filas y tres columnnas ( de dimensión 4×3). La matriz (2) es una matriz de
    2 filas y 2 columnas (cuadrada, de dimensión 2×2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3 columnas (cuadrada,
    de dimension 3×3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas ( de dimensión 3×4).

    El número en la fila i, columna j, será denominado como aij.
    La matriz
    A=
    a11
    a21
    a31
    a12
    a22
    a32
    a13
    a23
    a33
    a14
    a24
    a34
    es una matriz general de dimensión 3×4 (tres filas, 4 columnas) cuyos elementos se han denominado a11, a12 ,
    a13, etc., puesto que no se conocen sus valores. La matriz A del ejemplo anterior se abreviará como:

    A = ( aij) 3×4

    En general, la notación

    A = ( aij ) mxn

    denotará a la matriz
    A =
    a11
    a21
    a31

    am1
    a12 … a1n
    a22 … a2n
    a32 … a3n

    am2 … amn
    de m filas y n columnas.

    Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es decir, si es de
    dimensión nxn.

    Así:
    1 2
    A=
    7 8

    es una matriz cuadrada de orden 2 y

    1 2 9
    B =
    7 8 6
    4 5 2

    es una matriz cuadrada de orden 3.
    *
    Hay matrices de números complejos. Este texto está dedicado a las matrices cuyos elementos son números reales

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    Capítulo 1
    Las Matrices y sus Operaciones
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    3
    En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22= 8,se denominan los elementos de la diagonal. Tambien lo son los
    números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B.

    A los elementos dii(d11, d22, d33, etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal.

    Igualdad de Matrices

    Definición: Dos matrices de la misma dimensión
    A = (aij) mxn
    B = (bij)
    mxn
    , son iguales
    Por lo tanto:
    si y sólo sí aij = bij , para todo i,j.

    2 3 5
    2 3 5
    A =
    ?
    = B,
    4 -1 2
    4 1 2
    puesto que a pesar de que:

    aij = bij para todo (i,j) ? (2,2), tenemos que:
    a22 ?
    b22
    donde aij= 3i + j2.
    Problema resuelto 1:

    Describa en detalle a la matriz A = ( aij) 3×3,

    Solución:
    Los elementos serán:
    a11 =3 (1) + 12,
    a21 =3 (2) + 12 ,
    a31 =3 (3) + 12 ,
    a12 =3 (1) + 22 ,
    a22 =3 (2) + 22 ,
    a32 =3 (3) + 22 ,
    a13 =3 (1) + 32 ,
    a23 =3 (2) + 32 ,
    a33 =3 (3) + 32.
    Efectuando los cálculos correspondientes:

    4 7 12
    A
    =
    7 10 15
    10 13 18
    Fin del problema resuelto 1.

    MATRIZ TRASPUESTA

    Dada la matriz cuadrada
    A
    =
    7
    4
    -1
    2
    5
    2
    1
    8
    3
    a la matriz:
    A T
    =
    7
    2
    1
    4
    5
    8
    -1
    2
    3
    se le denomina la matriz Traspuesta de A.

    A T se obtiene de A por medio de traslaciones simétricas de sus elementos respecto de la diagonal como se vé
    en las figuras anteriores. Este proceso se denomina también reflexión respecto de la diagonal.

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    Las Matrices y sus Operaciones
    4 Capítulo 1
    4
    Es de notar que los elementos de la diagonal de A son los mismos que los de la diagonal de A T, o sea que los
    elementos de la diagonal permanecen fijos. Se puede decir que A T se obtiene de A por medio de una
    rotación de sus elementos, de 180º respecto de la diagonal que en este caso es el eje de rotación.

    Otra manera de obtener A T, a partir de A es transformando las filas de A en columnas de A T (o las columnas
    de A en filas de A T), es decir:

    1ª columna de A ——> 1ª fila de A T
    2ª columna de A ——> 2ª fila de A T
    3ª columna de A ——> 3ª fila de A T

    En realidad:
    Si A = ( a ij)
    mxn
    y A T= (b ij) nxm,
    debe darse la relación:

    ( b ij =
    a ji) ( para cada i,j)
    La noción de matriz traspuesta se extiende a matrices de cualquie

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