r dimensión mxn, con la siguiente definición:
Si A = ( a i j ) mxn , se define
A T= (a (t) ij)
nxm,
por la condición:
( a (t) ij = a ji ), (para cada i , j)
Por lo tanto:
si
A =
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a14
a24
a34
entonces
A T
=
a (t) 11
a (t) 21
a (t) 31
a (t) 41
a (t) 12
a (t) 22
a (t) 32
a (t) 42
a (t) 13
a (t) 23
a (t) 33
a (t) 43
en donde
(a (t) ij = a ji), ( para cada i , j )
o sea:
a (t) 11 = a 11
a (t) 12 = a 21
a (t) 13 = a 31
a (t) 21 = a 12
a (t) 22 = a 22, a (t) 23 = a 32, etc.
es decir:
( a i j = a ji) ( para cada i, j )
Ejemplo:
A
=
7
3
-7
3
5
4
-7
4
3
es una matriz simétrica.
Una matriz cuadrada A es una matriz simétrica sí
A = A T
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
5
5
En consecuencia, la fila 1 es idéntica a la columna 1, la fila 2 a la columna 2, la fila 3 a la columna 3, y
viceversa. Dicho de otro modo: A es simétrica respecto de la diagonal.
Ejercicio resuelto #1
Si
A
=
-1
3
entonces:
1
2
1
2
1
2
A
T
=
2
1
-1
3
Ejercicio resuelto # 2
Si
A
=
1
3
5
-3
2
4
-5
4
-1
entonces
A T
=
1
3
-5
3
2
4
5
4
-1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si
A =
entonces: a22 = 0, a32 = 1,
1 2 1 5
1 0 -2 4
3 1 -2 3
a34 = 3.
2. Si
entonces
A = ( aij) 33, en donde aij = (-1) i + j
1 -1 1
A =
-1 1 -1
1 -1 1
3. La matriz
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
es la matriz idéntica de orden 4.
4. La matriz
1
1
3
4
1 3
2 0
0 -1
1 4
4
1
4
1
es una matriz simétrica de orden 4.
5. Si
A =
1 2 -1
, entonces:
2 1 3
Las Matrices y sus Operaciones
6 Capítulo 1
6
1 2
1 2 -1
A T=
2 1
,y
(A T) T=
=
A
6. Si
-1 3
1 3 5
2 1 3
1 3 5
A =
3 2 4,
entonces:
A T =
3 2 4 .
5 4 -1
5 4 -1
A es simétrica, puesto que A = A T.
7. Si 1 3 -4 p
A = 3 2 5 2
-4 5 -2 7
p 2 7 4
Como A = A T , entonces A es una matriz simétrica.
8. Halle valores de a,b y c, tales que
=
1
-1
1
a+2 2
b 5
1 c 2- 1
1
-1
1
-1
1
1
2
5
0
Solución: De la igualdad anterior se concluye que
a + 2 = -1
b = 1
c 2- 1 = 0
. En consecuencia: a = -3, b = -1 y c = 1.
Ejercicios propuestos
1.
Halle si es posible, todos los valores de cada incognita para que cada una de las siguientes
igualdades se cumpla:
2 4 y 4
a) =
5 x+2 5 7
x
0
2
0
b)
=
9
y
y
x
2.
Escriba explicitamente la matriz
A = (aij)4×5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4.
j = 1,2,3,4,5.
3.
Escriba explicitamente la matriz
A = (aij)4×4 , si aij = (-1) i + j , (i , ,j = 1,2,3,4).
4. Dadas las matrices A = (aij)4×4 y
B = (bij)4×5 ;
B =
1 2 3
A = -1 -3 -5
2 3 4
0 0 1
4
1 ,
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
-1
1
-1
1
1
2
1
2
Describa explicitamente a la matriz C = (cij)4×4 , si cij = ai jbj j + 2 bi j
(i , ,j = 1,2,3,4).
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
7
7
5.
Halle la matriz traspuesta de cada una
matriz es simétrica.
1
de las siguientes matrices. En cada caso determine si la
1 2 3 2
c) C = ( 0 1)
a) A = 2 b) B =
1
2 2 4 3
3 4 1 1
d)
D =
1
2
3
2
2
4
3
4
1
6.
7.
Demuestre que la matriz A = ( ai j)nxn , definida por ai j = i + j
(i , ,j = 1,2,3, …,n), es una matriz simétrica.
Verifique que si n > 1, la matriz A = ( ai j)nxn , definida por
ai j = i + 2j (i , ,j = 1,2,3, …,n), no es una matriz simétrica.
2 .- OPERACIONES CON MATRICES
2.1.- Multiplicación de una Matriz por un Número
Si a es un número y A = ( aij) mxn, definiremos la nueva matriz
a11
a21
a12 … a1n
a22 … a2n
aa11
aa21
aa12 … aa1n
aa22 … aa2n
a A =
a
a31
a32 … a3n
=
aa31
aa32 … aa3n
am1
am2 … amn
aam1
aam2 … aamn
En donde cada elemento de la matriz A se multiplica por el número a.
4 7 12
8 14 24
Ejemplo:
2
-7 10 15
=
-14 20 30
10 13 -18
2.2- Suma y Resta de Matrices
Suma de matrices
1 2 3 4
20 26 -36
3 2 1
4
A =
B =
4 2 1 5
3 1 0 6
4 3 1
3 1 7
2
1
Definiremos
A + B como:
1+3
4+4
3+3
2+2
2+3
1+1
3+1
1+1
0+7
4+4
5+2
6+1
+
=
En consecuencia
1 2 3 4
4 2 1 5
3 1 0 6
3 2 1 4
4 3 1 2
3 1 7 1
4 4 4 8
8 5 2 7
6 2 7 7
La resta de matrices se define de modo similar
En general. Si A = ( aij) mxn B = ( bij) mxn . Definimos:
A + B = ( aij) mxn
+
( bij) mxn =
( cij) mxn ,
Donde
cij = aij + bij , para cada i,j.
Las Matrices y sus Operaciones
8 Capítulo 1
8
No aceptaremos una suma tal como:
2 3
2
3
1
+
1 7
7
2
8
En este último caso diremos que la suma no está definida o que las matrices no son conformes para la suma.
La suma sólo estará definida para matrices de la misma dimensión.
Problemas resueltos
1. Si
A = (aij) 3×4
definidos por
aij = -i + j
y
B = ( bij) 3×4
Tendremos como conclusión que:
bij = -j
a32 = -3 + 2 y
b32 = -2.
De donde el elemento en la fila 3, columna 2 de C = ( cij) 3×4 = A + B,
c 32 = – 1 + (- 2) = – 3.
es:
Por consiguiente: Si
A=
=
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
0 1 2 3
-1 0 1 2
-2 -1 0 1
y
B=
=
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
-1 -2 -3 -4
-1 -2 -3 -4
-1 -2 -3 -4
entonces: A + B = C =
2.
1 -2 0
-1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 -2
-3 -3 -3 -3
4 2 1
5 0 1
+
=
0 5 3
-2 -5 1
-2 0 4
3.
1+x 0
x
b
1 -b
–
=
0 2+x
a -x
-a
2
4.
a) Si
1 -2
2 -4
A
=
0 1
, entonces 2A =
0 2
6 10
,
3 5
confirmandose que: A + A = 2A.
b)
1-x
0
5 – 5x
0
5
=
0
2-x
0
10 – 5x
5. Demostraremos que A – B = A + (-1) B.
Método 1
a11
a12 … a1n
Si
A=
a21
a31
.
am1
a22 … a2n
a32 … a3n
. .
am2 … amn
Capítulo 1
9
Las Matrices y sus Operaciones
b11
b12 … b1n
b21
b22 … b2n
y
B=
b31
.
bm1
b32 … b3n
. .
bm2 … bmn
a11- b11 a12- b12
a21- b21 a22- b22
… a1n- b1n
… a2n- b2n
entonces:
A – B =
… … … ….
am1- bm1 am2- bm2 … amn- bmn
y (-1) B =
-b11
-b21
-b31
.
-bm1
-b12 … -b1n
-b22 … -b2n
-b32 … -b3n
. .
-bm2 … -bmn
Luego
a11
a21
a12 … a1n
a22 … a2n
-b11
-b21
-b12 … -b1n
-b22 … -b2n
A + (-1)B =
+
=
a31
.
a32 … a3n
. .
-b31
.
-b32 … -b3n
.
.
am1
am2 … amn
-bm1
-bm2 … -bmn
A +(-1)B =
a11- b11
a21- b21
a31- b31
… …
am1- bm1
a12- b12
a22- b22
a32- b32
…
am2- bm2
… a1n- b1n
… a2n- b2n
… a3n- b3n
….
… amn- bmn
Por consiguiente:
A – B = A + (-1) B
Método2
Sean A = ( aij ) mxn
y
B = ( bij)
mxn
Entonces: Si C= A + (-1) B, donde C = ( cij)
mxn,
tendríamos
cij= aij+ (-1) bij , para todo i,,j.
, para todo i,,j.
En consecuencia: cij= aij – bij
Por lo tanto: A – B = A + (-1) B.
Ejercicios propuestos
1.
Dadas
2
1
-2
0
3
, , calcule:
a)
3A
A =
– 3 -4
b) -2B c) -A
y
d) A – 3B
B =
-1
e) (1/2)B – 2A
2.
f) Halle C, si B + C = A
Sea
g) Halle D si A – 2D = 2B.
5 10 20
A
=
-65 15 -10
9
Las Matrices y sus Operaciones
10 Capítulo 1
10
Halle una matriz B que sea múltiplo de A ( es decir B = cA ,c un número real) y que tenga en la
posición b12 el número 2.
2.3.- Multiplicación de Matrices
Dadas las matrices
1 2 3
2
1
3
A=
B=
2
5
7
4 5 6
1
2
4
definiremos la multiplicación de la fila 1 de A por la columna 3 de B, como:
(1
2
3)
3 = (1×3 + 2×7 + 3×4) = (3 + 14 + 12) = (29)
7
4
y similarmente, la multiplicación de la fila 2 de A, por la columna 2 de B, como:
(4 5 6)
1 = (4×1 + 5×5 + 6×2) = (4 + 25 + 12) = (41).
5
2
Más aún, definiremos la multiplicación
1 2 3
2 1 3 0
C = ( cij) 2×4 =
2 5 7 1
4 5 6
1 2 4 2
como la matriz C de dimensión 2×4, donde cada elemento cij, de la fila i, columna j del producto C, es el
resultado de la siguiente operación:
Elemento en fila i, columna j de C = Fila i de A x columna j de B
Por supuesto, el elemento c23, de la 2da. fila, 3ra. columna del producto
C = AB,
se calculará multiplicando la fila 2 de A, por la columna 3 de B (enmarcadas), así:
1 2 3
2 1 3 0
x
x
x
x
4 5 6
2 5 7 1
=
1 2 4 2
x
x 71
x
ya que
(4 5 6)
3
=
(4×3 + 5×7 +6×4) = (71)
7
4
O sea que:
1 2 3
2 1 3 0
9
16
29
8
4 5 6
2 5 7 1
=
1 2 4 2
24 41
71
17
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
11
11
Es de notar que si A es de dimensión 2×3 y B es de dimensión 3×4, entonces AB es una matriz de dimensión
2×4.
Para denotar que una matriz A es de dimensión mxn, (m filas, n columnas), la notaremos como: Amxn.
En general, dos matrices Amxn y Bsxk, son conformes para la multiplicación sí y sólo sí n = s, o sea que el
número de columnas de A, debe ser igual al número de filas de B.
El resultado del producto Amxn Bnxk = Cmxk , es tal que el elemento cij , de la fila i, columna j de C, es el
resultado del producto de la fila i de A por la columna j de B.
Las matrices
1
0
1 0 0
I2 =
I3 =
0 1 0
0
1
0 0 1
se llamarán la matrices idénticas de orden 2 y 3 respectivamente.
En general, la matriz In = (dij)n , donde
1 si i = j
dij =
0 si i ? j
Se llamará la matriz idéntica de orden n.
Nótese que:
1
2
1 0
1
2
2 5 7
1 0 0
2 5 7
=
y
3 4 6
0 1 0
=
3 4 6
7
8
0 1
7 8
9 2 8
0 0 1
9 2 8
1
0
1
2
1
2
1 0 0
2 5 7
2 5 7
=
0 1 0
3 4 6
=
3 4 6
0
1
7 8
7
8
0 0 1
9 2 8
9 2 8
De donde se verifica que si Ines la matriz idéntica de orden n, entonces, como sucede en los números con el
número 1:
AnIn = InAn = An
Ejercicios resueltos
1. Sean:
1 2 -1
1
4 7
9
A =
1 -2 3
y
B =
2
5 8
8
4 1 2
3
6 9
7
a)
b)
c)
d)
Verifique las condiciones de dimensión para que el producto AB esté definido y halle la dimensión
de AB.
Halle el elemento c24 de AB, situado en la segunda fila, cuarta columna.
Calcule AB.
Señale por qué BA no está definida.
Solución:
a) Como A es dimensión 3 x 3 y B es de dimensión 3 x 4, entonces AB está
definida
y
su
dimensión es 3 x 4.
Las Matrices y sus Operaciones
12 Capítulo 1
b) El elemento c24de AB se puede calcular efectuando el producto de la segunda fila de A por la cuarta
columna de B así:
( 1 -2 3 )
9
=
( 9 – 16 + 21 ) = ( 14 )
8
7
c)
2 8 14 18
AB
=
6 12 18 14
12 33 54 58
d)
Como B es de dimensión 3 x 4
y A es dimensión 3
x 3, y 4 ? 3,
entonces BA no está definida.
2. Demuestre que si
A = (aij) mxn
y
B = (bij)
nxk
(AB)T = BTAT.
entonces, en general:
Demostración:
Si AB = C = (cij)
mxk
, donde cij =ai1b1j+ ai2b2j+ … + ainbnj.
Luego:
(AB)T = CT = (cij (t))kxm , donde cij(t) = cji = aj1b1i+ aj2b2i+ … + ajnbni
Además:
BT = (bij (t))kxn , donde bij (t) = bji.
AT = (aij (t))nxm , donde aij (t) = aji
Si
BTAT = D = (dij)kxm , entonces
dij = bi1(t)a1j(t)+ bi2(t) a2j(t) + … + bin(t) anj(t).
Por consiguiente: dij = b1i aj1+ b2i aj2 + … + bni ajn .
Como (AB)T y BTAT, son de la misma dimensión k x m y
cij(t)= dij, para todo (i , j) , hemos concluido la demostración.
3. Demostraremos que si A = B y C = D, entonces AC = BD.
Demostración:
Sean
A = (aij)
mxn
, y
B = (bij)
mxn
,
C = (cij)
nxk
,
y
D = (dij)
nxk
.
Como A = B, tendremos que aij = bij , para todo i,,j .
Como C = D, tendremos que cij = dij , para todo i,,j .
Luego:
y
ya que
AC = (ai1 c1j+ ai 2c2j + … + ain cnj ) mxk
BD = (bi1 d1j+ bi 2d2j + … + bin dnj ) mxk
aij = bij , para todo i,,j . y
cij = dij , para todo i,,j .
12
Las Matrices y sus Operaciones
13
13
Capítulo 1
Se concluye que AC = BD.
4. Si
1 3
1 2
A =
B =
, verifique que
2 4
1 3
AB ? BA, o sea que en este caso A y B no conmutan.
Solución:
4 11
5 11
AB =
BA =
6 16
7 15
5. Demuestre que las matrices
1 3
4 9
A =
y
B =
2 4
6 13
conmutan. Es decir que AB = BA.
Solución:
22 48
AB =
= BA
32 70
6.La matriz idéntica de orden n, conmuta con todas las matrices de orden n ya que:
AI = IA = A, para toda matriz A de orden n.
7. La matriz 0 de orden n es tal que A0 = 0A = 0
luego: A0 = 0A, para toda matriz A de orden n. Es decir que la matriz 0 de orden n, conmuta con todas las
matrices cuadradas (del mismo orden n)
8. Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz A + AA, conmuta con A.
Demostración: A( A + AA ) = AA + AAA, Y
( A + AA) A = AA + AAA.
Ejercicios Propuestos
9.
Multiplique las siguientes matrices si es posible:
a)
b)
2 1
3 4
0 1
2 -1
2
6
1
0
-1
4
c)
4
0
d)
4 2
0
1
(2 1 0)
0
2
3 1
1
0
e)
f)
2
9
4
6
3
2
1
2
0
4
2
(3
1)
3
10. Dadas
1 2 3
1 4 7
A =
2 -1 1
, y
B =
2 5 8 .
3 4 1
3 6 9
a) Halle A T
, B T
, ( A + B ) T ,
( AB )T
14
14 Capítulo 1
b) Verifique que:
( A + B ) T = A T+ B T
( AB )T = B T A T
( A T)T = A
c) Verifique que: ( AB )T
Las Matrices y sus Operaciones
? A T B T
11.
Sea
2 0
4 -1
1 0
A =
,B=
,
I=
3 1
0 2
0 1
a) Premultiplique B por A, es decir halle AB.
b) Postmultiplique B por A, es decir halle BA.
c) Halle B 2
d) Halle B 4
e) Halle 28(IB)
f) Halle -11(0B)
g) Halle (3I)3
12. Dada la matriz
1 1
A =
? 0, halle una matriz B ? 0, de orden 2, tal que AB = 0.
1 1
13. Dada la matriz
1
0 0 0
A =
2
0
0
3 0 0 ,
4 5 0
0 3 2
Demuestre que existe una y sólo una matriz B de orden 4
B=
b11
b21
b31
b41
b12
b22
b32
b42
b13
b23
b33
b43
b14
b24
b34
b44
tal que:
AB = I =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Ayuda: Demuestre primero que necesariamente
b12 = b13 = b14 = b23 = b24 = b34 = 0.
Luego pruebe que b11 = 1
,b22 = 1/3,
b33 = 1/5,
b44 = 1/2.
Posteriormente calcule los demás elementos.
14. Demuestre que en general:
a) ( A + B ) T = A T+ B T
(Asuma que la suma está definida)
b) ( ( A ) T) T= A, para toda matriz A.
A = AAA … A. Si n es
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
15
15. Suponga que A es una matriz de orden 2 que conmuta con todas las matrices de orden 2. Pruebe que A
es un múltiplo de la matriz idéntica.
16. Demuestre que la matriz A conmuta con An, para toda matriz cuadrada A.
17. Demuestre que la matriz a0I + a1A + a2A2 + … + anAn conmuta con A, para todo n. Construya una matriz
que conmute con
1 -1
2 1
3 2
1
1
4
3.- Propiedades
3.1.- Las leyes de las operaciones
Los objetos del algebra matricial son matrices, las cuales generalmente se denominan por letras mayúsculas
como A, B, C, etc.
MATRIZ 0 DE DIMENSIÓN mxn.
La matriz 0 de dimensión mxn, o matriz nula, es la matriz
0mxn = (a) ij
0
mxn,donde
0
a ij = 0, para cada i,,j.
0
0
0
Por lo tanto
02×2 =
,
02×3 =
0
0
0
, etc.
0
0
Sabemos que si las matrices son conformables, podemos sumarlas, restarlas y multiplicarlas.
Las siguientes reglas se verifican en el álgebra de matrices, siempre que las operaciones se puedan definir
(conformabilidad).
Si A es una matriz cuadrada:
A x 0 = 0 x A = 0,
AxI= IxA=A
Para matrices (conformables) de cualquier dimensión:
Propiedades
Conmutatividad
Asociatividad
Asociatividad
Elemento neutro
Matriz identica
a es un número
a es un número
Distributividad
Distributividad
15
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A(BC) = (AB)C
A+0=0+A=A
AI = IA = A
A0 = 0A = 0
a(A + B) = aA + aB
a(AB) = A(aB)= aAB
aß(A)=a(ßA)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AB + AC
(A T)T= A
(A + B) T= A T+ B T
(AB) T= B TA T
Por supuesto:
n
n
un número entero positivo
Las Matrices y sus Operaciones
16 Capítulo 1
En las matrices
No siempre AB = BA
n sumandos
nA = A+A+A … +A.
Si n es un número entero positivo
En los números se cumple la siguiente ley
conmutativa
ab = ba
Ejemplo:
Si
A
=
2
1
2
1
3
-1
-1
1
2
y
B =
3
1
2
1
-1
1
Se verifica que:
AB =
5
8
9
0
-1
5
y
BA no está definida
Ejemplo 2
A
=
1
3
4
2
0
0
1
1
0
y
B
=
1
0
1
2
1
0
1
1
-3
Entonces
AB =
BA =
Por lo tanto, en este caso, AB ? BA.
De este ejemplo se concluye, que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Por lo tanto, una vez
planteado un problema hay que tener cuidado con el orden en que se ejecutan las operaciones.4.-
APLICACIONES PRÁCTICAS
4.1 Un problema de comunicaciones
Una señal de radio transmitida por una estación puede ser retransmitida por estaciones vecinas las cuales
formando una cadena pueden llevarla hasta los confines más remotos.
16
2
4
4
11
7
-11
4
6
0
2
0
2
0
0
-12
3
1
1
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
17
17
Cuando el número de estaciones retransmisoras aumenta, puede ser dificil determinar si la señal que sale de
una estación puede llegar a otra directamente o al menos utilizando algunos relevos.
Suponiendo que las estaciones 1,2,3,4,5, y 6 establecen canales de comunicación como los que muestra la
siguiente figura:
1
2
3
5
4
6
Debemos determinar si una señal transmitida por una estación puede llegar a otra.
En la figura anterior puede observarse que la estación 1 está aislada de las otras estaciones y que la estación
3 no puede enviar señal a la estación 2, pese a que puede recibir señal de aquella.
Algunas estaciones tienen comunicaciones de doble vía.
Es un hecho que la estación 2 puede enviar señales a la estación 6 utilizando las rutas
2—>3—>4—->6,
2—>3—>5—>6,
2—>5—>6,
2—>5—>3—->4—->6.
El gráfico de la figura anterior podría representar también posibilidades de soborno o tráfico de influencias, que
son desgraciadamente comunes en nuestra sociedad, entre las personas 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
En el gráfico anterior observaríamos que el señor 1 no soborna y es insobornable, y que el señor 6, entre
otros, puede ser sobornado por todos, excepto por el incorruptible señor 1 (nuestro héroe). A veces a alto
costo por el número de intermediarios que se pueden requerir.
Si el gráfico anterior representa cómo una perturbación sufrida por uno de los focos, se transmite a los
restantes, podemos ver que la más alta posibilidad de perturbación se halla en los focos 4 y 6 pues se
perturban al perturbar cualquier otro foco distinto de 1.
Gráficos como el de la figura pueden esquematizar relaciones genéticas entre individuos o generaciones,
retrasmisiones de repetidoras o vias de comunicación.
Retornemos al caso de las estaciones de radio!.
Si el número de estaciones y de relaciones aumenta, gráficos como el de la figura anterior pueden parecer al
observador tan indescifrables como el gráfico siguiente:
La matriz C que llamaremos la matriz de las comunicaciones directas, condensa toda la información del
gráfico.
RECEPTORES
E
M 1
I 2
S 3
O 4
R 5
E 6
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
0
1
0
4
0
0
1
0
0
1
5
0
1
1
0
0
0
6
0
0
0
1
1
0
S
Las Matrices y sus Operaciones
18 Capítulo 1
La matriz C = (cij)6×6, ha sido definida de tal manera que cij = 1, para i = j, si la señal de la i-ésima estación
es recibida directamente por la j-ésima estación.
Por definición cii = 0 para todo i (no aceptamos retrasmisión de una estación a sí misma).
Podemos plantearnos la pregunta:
Cuáles estaciones se pueden comunicar entre sí enviando sus señales por intermedio de otras estaciones
(relevos) ?.
Motivaremos la respuesta a esta pregunta observando un elemento en la matriz C2.
Estudiemos por ejemplo el elemento situado en la 2da. fila, 4ta. columna de C2. Tal elemento es:
.
c21. c14+ c22.c24 + c23.c34 + c24.c44 + c25. c54 + c26. c64
Cada elemento c2k.ck4 de la suma anterior es 0 o 1. Además: c2k.ck4 es 1 sólo en el caso de que c2k =
1 y ck4 = 1. Es decir, sólo en caso de que la señal de la estación 2 pueda ser retransmitida a la estación 4,
pasando por la estación intermedia k.
En consecuencia la suma anterior, cuenta de cuántas maneras se puede enviar la señal de la estación 2 a la
estación 4, utilizando exactamente una estación como intermediaria ( un relevo).
Asumimos de nuevo que los elementos de la diagonal de C2, se reemplazan por ceros.
Por un razonamiento similar se concluye que cada elemento de la fila i, columna j, de C3, dá exactamente el
número de maneras como la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando exactamente dos
relevos.
Verifiquemos el caso de C2.
C2 = (bij) =
.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1 2 3 4 5 6
.
1
2
= 3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
2
0
0
1
En tal matriz, b36 = 2, ya que las cadenas que se pueden utilizar para enviar la señal de la estación 3 a la
estación 6, a partir del gráfico inicial de la página 17, utilizando exáctamente un relevo son:
3—>5—>6
y 3—->4—->6,
mientras que b25 = 1, ya que la única cadena que lleva la señal de la estación 2 a la estación 5, utilizando
exactamente un relevo es:
2—->3—->5.
El elemento C23,3 = 1, está informándonos de la cadena
18
0
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
19
19
C3 = C2C
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
2
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
En tal caso
C2 =
y
3 —–> 5 ——->3
Dependiendo del problema, esta cadena puede tenerse o no, en cuenta. En nuestro caso hemos decidido
eliminarla ya que no queríamos que nos estorbara ese tipo de retrasmisión tipo eco. Sin embargo, es posible
que estos ecos deban ser tomados en cuenta como lo haremos a continuación estudiando los casos C, C2 y
C3 cuando aceptamos 1’s en la diagonal.
Similarmente, el elemento en la posición i,j de C3 nos dice de cuántas maneras se puede enviar la señal de la
estación i a la estación j utilizando exactamente 2 relevos.
En general, el elemento en la posición i,j, fila i, columna j de Ak , para cualquier k, cuenta de cuántas
maneras, la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando exactamente k – 1 relevos.
Se concluye por lo tanto que el elemento en la posición i,j de C + C2 nos dá el número de maneras como la
señal de la estación y puede ser transmitida a la estación j, utilizando a lo más un relevo.
En general, el elemento en la posición i,j de C + C2 + C3+ C4 + … + Ckseñala el número de maneras como la
señal de la estación y puede llegar a la estación j, utilizando a lo más k – 1 relevos.
Como aporte al lector, hemos calculado:
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
1
Nuevamente, hemos sustituido los 1’s en la diagonal de C2por 0’s, antes de calcular C3.
Esta matriz señala que no hay forma de enviar la señal de la estación 2 a la estación 1 utilizando exactamente
dos relevos, mas hay dos (2) maneras de llevar la señal de la estación 2 a cuarta y a la sexta utilizando dos
relevos. Si observamos el gráfico de la página 17, corroboramos lo siguiente:
Comunicaciones con exactamente dos relevos
De 2 a 4
De 2 a 6
2—>5—->6—->4 2—->3—->4—->6
2—>5—->3—->4 2—->3—->5—->6
Total 2 Total 2
Por supuesto que las igualdades matemáticas que hemos estado utilizando, han sido bastante flexibles en el
sentido que C2, no es exactamente C2 al calcular C3, ya que previamente cambiamos los unos en la diagonal
principal por ceros. Lo mismo hicimos con C3 y así sucesivamente.
Estudiemos en detalle nuestro C2, antes de que cambiaramos los 1’s en la diagonal principal por 0´s.
Las Matrices y sus Operaciones
20 Capítulo 1
20
C3=
En C2 se cuentan rutas tales como:
c2(3,3) = 1 correspondiente a las rutas
c2(4,4) = 1 correspondiente a las rutas
c2(5,5) = 1 correspondiente a las rutas
c2(6,6) = 1 correspondiente a las rutas
que ahora no se están desechando.
Otras diferencias son aleccionadoras.
Si en C2cambiamos los 1’s por 0’s en la diagonal, entonces c3(3,4) = 2. Vease la matriz de la página 11.
Si dejamos los 1’s en la diagonal, como en C2 en la página anterior, entonces c3(3,4)= 3.
La diferencia proviene de que si c2(4,4) = 1, como se ve en la página anterior, estamos tomando en cuenta la
ruta 4—->6—->4, la cual producirá en c3(3,4) la ruta 3—->4—->6—->4, además de 3->5->6->4
y 3—->5—->3—->4.
El asunto se puede complicar, auncuando cambiemos continuamente en cada potencia de C los unos de la
diagonal por ceros, ya que en este ejemplo c3(3,4)= 2, como es el caso de C3 en la página 11, lo cual significa
que se están tomando en cuenta las rutas
3—->5—->6—->4,
3—->5—->3—->4.
La ruta 3—->5—->6—->4 señalada en itálica podría tener sentido o nó según el problema.
Estas limitaciones del método nos llevan a sospechar de que en algunos casos debe complementarse o
refinarse, reviviendo de alguna manera la información perdida al pasar del grafo de la página 8 a la matriz C.
La teoría de grafos con sus propios desarrollos todavía puede darnos mejores respuestas en problemas
específicos.
Ejercicios
1 ) Estudie en detalle los inconvenientes presentados por el modelo matricial en el problema de las
comunicaciones y posibles soluciones que nos permitan desechar rutas indeseables. Proponga alternativas,
ya sea utilizando teoría de matrices o de grafos.
2) Compare el método matricial para controlar el problema de las comunicaciones, con métodos en teoría de
grafos o de otro tipo.
4.2 CADENAS DE MARKOV
Una matriz estocástica A = (aij)nxn es una matriz con las siguientes propiedades:
a)
b)
aij = 0 para todo i, j
a1j +a2j +a3 j + . . . +anj = 1 para cada j.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
2
3
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
2
0
1
3
0
3—->5—->3
4—->6—->4
5—->3—->5
6—->4—->6
T =
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
21
21
En consecuencia, una matriz estocástica es una matriz con elementos no negativos tal que la suma de los
números en cada columna es 1.
0,25
0,60
0,15
0,30
0,60
0,10
0,25
0,30
0,45
es una matriz estocástica.
Suponga que el flujo probable de los votos por los partidos 1, 2 y 3, de las elecciones del año 2000 al 2001,
primera elección, está dado por el diagrama siguiente:
20%
60% 1 2 30%
50%
20% 30% 20% 20%
3
50%
El diagrama indica, por ejemplo que el 30% de las personas que pertenecían al partido 2 en el 2000, votarán
de nuevo por los 2 en el 2001, mientras que el 50% votará por los 1 y el 20% por el partido 3. El resto del
diagrama es facil de interpretar. Esta información puede representarse en la matriz estocástica:
de 1 de 2 de 3
T=
0,60
0,20
0,20
0,50
0,30
0,20
0,30
0,20
0,50
por 1
por 2
por 3
MATRIZ
2000 – 2001
Por simplicidad asumiremos que en el siguiente período no contabilizaremos a los nuevos votantes.
Estudiemos a la matriz de transición T 2.
2
de 1
0,52
0,22
0,26
de 2
0,51
0,23
0,26
de 3
0,43
0,22
0,35
por 1
por 2
por 3
MATRIZ 2000 – 2002
Es de nuevo una matriz estocástica.
Asumiremos que el número total N de votantes permanece constante de año en año.
Suponga que la distribución de votos en el año 2000 y la esperada en el 2001 está dada por:
(1)
Por 1
Por 2
Por 3
2000
x0%
y0 %
z0 %
2001
x1%
y1 %
z1 %
1
En este caso el número de votos recibidos por el partido 1 en el año 2000 fue x0N y se espera que sea x1N en el año
2001. Los otros casos se interpretan de modo semejante.
Las Matrices y sus Operaciones
x1= 0.60 x0+ 0.50 y0 + 0.30 z0
y1= 0.20 x0+ 0.30 y0 + 0.20 z0
z1= 0.20 x0+ 0.20 y0 + 0.50 z0
22 Capítulo 1
En este caso:
Es decir que:
T
=
x0
y0
z0
x1
y1
z1
Si la matriz T se utiliza para calcular la distribución porcentual del año 2002 .
Año 2002
Por 1
Por 2
Por 3
x2
y2
z2
Tendríamos que:
x2
x1
x0
y2
=
T
y1
=
T 2
y0
z2
z1
z0
Asumiendo que esta matriz de transición se pudiese aplicar en años venideros, tendríamos que en n años, la
distribución de los votos estaría dada por
= T
n
xn
yn
zn
x0
y0
z0
En particular, la relación de los votantes con los resultados de las elecciones , está dado por:
T
T2
T3
…
Tn
2000 —-> 200(n)
2000—> 2001 2000—> 2002 2000—> 2003
Las matrices
T
T2
T3
…
Tn
son todas, matrices estocásticas. (la suma de los elementos de cada columna es 1) es decir (100%).
De la matriz T sacamos la siguiente información:
T=
de 1
0,60
0,20
0,20
de 2
0,50
0,30
0,20
de 3
0,30
0,20
0,50
por 1
por 2
por 3
El 60% de los votantes de 1 votarán por 1 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 1 votarán por 2 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 1 votarán por 3 en la siguiente elección
El 50% de los votantes de 2 votarán por 1 en la siguiente elección
El 30% de los votantes de 2 votarán por 2 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 2 votarán por 3 en la siguiente elección
El 30% de los votantes de 3 votarán por 1 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 3 votarán por 2 en la siguiente elección
22
Capítulo 1
Las Matrices y sus Operaciones
23
El 50% de los votantes de 3 votarán por 3 en la siguiente elección.
De T 2 concluimos que:
T 2 =
de 1
0,52
0,22
0,26
de 2
0,51
0,23
0,26
de 3
0,43
0,22
0,35
por 1
por 2
por 3
El 52% de los votantes originales de 1 votarán por 1 en la siguiente elección
El 22% de los votantes originales de 1 votarán por 2 en la siguiente elección
El 26% de los votantes originales de 1 votarán por 3 en la siguiente elección
El 51% de los votantes originales de 2 votarán por 1 en la siguiente elección
El 23% de los votantes originales de 2 votarán por 2 en la siguiente elección
El 26% de los votantes originales de 2 votarán por 3 en la siguiente elección
El 43% de los votantes originales de 3 votarán por 1 en la siguiente elección
El 22% de los votantes originales de 3 votarán por 2 en la siguiente elección
El 35% de los votantes originales de 3 votarán por 3 en la siguiente elección.
De acuerdo con la teoría de las matrices estocásticas, si la matriz T es una matriz estocástica regular1, T n
tiende a una matriz con todas sus columnas iguales a medida que n crece.
Con un computador podría comprobarse que:
de 1
0,49276
de 2
0,49275
de 3
0,49033
por 1
T
5
=
0,22222
0,22223
0,22222
por 2
0,28502
0,28502
0,28745
por 3
y
de 1
0,492063492
de 2
0,492063492
de 3
0,492063492
por 1
2
T
17
˜
0,222222222
0,222222222
0,222222222
por 2
0,285714286
0,285714286
0,285714286
por 3
Ya que T 18 tiene la forma
T 18
˜
a
ß
?
a
ß
?
a
ß
?
Se concluye que
T 19 = T 18 . T
.
0,60 0,50 0,30
0,20 0,30 0,20
0,20 0,20 0,50
˜
=
a
ß
?
a
ß
?
a
ß
?
a
ß
?
a
ß
?
a
ß
?
Por lo tanto, a partir de n=18:
T n ˜ T n+1 ˜ T n+2 ˜
…
1
Una matriz de transición T es regular, si para alguna potencia k > 0, T k tiene todas sus entradas (números que la
conforman) positivas.
2
Utilizamos a veces el símbolo ˜ para hacer notar que los resultados ya no son exactos debido al error por
aproximación (redondeo o truncamiento) introducido en los cálculos por la aritmética finita del computador.
23
y0
Las Matrices y sus Operaciones
24 Capítulo 1
24
Por consiguiente:
Si las expectativas de votación (flujo de votantes de año en año), se mantuviese igual por años, se concluíria
que a partir de n > 18, los partidos se repartirían los votos de una manera que puede predeterminarse,
quedando el partido 1 con a votantes, el partido 2 con ß votantes y el partido 3 con ? votantes.
La matriz T n con n suficientemente grande, sirve para “predecir” como terminarán las cosas si la situación
planteada por la matriz de transición T, se mantiene igual por n años.
Por supuesto, en realidad la matriz de transición cambia de año en año, y a la final, la matriz Tn que
relacionaría el flujo de votantes entre los partidos, a partir del censo inicial hasta la n – ésima votación, se
calcularía así:
T(n) =
T(n-1). Tn
= T(n-2) . Tn – 1 . Tn = T(n-3) . Tn – 2 . Tn – 1 . T n =
X1= T X0; n = 1, X n = T X n – 1;
n = 1, X n = T(n) X 0.
= T1 . T2 . T3 . T4 … Tn.
Cada matriz Tkes estocástica y en particular lo es T(n).
x0
El vector X0= se denomina el vector de estado inicial, cada uno de los vectores Xi=
z0
es también un vector de estado. Las siguientes ecuaciones son válidas:
xi
yi
zi
Capítulo 1
Ejercicios correspondientes a aplicaciones
25
25
EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A APLICACIONES
1. Dibuje un diagrama semejante al que se presentó en el ejemplo de las comunicaciones, que corresponda a
la matriz:
RECEPTOR
a) Calcule:
C =
i) C 2
E
M 1
I 2
S 3
O 4
R
ii) C 3
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
iii) C + C 2 + C 3
b) Verifique en el gráfico Por ejemplo, hay una flecha de 2 a 3 y no la hay de 2 a 1) que C 2
si es la
matriz de las comunicaciones utilizando exactamente un relevo y C
3
la de las comunicaciones con
exactamente dos relevos. Distribuya los números 1,2,3,4 en un espacio tal que le permita trazar flechas
entre aquellos que están comunicados directamente (tienen un 1 en la intersección fila, columna de A).
Verifique además que C + C 2 + C 3es la de las comunicaciones con a lo más dos relevos.
c) Encuentre matricialmente de cuántas maneras puede llegar la señal de la estación 4 a la estación 2
utilizando a lo más dos relevos. Dé la lista a partir del gráfico de todas las cadenas que cumplen tal función.
2. Suponga que cuatro personas tienen establecido un tráfico de influencias de acuerdo con la figura
siguiente:
1
3
2
4
a) Escriba la matriz que muestra el número de maneras en las cuales una persona puede influenciar a otra
utilizando a lo más un intermediario.
b) Ordene a las personas de acuerdo con el número total de canales de influencia que puede ejercer
utilizando a lo más un intermediario.
3. Una fabrica de automóviles aconseja rotar las llantas después de cada 10.000 kmts., tal como se indica en
el diagrama siguiente:
TRASERA IZQ. DELANTERA IZQ.
REPUESTO
TRASERA DER.
DELANTERA DER.
Escriba un ensayo corto sobre cómo el álgebra de matrices puede ser utilizada para determinar la posición
ocupada por una llanta al cabo de n rotaciones.
4. Teniendo en cuenta la matriz de transición presentada en el ejemplo teórico de ésta sección, conteste las
siguientes preguntas:
a) Qué porcentaje de quienes pertenecían originalmente al partido 3, votarán
de nuevo por el
partido 3 en la segunda siguiente elección?.
b) Cuál partido retendrá mayor porcentaje de sus votantes originales en tal elección a partir del estado
inicial?
c)
Qué porcentaje de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 3
en tal elección?.
Ejercicios correspondientes a aplicaciones
26 Capítulo 1
26
5. Suponiendo que el flujo de votantes (matriz de transición) se mantuviese inalterable año por año, verifique
que:
1 en la siguiente
a) El 50% de los votantes iniciales del partido 1 votarán de nuevo por el partido
tercera elección.
b) Aproximadamente el 50% de los votantes iniciales del partido 2, votará por el
partido
1
en
la
siguiente tercera elección.
6. Tres compañías A, B y C, introducen nuevas marcas de crema dental simultaneamente en el mercado.
Inicialmente el mercado está repartido así: A posee el 40%, B el 20% y C el 40%.
Durante el primer año, la compañía A retiene el 85% de sus clientes, pierde el 5% con B y el 10% con la
compañía C. La compañía B retiene el 75% y pierde el 15% con A y el 10% con C. La compañía C retiene
el 90% y pierde el 5% con A y el 5% con B. Asuma que los hábitos de consumo no cambian. Como estará
repartido el mercado en porcentajes al final del 1ro. y 2do. años?.
7) Asuma que las personas, de acuerdo con el trabajo que desempeñan y el grado de calificación, se dividen
en profesionales, trabajadores calificados y trabajadores no calificados. Asuma que el 70% de los hijos de
profesionales son profesionales, 20% trabajadores calificados y 10% no calificados. De modo similar
suponga que el 60% de los hijos de trabajadores calificados son trabajadores calificados, 20%
profesionales y 20% no calificados. Asuma además que 89% de los hijos de los trabajadores no calificados
son trabajadores no calificados, 10% son calificados y 1% son profesionales. Asuma que la matriz de
transición permanece constante. Muestre que las fracciones de los nietos de los trabajadores no calificados
que son profesionales, calificados y no calificados son (aproximadamente) 0.04, 0.15, y 0.81
respectivamente.
8. Con ayuda de un computador compruebe que si las relaciones dadas en el problema 7 se conservan por
más de 40 años, cada nueva generación estará discriminada (aproximadamente) así: profesionales
17.65%, trabajadores calificados 23.53% y trabajadores no calificados 58.82%.
Capítulo 1
Matrices cuadradas no singulares
27
27
5.- Matrices cuadradas no singulares.
5.1.- Matrices singulares y no singulares
En las matrices
Esta afirmación en general, no es válida
Para cada matriz A ? 0, existe una y sólo una matriz B ? 0,
tal que AB = BA = I (donde I es la matriz idéntica)
4
6
y
W
En los números
Existencia de inverso para cada
numero diferente de 0
Si a ? 0 existe siempre uno y sólo un
número b ? 0 tal que ab=ba=1
Ejemplo
Sea
2
A =
3
Si existiera una matriz
x
B =
z
tal que:
2
4
x
y
1
0
AB =
=
3
6
z
W
0
1
Se concluiría que:
2x + 4z =1
3x + 6z =0
2y + 4W = 0
3y + 6W = 1
Proposiciones que son contradictorias ya que si
2x + 4z = 1, entonces 1.5(2x + 4z) = 1.5 x 1 = 1.5. De donde se concluiría
3x + 6z = 1.5 ? 0,
en contradicción con
3x + 6z = 0.
En el caso de que para una matriz cuadrada A de orden n, exista una matriz cuadrada B, del mismo orden,
tal que:
AB = BA = I n,
se dice que B es la matriz inversa de A (la cual es única, para cada A).
A tal matriz B (cuando existe), se le denomina, la matriz inversa de A o A -1.
Aplicaciones de la no singularidad
28 Capítulo 1
28
5.2.- Verificación de la existencia de la matriz inversa
La matriz
A =
1
1
1
1
2
2
1
3
4
es no singular, ya que la matriz
2 -2 1
B =
-1 3 -2
0 -1 1
, es tal que
AB = I
5.3.- Aplicaciones de la no singularidad
Por definición, la matriz inversa de A, es la única matriz, denotada como A -1, tal que
A A -1= A -1A = I
Si A posee matriz inversa, se dice que A es una matriz no singular.
Las matrices cuadradas que no poseen inversa se llaman matrices singulares.
Nunca digas nunca jamás 3 …….
Se puede hacer un simposio entre profesores de matemáticas y presentar la siguientes preguntas:
• Cuando usted va a resolver un problema, sabe de antemano si la matriz es regular o no?
• Que es mejor para usted, que la matriz sea regular o nó ?
• Si usted está resolviendo un problema físico o económico o quizás de otro tipo, y la investigación la
financia alguien más, prefiere que la matriz sea no singular?. Y el que le financia qué quisiera?.
• Considera usted que el cálculo de la matriz inversa siempre no es importante?
Propongo una semana de simposio y repartir árnica y yantén entre los asistentes para curar las heridas y
aliviar problemas sicológicos y frustraciones.
Es de anotar que el hecho de que una matriz sea regular o nó tiene una importancia teórico práctica. Por lo
tanto:
• Trataremos de señalar en cada tema que lo amerite, su importancia (si la tiene) en la determinación de la
regularidad o nó de las matrices.
• Enseñaremos métodos o alternativas para resolver problemas cuando teoricamente parezca que los
mismos pueden ser utilizados para calcular,acelerar, o evitar el cálculo de la matriz inversa4.
La matriz
A
=
1
3
4
2
0
0
1
1
0
es no singular.
3
Lo que se señala en el siguiente cuadro es responsabilidad única de José Arturo Barreto Gutiérrez. No se dá el teléfono
ni la dirección para evitar discusiones entre respetables profesores.
Y el cuervo dijo: “nunca jamas”. Edgar Allan Poe. El cuervo.
4
Atención dogmáticos: no digan nunca jamas….
Aplicaciones de la no singularidad
29
Capítulo 1
La matriz
B
=
1
3
1
2
2
-2
1
1
-1
es singular.
La matriz
A =
1
1
1
1
2
2
1
3
4
posee inversa, ya que la matriz
2 -2 1
B =
-1 3 -2
0 -1 1
AB = I
, es tal que
(Compruébelo, efectuando la multiplicación)
Si
A =
Note que los elementos a 11 y a 22de la diagonal principal se han intercambiado de lugar y los elementos a21
y a12 de la diagonal secundaria han cambiado de signo.
Ejemplo:
Si
A =
entonces ? = a11 a22– a21a12= 3 x 6 – 4 x 5 = 18 – 20 = – 2
Por lo tanto A –1 = ( – ½ )
Es fácil verificar en este caso que
A . A –1 = I
Puede probarse además que la condición ? ? 0, no es sólo suficiente, para la invertibilidad, sino también
necesaria, es decir que si la matriz A, de orden 2 , es invertible entonces (necesariamente), su determinante
? es diferente de 0.
La posibilidad de la existencia de matrices no singulares es de gran importancia en Álgebra lineal, como lo
ilustraremos a continuación.
Ecuaciones tales como 2x = 4 , 3x – 1 = 7, etc. se resuelven despejando la x, así:
Si 2 x = 4 , entonces x = (1/2) 4 = 2
Si 3x – 1 = 7, entonces x = (7 + 1) / 3 = 8/3
29
a11
a21
a12
a22
es una matriz cuadrada de orden 2,
definiendo ? = a11 a22– a21a12,como el determinante de A, tenemos que si ? ? 0, entonces A es no singular,
es decir invertible y
a22 -a12
A –1 = (1 / ? )
– a21
a11
3
4
5
6
6
-4
–5
3
Aplicaciones de la no singularidad
30 Capítulo 1
30
Hemos utilizado las leyes familiares que señalan que el término que multiplica se pasa a dividir, el que divide a
multiplicar, el que suma a restar y el que resta a sumar.
Aún en los números hay que tener sumo cuidado ya que la ecuación
0x=4
No tiene solución y el 0 no se puede pasar a dividir.
En contraste, la ecuación
0 x = 0, tiene infinitas soluciones.
La razón de tal “despropósito” radica en que en el caso de 2 x = 1, el número 2 tiene inverso multiplicativo
(1/2) ( recuerde 2 x (1/2) = 1, por lo cual ½ es el inverso multiplicativo de 2).
Por lo tanto, utilizando la ley ax = b ? x = a– 1b = ½ b = (1/2)1 = 1/2
Y en el caso de 3x – 1 = 7, entonces 3 x = 8, luego x = 3– 18 = (1/3) 8
En los números se concluye que si ax = b y a– 1existe (es decir si a? 0), entonces existe una única solución
x = a– 1b. Y si a– 1no existe (caso a=0), entonces ax = b, tiene solución sólo en el caso en que b = 0 (
desafortunadamente 0 x = 0 tiene infinitas soluciones).
Existen también ecuaciones matriciales tales como
AX = B y AX + B = C ,
en donde la matrix X es la “incógnita” que se pretenderá calcular.
Veremos mas adelante que si A es una matriz cuadrada no singular (invertible), podremos proceder a
“despejar” la X cualquiera sea el orden de A ( A podría ser de orden 10, 100 o más):
En el caso
AX = B, premultiplicamos por A– 1a ambos lados, obteniendo la solución así:
AX = B ? A– 1AX = A– 1B ? I X = A– 1B ? X = A– 1B
(Hay que tener cuidado ya que la premultiplicación es una multiplicación por “la izquierda” que es muy
diferente a la multiplicación por la derecha, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa y aun
cuando ambas operaciones tengan sentido, por lo general son diferentes A– 1B y BA– 1)
En el caso AX + B = C, se procederá así, para “despejar” la X.
Si
AX + B = C ( y A es no singular ) ? A– 1( AX + B ) = A– 1C
?
A– 1AX + A– 1B = A– 1C
?
IX = A– 1C – A– 1B
?
X = A– 1C – A– 1B y hemos despejado la X.
En el caso de que en cualquiera de los dos ejemplos matriciales anteriores la matriz A fuese singular, no
posee inversa, tal como sucedió en el caso de los números cuando a = 0 ( para ax = b o ax + b = c), el
sistema o no tendrá solución o tendrá infinitas soluciones como lo veremos en el capítulo correspondiente a la
solución de sistemas de ecuaciones ( capítulo 3).
Ejemplo:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando si es posible el concepto de matriz inversa, como
se explicó en los párrafos anteriores.
a)
b)
3x + y = 2
2x – 5y = 1
3x + y = 2
6x + 2y = 3
Capítulo 1
Aplicaciones de la no singularidad
31
Solución de a)
El sistema de ecuaciones lineales (las variables x e y, están elevadas a la primera potencia y no hay términos
mixtos en xy, xz, xyz, etc.), se puede escribir matricialmente como:
=
Lo hemos llevado a la forma
AX = B, en donde
A =
B =
Como el determinante de la matriz A, ? = 3(-5) – 2(1) = -17, concluimos que A es no singular y que
A– 1=
(-1/17)
X = A– 1B = (-1/17)
=
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones original, los valores x = 11/17, y = 1/17,
concluímos que la solución es correcta.
Solución de b):
Escribiendo el sistema de ecuaciones en la forma
AX = B
En donde
A =
11/17
1/17
3
2
1
-5
3
2
1
-5
x
y
2
1
2
1
-5
-1
-2
3
-5
, por lo tanto
-1
-2
3
3
1
6
2
2
1 =
Vemos que el determinante de A, ? = 3(2) – 6(1) = 0, por lo tanto la matriz A es singular y nuestros métodos
utilizando la matriz inversa no se pueden aplicar.
Concluimos que: o el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
Reestudiando el sistema de ecuaciones
3x + y = 2
6x + 2y = 3
trataremos de eliminar la incógnita x, restando a la segunada ecuación el doble de la primera, llegando a:
3x + y = 2
0x + 0y = -1
La incompatibilidad de la segunda ecuación así obtenida nos indica que el sistema no tiene solución.
Definición:
Si n es un número entero positivo y A -1 existe, definimos:
31
32 Capítulo 1
32
Aplicaciones de la no singularidad
A -n = (A -1) n
Definiendo, como es natural:
A 0 =I ,
tambien se cumplen las reglas de los exponentes:
A rA s = A r + s, para r,s, números enteros, no necesariamente positivos.
Las reglas anteriores se parecen a las reglas de las operaciones con números reales.
El estudiar y caracterizar las condiciones de no singularidad para matrices y sus consecuencias, cuando el
caso lo amerite, es equivalente a estudiar las condiciones de singularidad pues es el caso complementario.
Nos adentraremos en el campo de las matrices no singulares y las consecuencias de la no singularidad, aquí y
en diferentes partes de este libro.
Si A es no singular, las siguiente leyes cancelativas son válidas:
• Si AB = AC entonces B = C
• Si BA = CA entonces B = C
Argumento:
AB = AC ? A-1(AB) = A-1(AC) ? (A-1A)B = (A-1A)C ? IB = IC ?B = C
Argumento similar para el otro caso.
Proposición: Si A y B son matrices no singulares del mismo orden, entonces (AB)-1= B-1A-1.
Demostración:
(B-1A-1)AB =
AB(B-1A-1) =
B-1(A-1A)B = (B-1I B) = B-1B = I
AB B-1A-1 = A I A-1 = A A-1= I
De donde se concluye que:
(AB) -1= B-1A-1
Como no siempre la multiplicación de matrices es conmutativa, no es cierto en general que:
(AB) -1= A-1B-1
PROPOSICION:
Si A es una matriz cuadrada no singular, entonces A Tes no singular y
( A T ) -1= (A-1) T
DEMOSTRACION:
( A T ).(A-1) T = ( (A-1) ( A ) ) T = I T = I . (recuerde que (AB) T = B TAT)
Observación: Exigimos que A y A-1conmuten. Se puede probar (y no lo probaremos aquí) que si
AB = I y A es una matriz cuadrada, entonces BA = I y que si AB = I entonces BA = I. O lo que es
lo mismo, si A es una matriz cuadrada, toda matriz cuadrada inversa a derecha es a su vez inversa
a izquierda y viceversa. Por ello en la práctica para verificar si dos matrices cuadradas A y B son
inversas una de la otra, basta con verificar que AB = I o que BA = I.
Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
33
Ejercicios resueltos
1. Si se tiene que A + C = A + D, se puede concluir, sumando -A a ambos lados de la desigualdad que C =
D. (propiedad CANCELATIVA de la suma de matrices).
No es en general cierto que si A, C, D, son matrices y AC = AD, se concluye que C = D, ya que de la
igualdad:
1 1
1
2
1 1
-2 -1
=
2 2
3 4
2 2
6
7
(verifíquelo),
Se concluiría que
1 2
-2 -1
=
, lo cual es falso.
3 4
6
7
2. Demuestre que si la matriz A es no singular y AC = AD, entonces C = D.
Solución:
Si AC = AD, como A es no singular, entonces A-1 existe, por lo tanto
A-1(AC) = A-1(AD). Luego
(A-1A) C = (A-1A)D. Por lo tanto
IC = ID, o lo que es lo mismo:
C = D.
3. No es en general cierto que si Ay B son matrices y AB = 0, entonces A = 0 o B = 0.
Hallaremos dos matrices A y B, ambas diferentes de 0, tales que AB = 0.
Sean
2 4
-2
-2
A =
y
B =
1 2
1
1
Sin embargo: Si A es una matriz no singular, y AB = 0, entonces se concluye que B=0.
Veamos: Si A es no singular, entonces A-1existe. Como AB = 0, concluimos que
A-1(AB) = A-10 = 0.
Luego (A-1A)B = 0. Por lo tanto: IB = B = 0.
4. Hallar una matriz no singular de orden 4 tal que:
33
34
34 Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
A2+ A = 0.
Solución: A-1(A2+ A) = 0. Por lo tanto: A + I = 0. Por consiguiente A = -I.
Como a es de orden 4, concluimos que :
-1 0 0 0
A =
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
5. Verifiquemos que en el problema anterior, -I sea una matriz no singular.
Solución: Lo es ya que ( -I ) ( -I ) = I . O sea que ( -I ) -1 = – I.
6.
Demuestre que si A es una matriz no singular, entonces AT es una matriz no singular y que
AT(A-1) T = (A-1A)T = IT = I.
además (AT) -1 = ( A-1) T. Prueba:
7. La matriz
A =
1
1
1
1
2
2
1
3
4
es no singular, ya que la matriz
2 -2 1
B =
-1 3 -2
, es tal que
0 -1 1
AB = I
Ejercicios Propuestos
Ejercicios 1 a 5. Determine si las siguientes matrices son regulares (inversibles o no singulares). Si lo son,
calcule su inversa por el método que desee. Verifique en cada caso, si A – 1existe, que A . A – 1= I.
1)
A =
2) A =
3) A =
1
0
0
2
2
1
-1
0
-2
3
1
1
3
2
-1
2
Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
35
4)
A =
5) A =
Ejercicios 6 a 12. Resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales AX = B así:
a) Si la matriz A de los coeficientes del sistema es no singular, despeje la X, utilizando la fórmula
X= A – 1B.
b) Si la matriz A de los coeficientes del sistema es singular, determine por cualquier otro método si el
sistema no tiene solución o si tiene infinitas soluciones.
c) Si el sistema tiene infinitas soluciones, dé una fórmula general para el conjunto de las soluciones y
calcule 3 soluciones particulares.
6)
7)
8)
10)
11)
12)
Aclaración: Si en uno de los problemas, al eliminar, digamos la x, en la segunda ecuación, llega a una
forma, como sería el caso de ejemplo siguiente:
2x + 3y = 2
0x + 0y = 0,
El sistema tendría infinitas soluciones, para las cuales, despejando la x en la primera ecuación
(*) x = -(3/2) y + 1,
la cual sería la solución general.
Cada solución particular se puede hallar dando valores a la y, calculando el correspondiente valor de x, a partir
de (*), así:
1.
2.
3.
4.
y=0
y=1
y = -2/3
y = 2/3
?
?
?
?
x = 1.
x = -1/2
x=2
x=0
Solución particular:
Solución particular:
Solución particular:
Solución particular:
x = 1,
x = -1/2,
x = 2,
x = 0,
y=0
y=1
y = -2/3
y = 2/3
y hemos hallado 4 soluciones particulares a partir de la solución general (*).
2
0
0
1
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
9) 7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
7x – 4y = 2
– 2x + 3y = 1/4
36 Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
13. Demuestre que si la matriz A es no singular, se cumple la siguiente ley cancelativa a derecha. Es decir que
si
CA = DA, entonces C = D
14. Demuestre que si la matriz A es no singular y A2- AB = 0, entonces A = B.
15. a) Demuestre que una matriz cuadrada
=
es no singular, sí y sólo si
A
A-1
a11
a12
a21
a22
? = a11 a22- a21a12 ? 0
y que en ese caso:
a22 -a12
= (1/?)
-a21
a11
A ? se le denomina, el determinante de A.
b) Señale si las siguientes matrices son no singulares. Halle la matriz inversa de cada una de las matrices
no singulares.
i)
1
1
ii)
-1 3
iii)
2
1
iv)
1 -3
1
2
2 -6
-1
1
2 2
Miscelánea de ejercicios
1) Demuestre que si
a)
( A+B)2 = A2+ 2AB + B2,
entonces A y B conmutan.
b) Halle dos matrices A y B de orden 2 tales que
( A+B)2 ? A2+ 2AB + B2
2) a) Demuestre que si A y B son dos matrices tales que (AB) -1=A -1 B -1, entonces A y B conmutan. Es decir
que AB = BA.
b) Halle dos matrices no singulares de orden 2, tales que
(AB) -1 ? A -1 B -1
36
37
Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
3) a) Demuestre que si (AB)T = A T B T , entonces A y B conmutan.
b) Halle dos matrices A y B de orden 4 tales que (AB)T ? A T B T
4) Demuestre que si
a11 0 0
A =
0 a22 0
0 0 a33
entonces, A es no singular si y sólo si aii? 0 ( i = 1,2,3 ).
Demuestre además que si A es no singular, entonces
1/a11 0 0
A -1 =
0 1/a22 0
para no
0 0 1/a33
5) a) Demuestre utilizando las propiedades de las operaciones entre matrices que
B(B -1A + C) A -1 = I + BCA -1 .
b) Calcule B(B -1A + C) A -1, utilizando el lado derecho de la igualdad anterior,
calcular B -1.
6) Demuestre que A + 2 (A + 3B) = 3A + 6B.
7) Utilizando el hecho de que A n = AA … n veces…A, demuestre que:
i) A p+q = A pA q = A qA p
ii) ( A p ) q = A pq
8)
a) Demuestre que para toda matriz A, -A = (-1) A
(Ayuda: A + (-A) = 0. Demuestre que A + (-1) A = 0 )
b) Demuestre que para todo número real p y toda matriz A:
( -p ) A = – ( pA ).
9.
a) Demuestre que si las matrices A y B conmutan, entonces (AB)n=
37
38 Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
38
AnBn, para todo número entero positivo n.
b) Halle matrices A y B de orden 2 y 3, tales que (AB)2 ? A2B2.
10. Demuestre que si las matrices A, B, y A + B, son no singulares, entonces:
(A-1+ B-1) -1 = A ( A + B ) -1B = B ( A + B ) -1A
Asuma que las operaciones están definidas.
Miscelánea (continuación)
1. Construya una matriz A de orden 2, diferente de 0, con la propiedad
A2= 0.
2. De un argumento general por el cual no es posible hallar una matriz A,
no singular tal que A 2= 0.
Ayuda: Si A es no singular, entonces de A 2= 0, se concluiría que:
A -1 A 2= A -10 = 0.
3. a) Demuestre que si la matriz
a11 a12
A=
0 a22
tiene la propiedad A 2= I. (I es la matriz idéntica de orden 2), entonces:
a12= 0 y a11= (+/-) 1, a22= (+/-) 1; o a11= (+/-) 1 y a22= – a11
4. Construya 6 matrices A , diferentes de I o –I, con la propiedad A 2= I.
Será posible construir una matriz cuadrada C de orden 2, de la forma
c11 c12
C=
0 c22
con la propiedad C 2= – I ?.
5. Sea A una matriz A de dimensión mxn con la propiedad A A T= 0.
Concluya que necesariamente A = 0.
6. Sea
0 a12 a13 a14
39
Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
0 0 a23 a24
A =
0 0 a33 a34
0 0 0
0
1 3
4 -3
Demuestre que A 4= 0.
7. Dada la matriz
A=
Halle un vector columna
x1
x =
x2
diferente de 0, tal que Ax = 3x.
¿Cuál es la relación que deben satisfacer x1 y x2para que el vector x tenga la propiedad Ax = 3x ?
8. La ecuación x 2 = 1, tiene exactamente dos soluciones si x es un número real. Encuentre por lo
menos 3 matrices diferentes que satisfagan la ecuación matricial A 2= I (I es la matriz idéntica).
9. Dadas las matrices
1 1
0 0
0 2
3 1
A =
B=
C=
D=
1 0
1 1
0 -1
1 -1
Halle números reales x1 , x2 y x3,si existen, tales que
D = x1A + x1B + x1C
10.
Compute las potencias
2
3
4
0 1 0 -1
1 0 1 0
y
0 -1
1 0
11.Si
1
4
x =
2
e
y =
1
3
2
Compute
i)
xyT
ii)
xTy
12.Muestre que una matriz con una fila o columna de ceros no puede tener matriz inversa
39
40 Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
13.Muestre que las matrices
1 -1
-1 2
A =
y
B =
no conmutan.
2 1
4 -1
14.Halle la relación que debe existir entre los números a11,a12 , a21, a22para que la matriz
a11 a12
A=
a21 a22
conmute con la matriz
1
0
1
1
15.Si
-1 2 0
A=
0 0 1
-1 1 0
calcule A –1
16.Suponga que las matrices A y B de orden n son ortogonales, es decir tales que:
A –1= A T y
B –1= B T
Es AB una matriz ortogonal ?. O dicho de otro modo es (AB) –1= (AB) T?.
Justifique su respuesta.
17.Es (A + I) ( A – I ) = A 2 – I ?. Justifique su respuesta.
18. Dados los siguientes datos
2 1 1
-2
3/2 -1/2
A =
4 1 2
A –1
=
2
-1 0
B =
B –1 =
2 -1 2
2 1 1
4 1 2
2 -1 2
3
-2
2
3
-2 1
3/2 -1/2
-1 0
-2 1
Calcule: i) ( AB ) –1
ii) ( A T) –1
19. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces:
40
41
Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
( A + B ) T= A T + B T.
Ayuda: Los elementos de ( A + B ) Ten posición i, j, provienen de elementos en posición j, i de A+B,
por lo tanto son de la forma a j i+ b j iCompárelos con los elementos en posición i , j de A T + B T.
20. Una matriz A de orden n es simétrica si A = A T. Demuestre que si A y B son matrices simétricas
entonces A + B es una matriz simétrica.
Ayuda: (A + B ) T = A T+ B T = A + ….
21. Demuestre que si F es una matriz cuadrada entonces F + F T es una matriz simétrica, aún cuando F
no lo sea.
22. Verifique que aún cuando A y B sean matrices simétricas no necesariamente AB es una matriz
simétrica.
23. Una matriz A es nilpotente si A k= 0 para algún número entero positivo k.
i)
ii)
Demuestre que si A 3= 0, entonces (I – A) –1= I + A + A 2.
Demuestre que si A k = 0, entonces
( I – A ) –1 = I + A + A 2 + A 3 + … + A k-1.
24. Demuestre que ( I + C –1 ) -1 C –1 = ( I + C ) –1.
Sugerencia: Demuestre que ( I + C –1 ) -1 C –1 ( I + C ) = I.
25. Calcule la matriz A si:
3 4
-1
2
a) A –1=
b) ( 7B ) –1 =
5 6
4 -7
Sugerencia: ( 7 B ) –1 = (1/7) B –1 . Por qué ?
26. Asuma que A es una matriz cuadrada que satisface la ecuación
A 2 – 3A + I = 0. Demuestre que A –1 = 3I – A.. Sugerencia:
A ( 3I – A ) = I. Por qué ?
27. Demuestre que ( A + B ) 2 – ( A – B ) 2= 2 ( AB + BA).
28. Demuestre que si la matriz cuadrada P es tal que P 2= P, entonces la matriz J = I – 2P es tal que J 2
= I.
29. Demuestre que para toda matriz cuadrada A la matriz A TA es simétrica.
30. Suponga que la matriz A satisface la ecuación: A 2 – 2A + I = 0.
Pruebe que A 3= 3A -2 I y A 4= 4A – 3 I.
31. Demuestre que si las matrices A y B conmutan, entonces las matrices A Ty BTtambién conmutan.
41
42 Capítulo 1 Aplicaciones de la no singularidad
32. Pruebe que si c es un número real, diferente de 0 y A es una matriz no singular, entonces:
( cA ) –1 = (1/c) A –1.
33. Pruebe que: ( ABA –1) 2 = A B 2A –1
34. Justifique por qué si A es una matriz simétrica de orden m y B es una matriz (no necesariamente
simétrica) de orden mxn, entonces la matriz B TA B es una matriz simétrica.
podrá concluir que
35. Dada la ecuación X 2 + 2X = 0, en donde X es una matriz cuadrada. Se
necesariamente X = 0 o X = -2 I ?. Justifique su respuesta.
36. Encuentre la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
k 0 0
1 k 0
0 1 k
0 0 k 1
0 k 2 0
k 3 0 0
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |