Apuntes de estadísitica (página 2)

Partes: 1, 2

re los estad´isticos de orden.

4
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.
Teorema 1.1.1 Consideramos una muestra aleatoria (X1,….,Xn), de X continua con una funci´on
de densidad f y una funci´on de distribuci´on F, entonces:
fX(j) =
n!
(j – 1)!(n – j)!
[F(x)]j-1 f (x)[1 – F (x)]n-j .
(1.10)
Interpretamos esta f´ormula de la siguiente manera;

[F(x)]j-1 f (x)[1 – F (x)]n-j : probabilidad de cada posibilidad
n!
(j – 1)!(n – j)!
: n´umero de posibilidades.
y la podemos emplear de la siguiente forma.

Teorema 1.1.2 Sea (X1,….,Xn), de X continua con una funci´on de densidad f y una funci´on
de distribuci´on F, entonces:
f(X(i),X(j)) (u,v) =
n!
(i – 1)!(j – 1 – i)!(n – j)!
[F(u)]i-1 f (u)[F(v) – F (u)]j-1-i f (v)[1 – F (v)]n-j .
(1.11)
Teorema 1.1.3 Sea (X1,….,Xn), de X continua con una funci´on de densidad f y una funci´on
de distribuci´on F, entonces:
f(X(1),…..,X(n)) = n!
n
i=1
f (xi).
(1.12)
1.2.
Inferencia param´etrica.
2
2
?n =
Sea (X1,….,Xn) una m.a. de X ~ f?(X). Empezaremos repasando algunas de las propiedades
fundamentales sobre las principales distribuciones que se emplear´an m´as adelante y que se derivan
de la normal.

De?nici´on 1.2.1 ?n. Distribuci´on Chi-cuadrado con n-grados de libertad. Consideramos (X1,….,Xn)
v.a.i.i.d. que siguen una N(0,1). De?nimos

n
i
X2.
(1.13)
2
i=1

De?nici´on 1.2.2 t-Student, con n-grados de libertad, tn.

Considermos X ? N(0,1) e Y ? ?n de tal forma que (X,Y ) son independientes, de?nimos
tn =
X
Y
n
=
2
N(0,1)
?n/n
(1.14)

X ¯n ? N(µ, s n ),
1.3. ESTAD´ISTICOS SUFICIENTES.
5
2 2
El c´alculo de la funci´on de densidad es f´acil ya que al tratarse de v.a.i. entonces fXY = fXfY

De?nici´on 1.2.3 F Fisher-Snedecor. Fm,n con m y n grados de libertad. Sea X ? ?m, e Y ? ?n
v.a.i. entonces de?nimos
Y
X
Fm,n = m =
n
Xn
Ym
=
2
2
?m/m
?n/n
(1.15)
Teorema 1.2.1 Fisher. Sea (X1,….,Xn) una m.a. de X ~ N(µ,s2), entonces:
1.

2.
¯ 2
2

Xn y Sn son independientes,
3.
2
(n – 1)Sn
s2
=
(Xi – µ)2
s2
2
? ?n-1,
(1.16)
El segundo apartado del teorema es el resultado realmente importante.
1.3.
Estad´isticos su?cientes.
Empezaremos con una idea intuitiva. Como siempre consideramos (X1,….,Xn) una m.a. de X ~
f?(X). La muestra aleatoria (X1,….,Xn) quedar´a reducida a un determinado estad´istico T, que
pasaremos a denominar estad´istico su?ciente. ¿Cu´anta informaci´on perdemos al resumir la m.a. en
T?. Llegamos a la conclusi´on de que si T es su?ciente entoncesno hay p´erdida de informaci´on.

De?nici´on 1.3.1 Estad´istico su?ciente. Sea (X1,….,Xn) una m.a. de X ~ f?(X), Un estad´istico
T es su?ciente para ? si (X1,….,Xn
|
T = t) no depende de ?.
Esta de?nici´on no ayuda demasiado a encontrar un estad´istico adem´as el c´alculo de las distribu-
ciones condicionadas puede resultar algo pesado, por eso consideramos el siguiente teorema

Teorema 1.3.1 de Factorizaci´on. Consideramos (X1,….,Xn) una m.a. de X ~ f?(X), entonces
T ser´a estad´istico su?ciente para ? sii f? (x1,…,xn) puede factorizarse de la siguiente forma:
f? (x1,…,xn) = g (t,?) · h(x1,…,xn),
(1.17)
donde t = T (x1,…,xn).

6
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.
Ejemplo 1.3.1 Sea
f? =
(log?)?x
? – 1
I(0,1) (x),
? > 1,
entonces un estad´istico su?ente puede ser
n

i=1
f?(xi) =
n

i=1
(log?)?xi
? – 1
I(0,1) (xi)
=
(log?)
? – 1
n
?
xi
n

i=1
I(0,1) (xi)
por lo tanto
T =
xi
ser´a un estad´istico su?ciente en virtud del teorema de factorizaci´on.
Ejemplo 1.3.2 Si
f? =
2x
?2
I(0,?) (x),
? > 0,
entonces un estad´istico su?ente puede ser
T =
n
xi,X(n)
i=1
ya que en virtud del teorema de facotrizaci´on tenemos que:
n

i=1
f?(xi) =
n

i=1
2x
?2
I(0,?) (xi)
=
2
?2
n n

i=1
(xi)
n

i=1
I(0,?) (xi) =
=
2
?2
n n

i=1
(xi)I(X(n),8) (?),
por lo tanto
T = X(n)
ser´a un estad´istico su?ciente y T =
n
i=1
xi,X(n)
tambi´en.
1.4.
Ejercicios.
Ejercicio 1.4.1
Sea (X1,….,Xn) una muestra sin reemplazamiento de una poblaci´on ?nita
{x1,….,xN},
Probar que X1 y X2 no son independientes, pero tienen la misma distribuci´on.
(b) Sea (X1,….,X10) una muestra sin reemplazamiento de la poblaci´on ?nita:
{1,2,……,1000}
Calcular la probabilidad de que todas las observaciones sean mayores que 200, primero de
manera exacta y despu´es de manera aproximada admitiendo independencia.

p = P Exito =
1.4. EJERCICIOS.
7
Soluci´on. Con respecto al primer apartado, vemos que las (Xi)ni =1 son v.a.i.d. pero no indepen-
dientes. Lo usual es trabajar con v.a.i.i.d. Por lo tanto vemos que
P (X1 = x) =
1
N
,
P (X2 = x)
=
prob.total
P (X1 = y)P (X2 = x | X1 = y)
y por lo tanto

P (X2 = x) = P (X1 = x)P (X2 = x | X1 = x) +
y=x
P (X1 = y)P (X2 = x | X1 = y) =
=
1
N
· 0+
1
N
·
1
N – 1
= (N – 1)
1
N
·
1
N – 1
=
1
N
de esta forma vemos que siguen igual distribuci´on.

Para ver la independencia i.e.

¿P (X1 = x,X2 = y) = P (X1 = x) · P (X2 = y)?

as´i que
P (X1 = x,X2 = x) = 0,
sin embargo
P (X1 = x) · P2 (X2 = x) =
1
N
·
1
N
por lo que no son independientes. ¿Es grave esta p´erdida?,¿es importante?.

Sea (X1,….,X10) una muestra sin reemplazamiento de la poblaci´on ?nita:

{1,2,……,1000}

queremos calcular
P (todas las observaciones sean > 200)
para ello de?nimos la v.a.

Y := n´umero de observaciones mayores que 200 entre las 10.

C´alculo exacto: al no ser independientes los sucesos entonces las n-Bernoullis no forman una
Binomial sino una hipergeom´etrica
P (Y = 10) =
800
10
200
0
1000
? 0,10616,
10

mientras que el c´alculo aproximado lo haremos considerando que los sucesos son independientes y
por lo tanto siguen un Binomial Bin(n,p), donde la probabilidad de ´exito vendr´a dada por
´
800
1000
= 0,8

8

de esta forma llegamos al siguiente resultado:

P (Y = 10) = Bin(10,0,8) =
10
10
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.

(0,8)n (0,2)0 = (0,8)n ? 0,107,
¯
por lo que la moraleja del ejercio es que no hay mucha p´erdida de informaci´on al considerar la
independencia.

Ejercicio 1.4.2 Supongamos que (X1,….,Xn+1) es una muestra aleatoria de una poblaci´on X con
E[X] = µ, y V (X) = s2, sea
n
Xn = Xi.
n
i=1
Hallar la esperanza y la varianza del estad´istico
T =
n
n +1
¯
Xn+1 – Xn .
Soluci´on. Vemos que
E [T] = E
n
n +1
¯
Xn+1 – Xn
=0
=
n
n +1
E
¯
Xn+1 – Xn
=
n
n +1
¯
E (Xn+1) – E Xn
= 0,
¯
ya que E (Xn+1) = E Xn = µ, mientras que
var[T] = var
n
n +1
¯
Xn+1 – Xn
=
n
n +1
¯
var Xn+1 – Xn
=
n
n +1
¯
var(Xn+1) + var Xn
¯
– 2cov Xn+1,Xn
¯
¯
ya que no s´e de antemano si se tratade dos v.a. independientes, pero vemos que
(X1,….,Xn+1) -? Xn,
Xn+1 -? Xn+1,
son independientes por lo cov Xn+1,Xn = 0, quedando la anterior expresi´on reducida a:
var[T] =
n
n +1
¯
var(Xn+1) + var Xn
,
ahora es f´acil comprobar que
var(Xn+1) = s2,
¯
var Xn
=
s2
n
quedando por lo tanto
var[T] =
n
n +1
s2 +
s2
n
= s2,
tal y como quer´iamos hacer ver.

i=1 Xi
X1 2 ~ Gamma a = ;p =
fY =X1 2 = v
v + v
v = v
|J| = v
exp(-ax)xp-1,
f?(a,p) =
llegamos a la igualdad deseada puesto que a = 2 1,p =
, G(p) =
v 1 .
Xi 2 ~ Gamma a = ,p =
~ Gamma a = ,p =
9
1.4. EJERCICIOS.

Ejercicio 1.4.3 Sea (X1,….,Xn) una muestra aleatoria de una N(0,1). Probar:
1.
2 1
X1 ~ Gamma a = 2;p =
1
2
, esta distribuci´on es la ?21.
2.
n 2
1
~ Gamma a = 2;p =
n
2
2
, que es la ?n.
Soluci´on. Con respecto al primer apartado vemos que:
1
2
1
2
2
donde
1 x2
2p 2
v
de?nimos la nueva v.a. Y = X1, viendose as´i que X1 = ± Y . Teniendo en cuenta el jacobiano de
esta transformaci´on la funci´on de distribuci´on de la nueva v.a. ser´a:
1
2p
exp –
y 1 1
2 2 y 2p
exp –
y 1
2 2 y
1
2py
exp –
y
2
donde
1
2 y
por lo que
1
fY = v
2p
exp –
y
2
y-1/2,
y si tenemos en cuenta que
ap
G(p)
1
2
v
p, y ap =
2
Con respecto al segundo apartado vemos que
n

i=1
1
2
n
2
operamos de forma parecida. Teniendo en cuenta las funciones caracter´isticas etc… vemos que al
ser independientes
n
i
?X2
i
X2 =
i=1
(enti´endase la expresi´on) de esta forma vemos que
?
n
i=1
X2
i
=
i
?X2 =
1 –
it
a
-p
=
1 –
it
1/2
– n
2
1
2
n
2
donde la funci´on caracter´istica de la funci´on Gamma es:
??(a,p) =
1 –
it
a
-p
tal y como quer´iamos hacer ver.

(p + q) (p + q + 1)
(p + q) (p + q + 1)
10
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.
Ejercicio 1.4.4 Sea (X1,….,Xn) una muestra aleatoria de una poblaci´on U(0,1). Hallar la esper-
anza y la varianza de X(j).

Soluci´on. En primer lugar recordemos que
fX(j) =
n!
(j – 1)!(n – j)!
[F(x)]j-1 f (x)[1 – F (x)]n-j .
y que las propiedades de la funci´on Beta son: funci´on de densidad.
1
B (p,q)
xp-1 (1 – x)q-1 I(0,1)(x),
fX(t) =

y su esperanza y varianza son:
E(X) =
p
p + q
,
var(X) =
pq
2
De esta forma vemos que necesitamos conocer la F(x) y la f (x) de la distribuci´on uniforme siendo
´estas:
f = 1,
F =
x
-8
1dx = x,
?x ? (0,1),
por lo que
fX(j)
=

=
n!
(j – 1)!(n – j)!
n!
(j – 1)!(n – j)!
[F(x)]j-1 f (x)[1 – F (x)]n-j =

[x]j-1 1[1 – x]n-j ~ Beta(p,q)
obteni´endose de forma inmediata la analog´ia con la funci´on beta
1
B (p,q)
=
n!
(j – 1)!(n – j)!
=
G (p + q)
G(p)G(q)
con j = p, q = n – j + 1. De esta forma
E X(j)
=
xfX(j) =
p
p + q
=
j
n +1
,
var X(j)
=
pq
2
=
j (n – j + 1)
(n + 1)2 (n + 2)
,
¯
etc…. falta desarrollar todos estos c´alculos pesad´isimos.

Ejercicio 1.4.5 Si X es la media de una muestra aleatoria (X1,….,Xn) de una N(µ,s2 = 100),
hallar n para que
¯

v
v
v
X ¯ – µ
v ? N (0,1),
11
1.4. EJERCICIOS.

Soluci´on. Vemos que
¯
X ? N
µ,
100
n
= N
10
µ, v
n
,
por lo que
¯
P µ – 5 < X < µ + 5 = P
µ – 5 – µ
10
n
<
¯
X – µ
10
n
<
µ +5 – µ
10
n
,
donde
Z =
¯
X – µ
s
=
10/ n
as´i que la anterior expresi´on se reduce a:
P
–
v
5 n
10
<
v
5 n
10
,
y por simetr´ia se obtiene
P
Z>
v
n
2
=
1 – 0,0954
2
= 0,0230,
por lo que
v
n
2
~
2…
mirar tablas
=?
n ? 16,
¯
¯
¯ ¯
´
˜
tal y como quer´iamos calcular.

Ejercicio 1.4.6 Sean (X1,….,X25) e (Y1,….,Y25) dos muestras aleatorias de dos distribuciones
¯

Soluci´on. Vemos que

(X1,….,X25) -? X ~ N(µ = 0,s2 = 16),
(Y1,….,Y25) -? Y ~ N(µ = 1,s2 = 9),

¯

¯ ¯

donde la nueva v.a. X – Y ~ N(µ = -1,s2 = 1) y la normalizamos a Z ? N (0,1), obteniendo
el resultado requerido. Ver las propiedades de la distribuci´on normal en el ultimo cap´itulo.

ESTAD´ISTICOS SUFICIENTES

Ejercicio 1.4.7 Encontrar un estad´istico su?ciente en cada uno de los siguientes casos basado en
una muestra aleatoria de tamano n de:

v
n
2
=
1 – 0,0954
2
= 0,0230,
por lo que
v
n
2
~
2…
mirar tablas
=?
n ? 16,
¯
¯
¯ ¯
´
˜
tal y como quer´iamos calcular.

Ejercicio 1.4.6 Sean (X1,….,X25) e (Y1,….,Y25) dos muestras aleatorias de dos distribuciones
¯

Soluci´on. Vemos que

(X1,….,X25) -? X ~ N(µ = 0,s2 = 16),
(Y1,….,Y25) -? Y ~ N(µ = 1,s2 = 9),

¯

¯ ¯

donde la nueva v.a. X – Y ~ N(µ = -1,s2 = 1) y la normalizamos a Z ? N (0,1), obteniendo
el resultado requerido. Ver las propiedades de la distribuci´on normal en el ultimo cap´itulo.

ESTAD´ISTICOS SUFICIENTES

Ejercicio 1.4.7 Encontrar un estad´istico su?ciente en cada uno de los siguientes casos basado en
una muestra aleatoria de tamano n de:

12
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.
1.

2.
X ~ Beta(a,ß).

X ~ Gamma(p,a).
f? (x) =
e-x+? x ? (?,8),
0 resto,
3.

4.
fµ,s =
1
v
xs 2p
exp
1
2s2
log(x – µ)2 ,
con x > 0.

Soluci´on. En todos los casos se trata de una aplicaci´on sistem´atica del teorema de factorizaci´on.

1. X ~ Beta(a,ß)

? = (a,ß)
f? =
1
B(a,ß)
xa-1 (1 – x)ß-1 ,
por lo que
f? (x1,….,xn) =
f? (xi) =
1
B(a,ß)
n
i
xa-1 (1 – xi)ß-1 ,
de esta forma

f? (x1,….,xn) = K
xa-1
i
(1 – xi)ß-1 = g(t,?)h(x1,….,xn)
donde elejimos h(x1,….,xn) = 1. De?nimos por lo tanto el estad´istico
T =
i
xa-1,
(1 – xi)ß-1
´
es el estad´istico su?ciente buscado para (a,ß). No obstante debemos resaltar que no se trata
del unico estad´istico su?ciente, la muestra en s´i misma es un estad´istico su?ciente o
T =
logxi,
log(1 – xi)
tambi´en es su?ciciente ya que
log
xi = e
xi
= e
logxi
,
luego reescribiendo adecuadamente todas estas transformaciones biyectivas obtenemos lo mis-
mo, la moraleja est´a en que dado cualquier estad´istico su?ciente (e.s.), entonces cualquier
transformaci´on biyectiva nos da otro e.s..

1.4. EJERCICIOS.
13
2. X ~ Gamma(p,a), donde
f?(a,p) =
ap
G(p)
exp(-ax)xp-1
siguiendo el anterior esquema vemos que
f? (x1,….,xn) =
f? (xi) =
ap
G(p)
n
exp(-axi)
xp-1
i
de esta forma llegamos a la conclusi´on de que

T =
xi,
xi
es un estad´istico su?ciente para ? = (p,a).

Observaci´on 1.4.1 En realidad se han omitido los detalles m´as sangrientos, ya que hasta
que se llega al estad´istico T, la verdad, hay que hacer unas cuantas cuentas:
exp(-axi) = exp -na
xi ,
i
xp-1 =
….
manipular
. ˜ f (n,p)
xi
3. X ~ e-x+?, con x > ?. Intentamos la misma argumentaci´on i.e.
xi
f? (xi) = e-x1+?……e-xn+? = en?e-

f? (x1,….,xn) = g(t,?)h(xi)
f? (x1,….,xn) =

llegando a la conclusi´on de que

por lo que podr´iamos tomar
g(t,?) = en?,
h(xi) = e-
xi
de esta forma
T = n?
ser´a el estad´istico su?ciente. NO. Hemos operado mal intencionadamente. Aqu´ihay que tener
muy en cuenta que x > ?, por lo que empezamos reescribiendo la f? como
f? = e-x+?I(?,8)(x)
y volvemos a rehacer el ejercicio con esta nueva consideraci´on
f? (x1,….,xn) =
f? (xi) =
e-xi+?I(?,8)(xi) = en?
I(?,8)(xi)e-
xi
donde
g(t,?) = en?I(?,8)(X(1)),
h(xi) = e-
xi
observar que
I(?,8)(xi) = I(?,8)(X(1)), donde X(1) = m´in(x1,….,xn) por lo que podemos
de?nir el e.s. T como
T = X(1) ,
sorprendente, ¿no?.

fU = ,
f? (x1,….,xn) = I(0,8)(xi)I(-8,?)(xi)
14
CAP´ITULO 1. MUESTREO ALEATORIO.
4.
En este caso
fµ,s =
1
v
xs 2p
exp
1
2s2
log(x – µ)2
i.e. el modelo log-normal. En este caso el estad´istico su?ente ser´a
T =
logxi,
i
logx2 .
Para llegar a esta conclusi´on podemos considerar (X1,….,Xn) m.a. de X una N(µ,s2), por
lo que
T =
xi,
x2
i
¯
(falta probarlo).
Ejercicio 1.4.8 Sea (X1,….,Xn) una muestra aleatoria de X ~ U(0,?), (? > 0). Estudiar la
su?ciencia de T = X(n)

Soluci´on. Vemos que
1
?
=?
1
?
aqu´i es donde est´a toda la miga del problema, por lo que
f? =
1
?
n
I(0,8)(xi)
I(-8,?)(xi)
y al igual que antes observamos que

I(0,8)(xi) = I(0,8)(X(1)),
I(-8,?)(xi) = I(-8,?)(X(n)),
de esta forma llegamos a la conclusi´on de que
f? (x1,….,xn) = g(t,?)h(xi)
por lo que podr´iamos tomar
g(t,?) =
1
?
n
I(-8,?)(X(n)),
h(xi) = I(0,8)(X(1))
obteniendo as´i T
T = X(n)
ser´a el estad´istico su?ciente. Lo principal del problema est´a en ver
1
?
lo cual no siempre es f´acil.

Cap´itulo 2

Estimaci´on puntual
2.1.
Introducci´on
Sea (Xi)ni =1 una muestra aleatoria (m.a.) donde X ~ f?(x), ? ? T, el par´ametro ? es lo que
queremos estimar. El objetivo es por lo tanto intentar decir algo sensato sobre ? a partir de los
datos que tenemos i.e. de la m.a. (Xi)ni =1 . Para ello podemos seguir t´acticas:
1.

2.

3.
Estimaci´on puntual (el objeto de este cap´itulo).

Los intervalos de con?anza.

Contraste de hip´otesis.
´
Los objetivos de la estimaci´on puntual son los siguientes: Estimar el par´ametro ? (´o t (?)) mediante
un unico valor (un punto) a apartir de la muestra (Xi)ni =1 .

De?nici´on 2.1.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T, un estimador puntual para ? es
simplemente un estad´istico T = T(x1,…,xn) cuyo objetivo es estimar lo mejor posible ? (´o t (?)).

Los m´etodos de construcci´on son los siguientes:
1.

2.

3.
M´etodo de los momentos,

M´etodo de m´axima verosimilitud,

M´etodos bayesianos.
Tal y como veremos el metodo de m´axima verosimilitud es el m´etodo por excelencia.

15

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
..
16
´
2.2.
M´etodo de los momentos
˜
De?nici´on 2.2.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T, un estimador puntual para ? por el
m´etodo de los momentos (MM) y denotado por ?, es el valor que se obtiene al resolver el siguiente
sistema de ecuaciones:
E? [X] =
1
n
Xi,
.
(2.1)
E? Xk
=
1
n
i
Xk,
Ejemplo 2.2.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T, donde X ~ Bernoulli(p), lo que
queremos estimar es p as´i que
Ep [X] =
1
n
Xi,
por lo tanto
˜
p =
1
n
xi.
Ver la secci´on de ejercicios para aclarar este m´etodo con ejemplos m´as complicados.
2.3.
M´etodo de m´axima verosimilitud
dan a (Xi)ni =1 = f?(xi)ni =1 =
De?nici´on 2.3.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T. De?nimos para cada muestra ?ja
(Xi)ni =1 la funci´on de verosimilitud L(?) = probabilidad o densidad que los diferentes valores de ?
n
i=1
f?(xi). Por lo tanto
L(?) =
n
f?(xi).
?
?
i=1

El estimador de m´axima verosimilitud ˆ es el valor del par´ametro ? que maximiza L(?).

Observaci´on 2.3.1 En la mayor´ia de los casos para la obtenci´on de ˆ se maximiza la funci´on
logL(?) en vez de L(?)

2.4. METODOS BAYESIANOS.
L(p) = Pp(x1,..,xn) =
xi – n –
´
17
Ejemplo 2.3.1 Se trata del mismo ejemplo que el del MM i.e. sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x),
? ? T, donde X ~ Bernoulli(p), i.e.
X ~ Bernoulli(p) = px (1 – p)1-x ,

lo que queremos estimar es p as´i que
indp.
n
Pp(xi) = p
xi
(1 – p)n-
xi
i=1

xi log(p) + n –
xi log(1 – p)
tomamos logaritmos

log(L(p)) =

y pasamos a calcular el m´aximo i.e.
?p log(L(p)) = 0
1
p
xi
1
1 – p
= 0
despejamos p, encontr´andose que
ˆ
p =
1
n
xi.
ˆ ˜
Vemos que en tos ejemplos hemos obtenido que p = p, pero esto no siempre pasa.
2.4.

2.4.1.
M´etodos bayesianos.

Introducci´on a los m´etodos bayesianos.
Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T. En primer lugar advertir que en este caso cambia la
notaci´on y se emplea
f?(x) = f (x | ?),
(2.2)
considerando a ? como una v.a.
1.
Disponemos de informaci´on muestral
f?(x1,…,xn) = f (x1,…,xn | ?) =
n
f(xi | ?).
(2.3)
2.

3.
i=1

Nuevo. Disponemos de informaci´on previa sobre el par´ametro ?, que modelizamos mediante
una densidad a priori (no proviene de la muestra) p (?).

Obtenemos la densidad conjunta
f (xi | ?)p (?).
(2.4)

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
?p (? | x1,…,xn)d? = .
18

4.
´

Obtenemos la densidad o funci´on de masa de ? condicionada por (Xi)ni =1 , densidad a poste-
riori,
p (? | x1,…,xn) =
f (x1, …, xn | ?)p (?)
? f (x1,…,xn | ?)d?
? f (xi | ?)p (?).
(2.5)
esta expresi´on no es m´as que la expresi´on de Bayes para el c´aculo de la probabilidad condi-
cionada.

Los m´etodos bayesianos obtienen todas sus conclusiones sobre ? a partir de p (? | xi) (densidad
condicionada) que recibe el nombre de densidad a posteriori.

El problema en la pr´actica est´a en la elecci´on de p (?). A menudo se utilizan familias conjungadas
de densidades a priori facilit´andose as´i los c´alculos.

De?nici´on 2.4.1 Familia conjungada. Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f (x | ?), ? ? T. Una
familia P = {p (?)} de densidades a priori es conjungada para muestras de X ~ f (x | ?) cuando
p (?) ? P, entonces
p (? | x1,…,xn) ? f (xi | ?)p (?) ? P.
(2.6)
La idea en la pr´actica es que cualquier t´ecnica estad´isitica basada en m´etodos bayesianos obten-
dr´a conclusiones a partir de p (? | xi).
2.4.2.
Estimadores puntuales bayesianos.
Un estimador puntual bayesiano ser´a una medida de centralizaci´on de la densidad a posteriori. Los
m´as habituales son:
1.
Media a posteriori
T
?p (? | x1,…,xn)d?,
(2.7)
2.
Mediana a posteriori
M

-8
1
2
(2.8)
Ejemplo 2.4.1 Estimaci´on de ? = p = P(E), probabilidad de ´exito. Disponemos de una m.a.
(Xi)ni =1 donde
X =
1 P(E) = ?
0 P(F) = 1 – ?
por lo que X ~ Bernoulli(?), tal que ? ? (0,1), as´i que sabemos que X ~ f (x | ?) = ?x (1 – ?)1-x .
Consideramos la siguiente densidad a priori

p (?) ~ Beta(p = a,q = b)

(1 – ?)b-1
(1 – ?)
19
f (x1,…,xn | ?) =
2.5. PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES.

por lo tanto la densidad a posteriori ser´a
n
i=1
f(xi | ?) = ?
xi
(1 – ?)n-
xi
p (?) =
?
a-1
B(a,b)
entonces
p (? | x1,…,xn) ? f (xi | ?)p (?)
?
?
xi
n-
xi
?a-1 (1 – ?)b-1
B(a,b)
? ?a+
xi-1
(1 – ?)n+b-
xi-1
~ Beta(p,q)
as´i llegamos a la conclusi´on de que
p = a +
xi,
q = n + b –
xi.
Entonces la media a posteriori ser´a
T
?p (? | x1,…,xn)d? =
1
0
?Beta(p,q)d?
pero para hecharse esta cuenta uno debe considerar las constantes que hemos ido despreciando. Lo
mejor en estos casos es ?jarse en los resultados ya conocidos, por lo que
E [Beta(p,q)] =
p
p + q
=
a + xi
a + b + n
.
Vemos que la densidad a priori era una Beta y que la densidad a posteriori ha salido otra Beta i.e.
hemos tomado una familia conjugada

P ={Beta(p,q), p,q > 0}

si p = q = 1 =? Beta(1,1) ~ U ([0,1]), la uniforme ser´ia el caso en el que no tenemos ni idea
sobre ?. Si P(E) = ? = 12 (o se aproxima mucho a este valor) entonces tomamos p,q tales que 1/2
sea el m´aximo para la funci´on Beta(p,q).
2.5.

2.5.1.
Propiedades deseables de los estimadores.

Error cuadr´atico medio. Estimadores insesgados.
De?nici´on 2.5.1 El error cuadr´atico medio de un estimador T para estimar t (?) es:
ECM = E? (T – t (?))2 =
f?(xi)(T – t (?))2 dxn.
(2.9)

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
T1 = X, es insesgado para estimar µ = t (?), ya que
20
´
Si desarrollamos el formul´on anterior entonces vemos que
ECM = E? (T – t (?))2 = var(T) + (E? [T] – t (?))2 ,

donde se de?ne el sesgo como
sesgo := E? [T] – t (?).
(2.10)

(2.11)
De?nici´on 2.5.2 Un estimaodor es insesgado o centrado para estimar una funci´on del par´ametro
si E? [T] = t (?), i.e. el sesgo, (E? [T] – t (?) = 0) es cero i.e.
(2.12)
ECM = E? (T – t (?))2 = var(T) + (E? [T] – t (?))2 = var(T).

Ejemplo 2.5.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ N µ,s2 , donde ? = µ,s2 , entonces:
¯
1.

2.
¯

E X = µ = t (?)

T2 = S2, es insesgado para estimar s2 = t (?), ya que
E S2 = s2 = t (?)
recordar que S2 =
1
n-1
¯
xi – X
2
3.
T3 = var(X), es sesgado para estimar s2 = t (?), ya que
E [var(X)] = s2 = t (?)

por lo tanto se tratar´ia de un estimador sesgado.

Teorema 2.5.1 Cota de Frechet-Cramer-Rao. Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T.
para cualquier estimador T insesgado para t (?) se veri?ca:
var(T) =
dt(?)
2
E?
d
d?
d?
logf? (x1,…,xn)
2
=
dt(?)
2
nE?
d
d?
d?
logf? (x)
2
.
(2.13)
Lema 2.5.1
E?
d
d?
logf? (x)
2
= -nE?
d2
d?2
logf? (x)
(2.14)
por lo tanto
var(T) =
dt(?)
2
-nE?
d?
d2
d?2
logf? (x)
(2.15)

2.5. PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES.
21
2.5.2.
Estimadores e?cientes.
De?nici´on 2.5.3 Un estimador T es e?ciente para estimar un par´ametro t (?) si:
1.

2.
Es insesgado,

Su varianza alcanza la cota de FCR
En consecuencia si es e?ciente tiene m´inima varianza. Al denominador de la cota de FCR (2.15)
recibe el nombre de informaci´on de Fisher.

De?nici´on 2.5.4 Informaci´on de Fisher.
IF = E?
d
d?
logf? (xi)
2
(2.16)
Obtenci´on de un estimador e?ciente.

Si T es e?ciente su varianza alcanza la cota de FCR por lo que
?2 T,
d
d?
logf? (xi)
= 1,
el coe?ciente de correlaci´on vale uno, de este modo “casi seguro”
y
y – ¯ =
cov(x, y)
var(x)
¯
(x – x)
obtenemos la recta de regresi´on que traducimos en este caso como
T – E? [T] =
cov(T, d? logf? (xi))
var(d? logf? (xi))
d
d?
logf? (xi) – E?
d
d?
logf? (xi)
d
d?
resultado:
t' (?)
T = t (?) + (2.17)
d2
d?2
i.e.
T = t +
t'
IF
(logf?)' ,
observ´andose que
E? [T] = t (?),
cov(T,
d
d?
logf? (xi)) =
dt (?)
d?
= t' (?),
var(
d
d?
logf? (xi)) = -nE?
d2
d?2
logf? (x) ,
as´i que si T es e?ciente entonces debe tener la pinta de (2.17). Si T no depende de ?, entonces
ser´a e?ciente.

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
Tn -? t (?).
FTn -? F(y) =
entonces Tn -? t (?) y por lo tanto se trata de un estimador consistente para t (?).
l´im ?Tn(t) = eitt(?)
entonces Tn -? t (?) y por lo tanto se trata de un estimador consistente para t (?).
22
´
2.5.3.
Estimadores consistentes.
Sea (Xi)ni =1 m.a. donde X ~ f?(x), ? ? T. Queremos estimar t (?), Buscamos estimadores que se
aproximen todo lo posible a lo que queremos estimar a medida que el n´umero de observaciones n
crece i.e. T (Xi) ? t (?) i.e. hay convergencia en distribuci´on (en Ley). Buscamos estimadores que
L
funcionen bien asint´oticamente.

De?nici´on 2.5.5 Decimos que un estimador Tn es consistente para estimar t (?) si el estimador
converge en probabilidad a t (?) i.e.
(2.18)
P

Veamos las distintas formas de abordar el estudio de la consistencia.
1.
Supongamos que la funci´on de distribuci´on FTn es sencilla de obtener. Estudiamos entonces
si
L
0 y < t (?)
1 y = t (?)
(2.19)
´
2.
P

Esta t´actica suele ser util cuando estamos trabajando con m´aximos y m´inimos

Supongamos que ?Tn(t) son f´aciles de obtener y estudiamos la convergencia
(2.20)
´
n?8

P

Esta t´actica suele ser util cuando estamos trabajando con sumas y medias muestrales.

Teorema 2.5.2 Sea Tn un estimador tal que
1.

2.
l´imn?8 var? (Tn) = 0,

l´imn?8 E? [Tn] = t (?),
entonces Tn es consistente para estimar t (?).

Teorema 2.5.3 Bajo ciertas condiciones de regularidad el estimador de m´axima verosimilitud es
consistente.

e-n?? i=1 xi
e-n?? i=1 xi
2.6. EJERCICIOS
23
2.6.
Ejercicios
˜
Ejercicio 2.6.1 Dada una m.a. de tamano n de una v.a. X calcular el estimador de m´axima
verosimilitud y el del los momentos en los siguentes casos:
1.

2.

3.

4.

5.
X ~ Poisson(?),
X ~ Exponencial(?),
X ~ N(µ,s2), s conocido,
X ~ N(µ,s2), µ conocido,
X ~ N(µ,s2).
Soluci´on. Siguiendo el mismo esquema que el propuesto en los ejemplos de teor´ia vemos que:

1. X ~ Poisson(?), Veremos los dos m´etodos

MM Sabemos que X ~ Poisson(?),=? E [X] = ?
E [X] = ? =
1
n
n

i=1
xi
por lo que
˜
? =
1
n
n

i=1
xi.
MMV Tomamos como funci´on de verosimilitud
P(xi) =
n

(x1!)…(xn!)
L(?) =

tomando logaritmos entonces:
log(L(?)) = log
n

(x1!)…(xn!)
=
= -n? +
n
i=1
xi
log? –
n
i=1
log((xi)!)
y por lo tanto
?? log(L(?)) = 0,
-n +
n

i=1
xi
1
?
= 0
despejando se llega con facilidad a:
ˆ
? =
1
n
n

i=1
xi
como era de esperar.

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
i=1 xi
log(L(?)) = log ? e
i=1 xi
´
24

2. X ~ Exponencial(?), por lo que
f(x) = ?e-?x,
MM Sabemos que X ~ exp(?),=? E [X] = ?-1
E [X] = ?-1 =
1
n
n

i=1
xi
por lo que
˜
? =
n
n
.
MMV Tomamos como funci´on de verosimilitud
L(?) =
f(xi) = ?ne-?
n
i=1
xi
tomando logaritmos entonces:
n -?
n
i=1
xi
= nlog? – ?
n
i=1
xi
y por lo tanto
?? log(L(?)) =
n
?
+
n

i=1
xi
=0
ˆ
n
n
.
despejando se llega con facilidad a:

? =

como era de esperar.

3. X ~ N(µ,s2), s conocido,

MM Sabemos que X ~ N(µ,s2),=? E [X] = µ
E [X] = µ =
1
n
n

i=1
xi,
=?
˜
µ =
1
n
n

i=1
xi
MMV Tomamos como funci´on de verosimilitud
L(µ) =
f(xi) =
sn
1
v
2p
n
exp –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
,
tomando logaritmos entonces:
log(L(µ)) = log
sn
1
v
2p
n
exp –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
=
= -nlogs – nlog
v
2p –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2

?µ log(L(µ)) = 2
s ˜ =
+ 3
2.6. EJERCICIOS
25
y por lo tanto
1
s
n

i=1
xi – nµ = 0
despejando se llega con facilidad a:
ˆ
µ =
1
n
n

i=1
xi.
como era de esperar.

4. X ~ N(µ,s2), µ conocido,

MM Sabemos que X ~ N(µ,s2) =? E [X] = µ
E [X] = µ =
1
n
n

i=1
xi
no sirve en este caso pues este dato es conocido, por lo que tendremos que recurrir al
momento de orden 2 i.e.
E X2 =
1
n
n

i=1
x2
i
de donde se obtiene que (recordar la de?nici´on de varianza, var(X) = E X2 -E [X]2)
s2 + µ2 =
1
n
n

i=1
x2
i
despejando
2
1
n
n

i=1
i
x2 – µ2
pero este resultado nos lleva a obtener un absurdo pues puede ser negativa esta magnitud
!¡ Por ejemplo tomando µ = 3,xi = (1,2,4).
MMV Tomamos como funci´on de verosimilitud
L(s) =
f(xi) =
sn
1
v
2p
n
exp –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
tomando logaritmos entonces:
log(L(s)) = -nlogs – nlog
v
2p –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
y por lo tanto
?s log(L(s)) = –
n
s
1
s
n

i=1
(xi – µ)2 = 0,

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
+ 3
26
´
despejando se llega con facilidad a:
ˆ
s2 =
1
n
n

i=1
(xi – µ)2 .
˜ ˆ
ˆ
como era de esperar. Aqu´ise ve que no siempre s2 = s2, y que siempre el mejor etimador
ser´a el de MV i.e. s2.

5. X ~ N(µ,s2),

MM Sabemos que X ~ N(µ,s2)
E [X] = µ =
1
n
n

i=1
xi,
=?
˜
µ =
1
n
n

i=1
xi,
E X2
= s2 + µ2 =
1
n
n

i=1
x2
i
=?
˜
s2 =
1
n
n

i=1
(xi – µ)2 .
MMV Tomamos como funci´on de verosimilitud
L(µ,s) =
f(xi) =
sn
1
v
2p
n
exp –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
tomando logaritmos entonces:
log(L(µ,s)) = -nlogs – nlog
v
2p –
1
2s2
n

i=1
(xi – µ)2
y por lo tanto
?µ log(L(µ,s)) =
1
s2
n

i=1
xi – nµ = 0,
?s log(L(µ,s)) = –
n
s
1
s
n

i=1
(xi – µ)2 = 0,
despejando se llega con facilidad a:
ˆ
µ =
1
n
n

i=1
xi,
ˆ
s2 =
1
n
n

i=1
(xi – µ)2 .
como era de esperar.
Ejercicio 2.6.2 Para cada uno de los siguientes casos encontrar la familia conjugada natural y
hallar la distribuci´on a posteriori.

2.6. EJERCICIOS
27
1.

2.
(Xi)ni =1 es una m.a. de X ~ Poisson(?),
(Xi)ni =1 es una m.a. de X ~ Gamma(p = 1,a = ?)
3.
(Xi)ni =1 es una m.a. de X ~ N ?,var =
1
r
, donde r es conocido.
Soluci´on. Seguimos el gui´on expuesto en el ejemplo de la teor´ia
1.
(Xi)ni =1 es una m.a. de X ~ Poisson(?),
e-??x
x!
, x = 0,1
f? (x) = P (x | ?) =

familia de muestras para una Pisson
P (x | ?) =
P (xi | ?) ? e-n??
xi
P (x | ?) es el n´ucleo de una densidad tipo “Gamma”, entonces tomamos como posible familia
conjugada
P = {p (?) ? Gamma(p,a)}
recordamos que
f ~
ap
G(p)
e-axxp-1
por lo que
p (?) ~
a?
G(?)
e-a??p-1
as´i que
p (? | x1,…,xn) ? P (xi | ?)p (?) ? e-n??
xi
a?
G(?)
e-a??p-1 ? e-(n+a)??p+
xi-1
xi,a = ß + n .
para ? > 0, por lo tanto

p (? | x1,…,xn) ~ Gamma p = a +

Adem´as podemos calcular la media a posteriori
T
?p (? | x1,…,xn)d? =
p
a
=
a + xi
ß + n
2.
este ser´ia un estimador puntual bayesiano.
(Xi)ni =1 es una m.a. de X ~ Gamma(p = 1,a = ?)
f? (x) = f (x | ?) =
?
G(1)
e-?xx1-1 = ?e-?x,
x> 0
familia de muestras para una Poisson
P (x | ?) =
P (xi | ?) ? ?ne-?
xi
,

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
2 1=
x f
(xi | ?)d?
x ?2d?
? (1 – x)
? (1 – x)
28
´

P (x | ?) es el n´ucleo de una densidad tipo Gamma, entonces tomamos como posible familia
conjugada
P = {p (?) ? Gamma(p,a)},
recordamos que
f ~
ap
G(p)
e-axxp-1,
por lo que
p (?) ~
a?
G(?)
e-a??p-1,
xi
,
as´i que
p (? | x1,…,xn) ? f (xi | ?)p (?) ? ?ne-?
para ? > 0. por lo tanto
p (? | x1,…,xn) ~ Gamma p = a +
xi,a = ß + n .
Ejercicio 2.6.3 Sea X una observaci´on de la densidad
f (x | ?) =
2x
?2
I(0,?) (x),
? > 0,
supongamos que ? tiene una distribuci´on a priori uniforme sobre (0,1). Hallar la mediana de la
distribuci´on a posteriori.

Soluci´on. Tenemos la siguiente situaci´on:
f (x | ?) =
2x
?2
I(0,?) (x),
? > 0,
y suponemos que
p (?) = U [0,1] = 1,
? ? (0,1),
entonces:
p (? | xi) ? f (xi | ?)p (?) ?
2x
?
2x
?2
,
? ? (0,1),
pero x ? (0,1), x < ?, por lo que ? ? (x,1), as´i que
p (? | xi) ?
f (xi | ?)p (?)
1
=
2x
?2
1 2x
=
x
2
,
? ? (x,1).
Para calcular la media a posteriori vemos que
1
2
=
M

-8
p (? | xi)d? =
M

-8
x
2
d?

– 3 ,
2.6. EJERCICIOS
29
por lo que
M =
2x
1+ x
,
tal y como quer´iamos calcular.

Ejercicio 2.6.4 Encontrar la cota de FCR y el estimador e?ciente (si existe) en los siguientes
casos:
1.
m.a. de
f?(x) =
1
?
exp –
x
?
,
? > 0,
x > 0,
para estimar ?
2.
m.a. de
f?(x) = ?(1 – ?)x ,
x = 0,1..,
? ? (0,1),
para estimar ?
3.
m.a. de
1
fs(x) = v
s 2p
exp –
x2
2s2
,
para estimar s, lo mismo para estimar s2.

Soluci´on. Recordamos que
FCR =
-nE?
dt 2
d?
d2 logf?(x)
d?2
,
I.F. = -nE?
d2 logf?(x)
d?2
mientras que el estimador e?ciente
t +
dt
d?
I.Fisher
dlogf?(xi)
d?
,
T = t +
t'
IF
(logf?)' ,
as´i que:
1.
En este caso
f?(x) =
1
?
exp –
x
?
,
? > 0,
x > 0,
por lo que tomando logaritmos tenemos que
logf?(x) = log
1
?
exp –
x
?
= -log? –
x
?
,
y de forma inmediata se calculan las derivadas etc…
1 x
? ?
?
?22 logf?(x) =
1
?2
2x
?

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
2 –
?
= 2 – 3E [x] = 2 – 3? = – 2
x exp –
n exp
? (1 – ?)
30
´
de esta forma vemos que
E?
1
?
2x
3
1 2 1 2 1
? ? ? ? ?
ya que
E [X] =
R
1
?
x
?
dx = ?
E [X] =
p
a
= ?
adem´as podemos observar que

1
ya que G p = 1,a =
. Por lo tanto:
?
FCR =
-nE?
dt 2
d?
d2 logf?(x)
d?2
=
1
-n -? 1
2
=
?2
n
.
Para calcular el estimador e?ciente vemos que
f?(xi) =
f?(xi) =
1
?
–
xi
?
tomando logaritmos
log(f?(xi)) = log
1
?n
exp –
xi
?
= -nlog? –
xi
?
y por lo tanto
?? (log(f?(xi))) = ?? –
n
?
—
xi
?
= –
n
?
+
?
xi
2
de esta forma llegamos a que
T
= t +
dt
d?
I.Fisher
dlogf?(xi)
d?
=
= ? +
-n
1
-? 1
2
–
n
?
+
?
xi
2
= ? +
?2
n
–
n
?
+
?
xi
2
=
xi
n
.
2.
De forma m´ecanica vemos que
f?(x) = ?(1 – ?)x ,
x = 0,1..,
? ? (0,1),
es una geom´etrica
E [X] =
1 – ?
?
,
I.F. =
n
2
por lo que
FCR =
?2 (1 – ?)
n
sin embargo
T = ? –
?2 (1 – ?)
n
dlogf?(xi)
d?
= 2? – ?2 – ?2
xi

-nEs d log dsf 2 s(x)
-nEs d log dsf 2 s(x)
2 4
= s2 + 2n
31
2.6. EJERCICIOS

i.e. no es un estimador e?ciente. FALTA completar las cuentecillas.
log(f?(xi)) = log ?n (1 – ?)
xi
.
dlogf?(xi)
d?
=
n
?
–
xi
(1 – ?)
,
3.
En este caso
1
fs(x) = v
s 2p
exp –
x2
2s2
? N 0,s2 ,
evitando pasos intermedios vemos que
FCR =
dt 2
ds
2
=
-nEs
1
1
s2
–
3×2
s4
=
– n
s2
+
1
3n
s4
Es
[X2]
2
2
observ´andose que: var(X) = Es X2 – Es [X]
Es X2 = var(X) + Es [X] = var(X) = s2
ya que X ? N 0,s2 , as´i que
FCR =
s2
2n
.
El estimador e?ciente:
T = t +
dt
d?
I.Fisher
dlogf?(xi)
d?
= s +
s2
2n
dlogf?(xi)
d?
donde
dlogf?(xi)
d?
=
d
d?
log
1
v
s 2p
n
exp –
i
x2
2s2
= –
n
s
+
i
x2
s3
entonces
T = s +
s2
2n
–
n
s
+
i
x2
s3
por lo que no hay estimador eiciente para s.
Sin embargo si repetimos estas cuentecillas para s2, vemos que
FCR =
dt 2
ds
2
=
s2
4s2
– n +
3n
s2
=
n
s .
mientras que el estimador e?ciente veri?ca
T
= t +
dt
d?
I.Fisher
dlogf?(xi)
d?
=
2s

s2
–
n
s
+
i
x2
s3
=
i
x2
n
luego T =
i
x2
n
es un estimador e?ciente en este caso.

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
-nE? d log d? f 2?(x)
e
-cxe
= e
(e-c?)
= e-?e-?e .
32
´
Tal y comoquer´iamos hacer ver.

Ejercicio 2.6.5 Sea (Xi)ni =1 m.a. de una distribuci´on tipo Poisson ?.
1.
Hallar la cota inferior de FCR para la varianza de los estimadores insesgados de e-?.
2.
Xi) sea un estimador
Determinar el valor de la constante c tal que el estimador exp(-c
insesgado de e-?.
Soluci´on. De forma inmediata vemos que
FCR =
dt 2
d?
2
=
nE?
-e2?
d2 logf?(x)
d?2
=
?e-2?
n
no olvidar que estamos estimando e-?.
T = exp(-c
Xi) insesgado para estimar e-?.?? Recordamos que insesgado signi?ca:
E? [T] – t (?) = 0
??
E? [T] = e-?
por lo tanto
e-? = E [T] = E exp -c
Xi
=
E [exp(-cxi)] = (E [exp(-cxi)])n
= (exp(-?(1 – ec)))n = exp(-?n(1 – ec))

despejando se obtiene
c = -log 1 –
1
n
.
veamos un paso delicado de la anterior cadenas de igualdades:
E [exp(-cx)] =
-cx
P(X = x) =
8

x=0
e
-??x
x!
-?
8

x=0
x
x!
-c
tal y como quer´iamos hacer ver.

Ejercicio 2.6.6 Sea (Xi)ni =1 m.a. de una distribuci´on tipo uniforme U (0,?), ? > 0.
1.

2.

3.
Hallar la cota inferior de FCR para la varianza de los estimadores insesgados de ?.

Estudiar si X(n) es un estimador insesgado para ?.

Hallar el estimador de m´axima verosimilitud para ?.

?
nt?n
f?(x) = ,
33
2.6. EJERCICIOS

Soluci´on. En este caso vemos que
E [T] = E X(n) =
R
tfX(n)(t)dt
para calcular fX(n)(t) puedo mirar la funci´on de densidad del m´aximo:
FX(n)(t) =
?
? 0
tn
?n
1
t < 0,
t ? (0,?),
t > ?,
vemos que
FX(n)(t) =
P(Xi = t) = (P(Xi = t))n =
t

-8
fdx
n
=
t
0
1
?
dx
n
=
tn
?n
as´i
fX(n) =
n-1
0
t ? (0,?)
resto
de esta forma
E [T] = E X(n) =
R
tfX(n)(t)dt =
?
0
n
tn
?n
dt =
n
n +1
?
por lo que no es insesgado para estimar ?. Recordatorio: E? [T] – t (?) = 0.

Hallar el estimador de m´axima verosimilitud para ?. En este caso
1
?
x ? (0,?),
por lo que la funci´on
L(?) = f?(xi) =
f?(xi) =
1
?n
,
as´i que
logL(?) = -nlog?,
=?
?? logL(?) = –
n
?
de esta forma llegamos a que
?? logL(?) = –
n
?
=0
=?
?
ˆ = 8,
? 1
?
llegando as´i a una cagada monumental.
Rehacemos el camino para hacer ver que en esta ocasi´on f?(x) = 1, x ? (0,?), pero L(?) = ?n, si
? = X(n), en este caso el rango de las observaciones depende del par´ametro por lo que hay que ser
un poco m´as cuidadoso a la hora de escribir las cosas. As´i se llega a la conclusi´on de que

ˆ = X(n)

tal y como quer´iamos hacer ver.

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
xi,
¿Es consistente para ?? .i.e. ˆ ? -? ?.?? Para verlo tendremos
G(n)
?
E ˆ ? -? ?
? ?
´
34

Ejercicio 2.6.7 Sea (Xi)ni =1 m.a. de la densidad

f? (x) = ?exp(-?x),
x = 0,? > 0.
Encontrar el estimador de m´axima versimilitud de ?. ¿Es consistente para ??.

Soluci´on. En este caso f? (x) es una exponencial (ver primer ejercicio), adem´as el rango no
?
depende del par´ametro. ˆ =
n
P
n?8 n?8

Por lo tanto:
E ˆ
?
= E
n
xi
= E
n
Y
=
8
0
n
y
f (y)dy =
8
0
n ?n
y G(n)
e-?yyn-1dy =
= n
8
?n
G(n) 0
e-?yyn-2dy = n
?n G (n – 1)
n-1
=
n
n – 1
?
por lo tanto
?
E ˆ = E
n
Y
=
n
n – 1
?,
n?8
en estos c´alculos hemos empleado los siguientes trucos: Y =
xi ~ Gamma(p = n,a = ?). las
exponenciales son casos particulares de una Gamma y la suma de Gammas es otra Gamma. Si X
~ Gamma(p,a) entonces:
f(x) =
ap
G(p)
e-axxp-1,
8
0
e-axxp-1dx =
G (p)
ap
,
G(p) = (p – 1)G(p – 1).
Mientras que
var ˆ
?
= var
n
xi
= n2var
1
Y
= n2 E Y -2 – E2 Y -1
=
= n2
8
0
1 ?n
y2 G(n)
e-?yyn-1dy –
?2
(n – 1)2
= n2
?2
(n – 1)(n – 2)
–
?2
(n – 1)2
n?8

Ejercicio 2.6.8 Sea (Xi)ni =1 m.a. de una distribuci´on tipo uniforme U (0,?), ? ? (0,8). De-
mostrar que X(n) es consistente para ?. ¿Es Yn = 2Xn consistente para ??

Soluci´on. Seguimos los mismos que en ejercicios anteriores viendo que
FX(n)(t) =
?
? 0
tn
n
1
t < 0,
t ? (0,?),
t > ?,

-? 0,
35
2.6. EJERCICIOS

observamos que
FX(n)(t) =
0 t< 0
1 t = ?
comprobando que
L P

¿Es Yn = 2Xn consistente para ??. Esperamos que 2Xn est´e cerca de ?.
? n?8
2
var(Yn) = var(2Xn) = 4var(Xn) = 4
var(X)
n
=
4 ?2
n 12
=
?2 n?8
3n
˜
¯
por lo que es consistente para ?. Sin embargo tiene una pequena pega pues si tomamos X ~ U(0,10)
supongamos que X = 6, entonces Yn = 2Xn = 12, por lo que a veces sobre-estima.

Ejercicio 2.6.9 Sea (Xi)ni =1 m.a. de una distribuci´on discreta con funci´on de masa
1.
Estudiar si T =
P? (X = x) = ?(1 – ?)x-1 ,
x = 1,2,…,? ? (0,1)

Xi, es un estad´istico su?ciente para ?.
?
2.

3.

4.

5.

6.
?
Hallar el estimador de ? por el m´etodo de los momentos,

Obtener el estiamdor de m´axima verosimilitud de ?.

Calcular la media de la distribuci´on a posteriori cuando la distribuci´on a priori para el
par´ametro ? ? (0,1).
Calcular la cota de FCR para la varianza de los estiamdores insesgados para t (?) = 1.
¿Hay estimador e?ciente para estimar t (?) = 1?.
Soluci´on. De forma telegr´a?ca vemos que
1.
S´i, aplicando el teorema de facotrizaci´on obtenemos
?(1 – ?)xi-1 = ?n (1 – ?)
xi-n
por lo tanto T =
Xi, es un estad´istico su?ciente para ?
2.
Sabemos que al tratarse de un geom´etrica
E [X] =
1
p
=
1
?
y por lo tanto
?
˜ =
n
xi
,

CAP´ITULO 2. ESTIMACION PUNTUAL
x?(1 – ?)x-1 = .
36
´
3.
Vemos que
L(?) = ?n (1 – ?)
xi-n
xi – n log(1 – ?)
as´i que tomando logaritmos

logL = nlog? +

calculamos el m´aximo, encontrando
n
?
–
(
xi – n)
(1 – ?)
=0
de esta forma llegamos a:
?
ˆ =
n
xi
,
4.
p (? | xi) ~ Beta p = n + 1,q =
xi – n + 1
La media a posteriori es:
E [X] =
p
p + q
=
n +1
xi + 2
5.
T =
xi
n
?
es e?ciente para t = 1, donde
E [X] =
1
?

Cap´itulo 3

Intervalos de con?naza
3.1.
Introducci´on
Disponemos de (Xi)ni =1 m.a. de X ~ f?(x) tal que ? ? T. Como siempre queremos estimar ?.

De?nici´on 3.1.1 Un estimador por intervalos de con?enza para estimar ?i es una funci´on que a
cada muestra (Xi)ni =1 le asigna un intervalo
(L,U) = (L(xi)ni =1 ,U (xi)ni =1).

De?nici´on 3.1.2 El nivel de con?anza de un intervalo (L,U) es 1 – a cuando
P? {? ? (L,U)} = P? {(xi)ni =1 : L < ? < U} = 1 – a.

Consideramos los siguientes m´etodos de construcci´on
1.

2.

3.2.
M´etodo cl´asico (cantidad pivotal), intervalos de con?anza m´as frecuentes en las aplicaciones.

M´etodos bayasianos.

M´etodo de la cantidad pivotal.
De?nici´on 3.2.1 Una cantidad pivotal para estimar ?i es una funci´on
T ((xi)ni =1 : ?i)
cuya distribuci´on no depende de ?i.

La idea es la de obtener una cantidad pivotal T para ?i, que sea una funci´on continua y mon´otona
de ?i. Queremos hallar (e(a1),e(a2)) tales que
P? {(xi)ni =1 : e(a1) < T < e(a2)} = 1 – a.

37

s
Consideramos X ¯ ~ N µ, n 0
X ¯ – µ
X ¯ – µ
X ¯ – µ
µ < X ¯ + Za/2v ,
µ > X ¯ – Za/2v ,
X ¯ ± Za/2v
38
CAP´ITULO 3. INTERVALOS DE CONFINAZA
donde los (e(a1),e(a2)) no dependen de ?i por ser T una cantidad pivotal.

Despejamos ?i de la anterior ecuaci´on i.e.

e(a1) < T
T < e(a2)

obteniendo as´i (L,U).
3.2.1.
Cantidades pivotales e intervalos de con?anza m´as frecuentes.
1.
(Xi)ni =1 m.a. de X ~ f?(x) = N µ,s20 donde s20 es una cantidad conocida. El objetivo es
estimar µ mediante IC con un nivel de con?anza (NC) 1 – a.
Para ello seguiremos la siguiente t´actica:
2
y tipi?cando i.e.

v ~ N (0,1)
s0/ n
nos preguntamos si
T =
v
s0/ n
es una cantidad pivotal para estimar µ. Adem´as, para una muestra ?ja ¿es T continua y
mon´otona?. Ambas respuestas son a?rmativas.
P? {(xi)ni =1 : e(a1) < T < e(a2)} = 1 – a,
P?
(xi)ni =1 : e(a1) <
v < e(a2)
s0/ n
= 1 – a,
´
vemos que T ~ N (0,1) entonces por simetr´ia la ultima ecuaci´on la podemos reescribir como
P? (xi)ni =1 : -Za/2 < T < Za/2 = 1 – a,
as´i que despejamos

-Za/2 < T,
T < Za/2,

de donde obtenemos que
s0
n
s0
n
por lo que llegamos a:
IC1-a = (L,U) =
s0
n
.
Vemos de esta forma que al aumentar n la longitud del intervalo decrece (i.e. la estimaci´on es
m´as precisa). De igual forma se observa que al aumentar el NC 1-a entonces Za/2 aumenta
i.e. la longitud del intervalo aumenta y por lo tanto la estimaci´on es menos precisa).

3.2. METODO DE LA CANTIDAD PIVOTAL.
(NC) 1 – a. Podemos intentar seguir la t´actica anterior i.e. consideramos X ¯ ~ N µ, 0
y
X ¯ – µ
X ¯ – µ
X ¯ – µ
X ¯-µ
/(n
X ¯ – µ
X ¯ – µ
X ¯ ± tn-1;a/2v
?2 n-1;a/2
?n-1;1-a/2
~
´
39
2.
(Xi)ni =1 m.a. de X ~ N µ,s2 . El objetivo es estimar µ mediante IC con un nivel de con?anza
s2
n
tipi?cando i.e.
v
s/ n
~ N (0,1),
y nos preguntamos si
T =
v
s/ n
es una cantidad pivotal para estimar µ. Adem´as, para una muestra ?ja ¿es T continua y
mon´otona?. En esta caso no, ya que T depende de un par´ametro desconocido, s, por lo tanto
no puede ser cantidad pivotal.
En este caso deberemos apelar al teorema de Fisher (recordar el primer cap´itulillo) viendo
que
v
s/ n
~ N (0,1),
(n – 1)S2
s2
2
~ ?n-1
por lo tanto
2
N (0,1)
?n-1/(n – 1)
=
v
s/ n
(n-1)S2
s2
– 1)
=
v
S/ n
~ tn-1
por lo tanto si de?nimos
T =
v
S/ n
ahora s´ies cantidad pivotal para estimar µ. Por lo tanto y siguiendo el procedimiento anterior
vemos que
P -tn-1;a/2 < T < tn-1;a/2 = 1 – a
donde hemos vuelto a tener en cuenta las simetr´ias de la distribuci´on. As´i que despejando se
llega a que
IC1-a (µ) =
S
n
.
Siguiendo los mismos paso, podemos ahora estimar s2. Para ello consideramos
T =
(n – 1)S2
s2
,
como cantidad pivotal y obtenemos por lo tanto
IC1-a s2 =
(n – 1)S2 (n – 1)S2
, 2
.
3.
(Xi)ni =1 m.a. de X ~ Bernoulli(p). El objetivo es estimar p mediante IC con un nivel de
con?anza (NC) 1 – a. En este caso seguremos las siguientes consideraciones:
n
i=1
e
Xi = “# ´xitos” ~ Bin(n,p)
Ta De Moivre
N µ = np,s2 = npq

i=1 Xi
– np
40
CAP´ITULO 3. INTERVALOS DE CONFINAZA
por lo tanto
n
i=1
Xi ~ N µ = np,s2 = npq
tipi?cando
n

np(1 – p)
~ N(0,1)
arreglando las cuentecillas llegamos a
¯
X – p
p(1-p)
n
?
¯
ˆ ˆ
X – p
p(1-p)
n
=
¯
¯ ¯
X – p
X(1-X)
n
~ N(0,1)
as´i que
T =
¯
¯ ¯
X – p
X(1-X)
.
n
¯
Por lo tanto y siguiendo los mismos pasos que los anteriores casos vemos que
¯
?
IC1-a (p) = ?X ± Za/2
¯ ¯
X 1 – X
n
?
?.
3.2.2.
Cantidad pivotal general.
Sea (Xi)ni =1 m.a. de X ~ F? distribuci´on continua. Podemos de?nir una cantidad pivotal gen´erica
como sigue:
T = –
n
logF? (xi)
i=1
es cantidad pivotal para estimar el par´ametro ?, pues depende de (Xi)ni =1 y ? y se comprueba con
facilidad que la funci´on de distribuci´on de T no depende de ?.

De?nici´on 3.2.2 De?nimos el error en la estimaci´on de un intervalo de con?enaza como
E =
longitud del intervalo
2
.
˜
En muchos estudios es muy interesante saber el tamano muestral necesario para obtener un error
en la estimaci´on inferior a E.

Ejemplo 3.2.1 Sea (Xi)ni =1 m.a. de X ~ N µ,s20 donde s20 es una cantidad conocida. ¿Cu´al es
el m´inimo valor de n para que el error en la estimaci´on de un intervalo con nivel de con?anza 1-a
sea inferior a E?

X ¯ ± Za/2v
E = Za/2v
41
3.3. INTERVALOS DE CONFIANZA BAYESIANOS.

Sabemos que
IC1-a =
s0
n
.
por lo tanto

por lo que de aqu´i despejamos n
s0
n
v
Za/2s0 = E n
as´i que
n =
Za/2s0
E
2
.
3.3.
Intervalos de con?anza bayesianos.
f (x1,….,xn | ?) =
Sea (Xi)ni =1 m.a. de X ~ f (X | ?) donde ? ? T. Tenemos la informaci´on muestral (verosimilitud)
n
i=1
f (xi | ?)
y de la informaci´on a priori
p (?)
as´i que aplicando Bayes
p (? | x1,….,xn) =
p (?)
n
f (xi | ?)
?
p (?)
i=1
n
f (xi | ?)
? p (?)f (x1,….,xn | ?)
/
i=1
y todas las conclusiones las obtendremos a partir de p (? | x1,….,xn) la distribuci´on a posteriori.

De?nici´on 3.3.1 Un intervalo de con?anza bayesiano al nivel 1-a es un intervalo (L,U) tal que
U
p (? | x1,….,xn)d? = 1 – a.
L

De?nici´on 3.3.2 El intervalo de con?anza bayesiano con m´axima densidad a posteriori (HPD) al
nivel 1 – a es el intervalo (L,U) tal que
U
p (? | x1,….,xn)d? = 1 – a,
L
y ??1 ? (L,U) y ??2 ? (L,U),
p (?1 | x1,….,xn) > p (?2 | x1,….,xn).

El intervalo HPD es el de m´inima longitud para un nivel 1 – a ?jado.

x ¯ ± za/2v
x ¯ ± tn-1;a/2v
42

3.4.
CAP´ITULO 3. INTERVALOS DE CONFINAZA

Resumen de intervalos

INTERVALOS DE CONFIANZA
´

(X1,…,Xn) muestra aleatoria (m. a.) de X.
¯
x =
1
n
xi
s2 =
1
n – 1
¯
(xi – x)2.
3.4.1.
X ~ N(µ,s)
Intervalos de con?anza 1 – a para µ:

1. s conocida:
I =
s
n
.
s
n
.
2. s desconocida
I =

Intervalo de con?anza 1 – a para s2:
I =
2
(n – 1)s2
?n-1;a/2
,
2
(n – 1)s2
?n-1;1-a/2
.
3.4.2.
X ~ Bernoulli(p) (muestras grandes).
Intervalo de con?anza 1 – a para p:
I =
¯
x ± za/2
¯ ¯
x(1 – x)
n
.
3.4.3.
X ~ Poisson(?) (muestras grandes)
¯
Intervalo de con?anza 1 – a para ?:

I = x ± za/2
¯
x/n .

(s21/n1)2 (s22/n2)2
+
3.4. RESUMEN DE INTERVALOS
43
3.4.4.
Dos poblaciones Normales independientes
¯
y
X ~ N(µ1,s1); (X1,…,Xn1) m. a. de X; se calcula x y s21.
Y ~ N(µ2,s2); (Y1,…,Yn2) m. a. de Y ; se calcula ¯ y s22.
2
sp =
(n1 – 1)s21 + (n2 – 1)s22
n1 + n2 – 2
.
Intervalos de con?anza 1 – a para µ1 – µ2:
1. s1, s2 conocidas:
?
¯ y
I = ?x – ¯± za/2
s21
n1
+
?
s22?
n2
.
2. s1, s2 desconocidas, s1 = s2:
I =
¯ y
x – ¯± tn1+n2-2;a/2 sp
1
n1
+
1
n2
.
3. s1, s2 desconocidas, s1 = s2:
?
¯ y
I = ?x – ¯± tf;a/2
s21
n1
+
s22
n2
?
?,
(s21/n1 + s22/n2)2

n1-1 n2-1
.
donde f = entero m´as pr´oximo a

Intervalo de con?anza 1 – a para s21/s22:
I =
s21/s22
Fn1-1;n2-1;a/2
,
s21/s22
Fn1-1;n2-1;1-a/2
.
3.4.5.
Comparaci´on de proporciones (muestras grandes e independientes)
X ~ Bernoulli(p1);(X1,…Xn1) m. a. de X.
Y ~ Bernoulli(p2);(Y1,…Yn2) m. a. de Y .
Intervalo de con?anza 1 – a para p1 – p2:
?
¯ y
I = ?x – ¯± za/2
¯ ¯
x(1 – x)
n1
+
y y
?
¯(1 – ¯)?
n2
.

1/2 .
44
CAP´ITULO 3. INTERVALOS DE CONFINAZA
3.5.
Ejercicios
¯ ¯
Ejercicio 3.5.1 Sea (X1,X2,X3,X4) una m.a. de X ~ N µ,s2 = 1 . Hallar el nivel de con?anza
del estimador por intervalos X – 1,X + 1 .

Soluci´on. Queremos calcular el NC que como sabemos
i ¯ ¯
¯ ¯
= Pµ X – 1 < µ < X + 1
NC = Pµ (Xi)4=1 : µ ? X – 1,X + 1

si tenemos en cuenta que
¯
X =
Xi
n
= µ,
¯
X ~ N
µ,
s2
n
= N
µ,
1
4
,
=?
s = 1/2,
entonces
¯ ¯
Pµ X – 1 < µ < X + 1 = P
µ – 1 – µ
1/2
<
¯
X – µ
1/2
<
µ +1 – µ
1/2
¯
X-µ
P {-2 < Z < 2}
Teniendo en cuenta las simetr´ias de la N(0,1) la anterior
simpli?cando queda:

donde como es habitual Z =
expresi´on queda reducida a:
2P (Z > 2) = 0,9544
donde dicho valor se ha obtenido de las tablas para la nornal tipi?cada.

Ejercicio 3.5.2 Sea (Xi)ni =1 una m.a. de X ~ U (0,?),? > 0.
1.
Nivel de con?anza del estimador por intervalos
aX(n),bX(n) tal que 1 = a < b.
2.
Hallar P? ? ? X(n) + c,X(n) + d
tal que 1 = c < d.
Soluci´on. Para el primero de los apartados vemos que

[L,U] = aX(n),bX(n) ,
1 = a < b,
por lo tanto el NC ser´a

NC = P? {(Xi)ni =1 : ? ? [L,U]} = P? aX(n) < ? < bX(n)

o lo que es lo mismo
P?
?
b
< X(n) <
?
a
´
recordar que X(n) = max(Xi). Adem´as si rememoramos las cuentecillas del primer capitulillo vemos
que
fX(n) = n[FX (t)]n-1 fX (t)

dt = n – n
i=1 Xi
= ?e-? ?
3.5. EJERCICIOS
45
as´i que
fX(n) = n
t
?
n-1
1
?
=
ntn-1
?n
,
?t ? (0,?)
por lo tanto
P?
?
b
< X(n) <
?
a
=
?
a
?
b
fX(n)dt =
?
a
?
b
ntn-1
?n
1 1
a b
y como vemos en este caso no depende de ?.

En el segundo de los casos vemos que

[L,U] = X(n) + c,X(n) + d ,
1 = c < d,
as´i que seguimos el mismo procedimiento por lo que llegamos sin problemas a:
P? X(n) + c < ? < X(n) + d = P? ? – d < X(n) < ? – c = 1 –
c
?
n
– 1 –
d
?
n
al depender de ? no se le llama nivel de con?enza.

Ejercicio 3.5.3 Sea (Xi)ni =1 una m.a. de X cuya densidad viene dada por
probar que T = ?
n
?e-?x x > 0
f (x | ?) =
0 resto

es una cantidad pivotal y obtener los intervalos de con?anza correspond-
intes.

Soluci´on. Observamos que T es funci´on s´olo de la muestra y del par´ametro y tenemos que ver que
la distribuci´on es funci´on continua y mon´otona.

X ~ f?

de?nimos la v.a. Y = ?X as´i que aplicando el c.v.
T = ?
n
i=1
Xi =
n
i=1
Yi ~ Gamma(p = n,a = 1)
vemos que si
Y = ?X
=?
X =
Y
?
=?
dX
dY
=
1
?
por lo tanto
fY = fX
dX
dY
y 1
?
= e-y,
?y ? (0,8)
adem´as se observa que fY ~ Gamma(p = 1,a = 1). De esta forma vemos que al solo depender de
(Xi)ni =1 se trata de una cantidad pivotal para el par´ametro ?, igualmente se observa que es continua
y mon´otona creciente en ?.

i=1 Xi
i=1 Xi
i=1 Xi
i=1 Xi
CAP´ITULO 3. INTERVALOS DE CONFINAZA
46

Buscamos ahora (e1,e2) tales que
P
e1 < ?
P {e1 < T < e2} = 1 – a

as´i que teniendo en cuenta las simetr´ias de la funci´on gamma etc… despejamos ? y vemos que

n
i=1
Xi < e2
=1 – a
e1 < ?
n

i=1
Xi,
=?
e1 (a)
n