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Apuntes de procesos estocasticos




Enviado por Jabel70



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    ´
    ´ ˜
    Prologo

    La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo de resumen (personal) es la de tener a mano un
    recordatorio de por donde iban los tiros. Solo se demuestran los teoremas fundamentales y se acompona el texto
    con una serie de ejercios m´as o menos trabajados. Es decir, estas notas estan confeccionadas a modo de refrito
    entre las notas de clase y de distintos libros cl´asicos como los siguientes:
    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
    Richard Durrett. Probability: Theory and Examples. Wadsworth & Brooks 1991.
    Z. Brze´zniak and T. Zastawniak. Basic Stochastic Processes. Springer SUMS 2005
    Grinstead, C.M. Introduction to probability. http://www.dartmouth.edu/.
    Novo, V. Problemas de C´alculo de Probabilidades y Estad´istica UNED 1993.
    Quesada, V. et al. Lecciones de C´alculo de Probabilidad. Ed. d´iaz de Santos 1988.
    Montero, J. et al Ejercicios y Problemas de C´alculo de Probabilidades. Ed. d´iaz de Santos 1988.
    ADVERTENCIA: No est´an concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas.
    III

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    ´
    Cap´itulo 1

    Variables aleatorias.

    1.1. Eventos y Probabilidad. Axiom´atica de Kolmogorov.

    De?nicion 1.1.1 De?nimos espacio muestral ? como el conjunto de resultados posibles.
    Supondremos que ? = Ø.
    Ejemplo 1.1.1
    1.
    En el lanzamiento de un dado ? = {1,2,3,4,5,6}.
    2.
    ´
    Cualquier proceso de contar, el numero de coches que pasa por una calle ? = N.
    ´
    ´
    ´
    De?nicion 1.1.2 Se llama suceso aleatorio A, a cualquier subconjunto del espacio muestral ?, i.e. A ? ?.

    De?nicion 1.1.3 Suceso complementario Ac,
    suceso uni´on A ? B, el suceso intersecci´on A n B.
    Si A n B = Ø entonces decimos que son incompatibles.
    Dados {Ai} decimos que forman un sistema completo de sucesos si son mutuamente excluyentes y ?Ai = ?.

    De?nicion 1.1.4 Espacio de sucesos, F.
    Ideas intuitivas:
    Son las combinaciones de los resultados del experimento que nos interesa.

    El conjunto de los sucesos aleatorios asociados a un experimento aleatorio con espacio muestral ?.
    De?nici´on formal:
    F es una colecci´on de subconjuntos de ? (F = P(?)) que veri?can:
    1.
    Ø ? F,
    1

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    CAPITULO 1. VARIABLES ALEATORIAS.
    2
    ´
    2.

    3.
    i=
    si A ? F,=?Ac = ?A ? F,
    (Ai)8 1 ? F es una colecci´on numerable, entonces
    Ai ? F.
    ´ ´
    ´
    Observacion 1.1.1 Una familia F que veri?ca estas tres propiedades de dice que forma una s-algebra.
    Si la propiedad tres es ?nita (en vez de in?nita “numerale”) entonces F es un algebra.

    Propiedades 1.1.1 Vemos que se veri?can las siguientes propiedades:
    1.
    i=
    Si (Ai)8 1 ? F, entonces
    Ai ? F.
    2.
    La intersecci´on de s-algebras forma otra s-algebra, pero no as´i la uni´on
    ´ ´
    En efecto. Vemos que
    Ai
    c
    ? F, pero observamos que
    Ai
    c
    =
    i i=
    Ac ? F, ya que cada (Ai)8 1 ? F y por
    ´
    ´
    ´
    ´ ˜
    ´
    lo tanto su complementario.

    Con respecto a la segunda propiedad observamos que solo tenemos que demostrar que en realidad se veri?can
    las tres propiedades de s-algebra.

    De?nicion 1.1.5 DadoA ? P(?),dondeA esunacolecci´ondesubconjuntosde ?,de?nimos s(A) comolaintersecci´on
    de todas las s-algebras (y por lo tanto la m´as pequena) en ? que contienen a A

    De?nicion 1.1.6 Ya ?jados (?,F) entonces P es una probabilidad sobre F si:

    P : F -? [0,1] ? R,

    que veri?ca:
    1.
    2.
    i
    P(?) = 1,
    si {Ai}n =1 ? F, Ai n Aj = Ø =? P(?Ai) = ?i P(Ai).
    En otras palabras, P es una medida en (?,F) con medida de ?, P(?) = 1.

    La idea intuitiva de probabilidad viene de la de frecuencia i.e.
    ´
    ´
    poblaci on de A
    poblacion total
    Propiedades 1.1.2
    1.
    frec(A) =

    P(?A) = P(Ac) = 1- P(A),
    2.

    3.

    4.
    P(Ø) = 1- P(?) = 0.

    P(A ? B) = P(A) + P(B) – P(A n B),

    Si A n B = Ø =? P(A ? B) = P(A) + P(B).

    Principio de inclusi´on-exclusi´on:

    P(A ? B ? C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A n B) – P(A n C) – P(B n C) + P(A n B n C).

    P(AB) = P(A)P(A n B), observar que: A = (AB) ? (A n B).

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    1.2. VARIABLE ALEATORIA.
    3
    5.
    Si A ? B, P(A) = P(B).
    ´
    ´ i
    Observacion 1.1.2 A continuaci´on expondremos una lista de propiedades siguiendo el esquema de teor´ia de la medida.

    Proposicion 1.1.1 Si {Ai}n =1 ? F (conjunto numerable de sucesos)
    P(?Ai) =
    ? P(Ai)
    i
    i=
    Teorema 1.1.1 Lema de continuidad. Si {Ai}8 1 ? F / Ai ? Ai+1, (sucesi´on mon´otona creciente) entonces

    i-?8

    Corolario 1.1.1 Sea Ai ? Ai+1, sucesi´on mon´otona decreciente, entonces

    i-?8

    Corolario 1.1.2 Para un numero in?nito de sucesos:
    ´
    8
    P(?Ai) =
    8
    ? P(Ai)
    i
    ´
    1.2. Variable aleatoria.

    De?nicion 1.2.1 V.A. Sea (?,F,P). Decimos que X
    X : (?,F) -? (R,B)
    : ? -? X(?) = x
    (B representa los Borel de R) es una variable aleatoria si
    X-1(B) = {? ? ? : X(?) ? B} ? F
    i.e. la imagen inversa de cualquier intervalo de R es un suceso de ?.
    X es una v.a. en (?,F,P) sii X es una fuci´on medible de (?,F,P) en (R,B)
    Tenemos dos tipos de variables aleatorias:
    1.
    2.
    Discreta.
    Continua.
    Ejemplo 1.2.1 La funci´on indicadora de A. es v.a. i.e.
    1lA : ? -? R
    tal que
    1lA =
    1
    0
    /
    x ? A
    x ? A
    adem´as veri?ca las siguientes propiedades:

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    CAPITULO 1. VARIABLES ALEATORIAS.
    4
    ´

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