r un
0
B1 ( Lt)1
( Kt)
F Kt, Lt
t
Yt
. B1 Kt L 1
F Kt, Lt
La función presenta rendimientos constantes a escala
2º. Los ratios (productos marginales del capital y trabajo) son constantes y
positivos.
0
1 1
t
B1 Kt
PmgK
Yt
Kt
+
+
0
(1
)B1 Kt Lt
PmgL
Yt
Lt
+
+
Recordemos que 0
1 entonces
1
1
1
0, es un valor
positivo
La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa.
05120153@unmsm.edu.pe
Yt
L
Yt
Kt
Kt
César Antúnez. I
Notas de Crecimiento Económico
5
0
(
2 1
t
1)B1 Kt
PmgK
Kt
2
Kt2
+
–
+
Recordemos 0
1
1
1
1
1, entonces 0
0 es una
constante negativa.
0
(1
)
2
)B1 Kt Lt (1
PmgL
Lt
2
Ltt
–
+ +
Recordemos que 0
0
1
1
1, entonces 0
x 1
1 es una
constante positiva 0 1
1.
3º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se
cumplen:
0
(1/ )
0
1
1
t
.L 1
B1
LímPmgK
K
(1/0)
1
1
t
.L 1
B1
LímPmgK
K 0
0
(1/ )
0
(1
1
Lt
)B1 Kt
LímPmgL
L
(1/0)
1
Lt
(1
)B1 Kt
LímPmgL
L 0
Aplicando logaritmo a la función de producción agregada y derivado con respecto al
tiempo
)LnLt
(1
)LnBt
Ln(Kt) (1
Ln(Yt)
dLnLt
dt
dLnBt
dt
)
(1
)
(1
dLn(Kt)
dt
dLn(Yt)
dt
gY
.gK
)gB
(1
( )
(1
)gL
Donde
gB : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo.
05120153@unmsm.edu.pe
César Antúnez. I
Notas de Crecimiento Económico
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6
K
Y
L
Y
K
)
(1
: Elasticidad del producto respecto al capital.
L : Elasticidad del producto respecto al trabajo.
Esta ecuación nos quiere decir que el crecimiento del PBI agregado es igual a la
suma del crecimiento del capital multiplicado por su participación en el PBI
.gK , el
crecimiento tecnológico multiplicado por su participación en el PBI (1
de crecimiento del trabajo multiplicado por su participación en el PBI (1
)gB y la tasa
)gL .
Despejando gB de la ecuación (
)
L
L
K
gL
gK
gY
gB
L
residuo_de_Solow
Esta ecuación nos quiere decir que la tas de progreso tecnológico es igual a la
diferencia o residuo entre el crecimiento observado del PBI y el crecimiento
ponderado de los factores directamente observables dividido entre la elasticidad
producto respecto al trabajo.
Como no interesa expresar la tasa de crecimiento del PBI por trabajador (per
cápita) reemplazaremos las tasas agregadas por sus equivalentes.
Sabemos que el PBI por trabajador es igual al PBI agregado dividido por el
número de trabajadores.
Yt
Lt
yt
Ln(Yt) Ln(Lt)
dLn(Yt)
dLn(Lt)
dt
dt
Ln(yt)
dLn(yt)
dt
Lt
Lt
Y t
Yt
yt
yt
gL
gY
gy
(IV)
gL
gy
gY
Sabemos que el capital por trabajadores igual al PBI agregado dividido por el
numero de trabajadores
Kt
Lt
kt
Ln(Kt) Ln(Lt)
Ln(yt)
César Antúnez. I
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7
dLn(Lt)
dt
dLn(Kt)
dt
dLn(yt)
dt
Lt
Lt
K t
Kt
yt
yt
gL
gK
gy
(V)
gL
gy
gK
Reemplazando (IV) y (V) en la ecuación (
)
gL
gB
gL
gk
gL
gy
1
1
1
(VI)
gk
gB
gy
La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del PBI por trabajador
se puede descomponer entre la contribución del progreso tecnológico y la tasa de
crecimiento del capital por trabajador, de hay que ha esta descomposición se le lama
contabilidad de crecimiento.
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8
Ejercicios resueltos
Problema Nº1
En el año 2008 se sabe que un país tiene una tasa de crecimiento del PBI per cápita
que es 4%, la tasa de crecimiento del capital agregado fue 2%, la tasa de
crecimiento de las horas de trabajo per cápita fue del -1% y la tasa de crecimiento de
la población fue 1.5%. La participación de capital en el PBI era de 45% ¿Cuál fue la
tasa de crecimiento de la productividad agregada?
Rpt
De la función:
dLn B
dt
dLn lt
dt
dLn kt
dt
dLn yt
dt
)
(1
1
gk
gy
)gl
(1
)gB
(1
0.04
Datos: gy
0.02
gK
0.01
gl
0.015
gK
0.45
0.005
0.02 0.015
gN
gK
Sabemos: gk
(1
)
0.04 0.45×0.005 0.55( 0.01)
0.55
)gl
gk
(1
gy
gB
7.86%
0.0786
gB
Problema Nº2
Se sabe que un país “Z” tiene una tasa de crecimiento del PBI 5%, la tasa de
crecimiento del capital por trabajador es 1.5% la tasa de crecimiento de las horas de
trabajo fue de -1%, la tasa de crecimiento de la población per cápita fue del 1% y la
participación del capital en el PBI era del 30%. ¿Cual fue la tasa de crecimiento de la
productividad agregada?
Rpt
De la función:
dLn B
dt
dLn lt
dt
dLn kt
dt
dLn yt
dt
)
(1
1
gk
gy
)gl
(1
)gB
(1
0.05
Datos: gY
0.01
gk
0.015
gL
0.01
gN
0.30
0.01 0.01 0.02
gK
gN
Sabemos: gk
(1
)
0.05 0.30×0.02 0.70( 0.015)
0.70
)gl
gk
(1
gy
gB
7.78%
0.0778
gB
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