L
a sugerencia que proponíamos en
el Cuaderno No 1 y que siempre
presidirá los demás Cuadernos: Vamos a
estudiar matemática, pero no lo vamos a
hacer como si fuéramos simplemente unos
alumnos que posteriormente van a ser eva-
luados, y ya. No. Nosotros somos docentes
–docentes de matemática en su momento-
y este rasgo debe caracterizar la forma de
construir nuestro pensamiento matemático.
¿Qué signi?ca esto?
• La presencia constante de la meta
última de nuestro estudio: alcanzar unos
niveles de conocimiento tecnológico y re-
?exivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia
la búsqueda de aplicaciones de lo aprendi-
do, hacia el análisis de los sistemas que dan
forma a nuestra vida y utilizan ese conoci-
miento matemático, y hacia criterios socia-
les y éticos para juzgarlos.
• Construir el conocer de cada tópico
matemático pensando en cómo lo enseña-
mos en el aula, además de re?exionar acer-
ca de cómo nuestro conocer limita y con-
introducción
A modo de introducción…,
nuestro recordatorio
diciona nuestro trabajo docente. De esta
forma, integrar nuestra práctica docente en
nuestro estudio.
• Como complemento a lo anterior,
construir el conocer de cada tópico mate-
mático pensando en cómo lo podemos lle-
var al aula. Para ello, tomar conciencia del
procesoqueseguimosparasuconstrucción,
paso a paso, así como de los elementos
–cognitivos, actitudinales, emocionales…-
que se presenten en dicho proceso. Porque
a partir de esta experiencia re?exiva como
estudiantes, podremos entender y evaluar
mejor el desempeño de nuestros alumnos
–a su nivel- ante los mismos temas.
• En de?nitiva, entender que la mate-
mática es la base de su didáctica: la forma
en que se construye el conocimiento ma-
temático es una fuente imprescindible a la
hora de plani?car y desarrollar su enseñan-
za.
Y ahora, vamos al tema de este Cuader-
no, la circunferencia y el círculo.
5
P
L
fórmula para un cálculo aproximado (Eves,
1969): Si a, b, c y d son las longitudes de
los cuatro lados consecutivos de un cuadri-
látero, el área viene dada por: A = ¼ (a + c)
x (b + d).
1.2. Construcción de un cuadrilátero
Tratemos de construir un cuadrilátero
con cuatro segmentos que midan 4 cm, 3
cm, 2 cm y 11 cm, respectivamente. ¿A qué
conclusión llegamos?
Que no se puede construir. De aquí se
deduce una condición necesaria para la
construcción de cualquier cuadrilátero: la
longitud del segmento mayor debe ser me-
nor que la suma de las longitudes de los
otros tres segmentos.
Si se cumple esta condición, ¿cómo po-
demos construir un cuadrilátero convexo,
dadas las medidas de cuatro segmentos?
Podemos tomar dos de ellos y hacerlos co-
incidir en uno de sus respectivos extremos;
queda formado así un ángulo. Ahora, des-
de uno de los extremos libres trazamos un
arco cuya amplitud sea la medida de uno
de los otros dos segmentos. Y desde el otro
extremo libre trazamos otro arco cuya am-
plitud sea la medida del cuarto segmento.
El punto en que se cortan ambos arcos es el
cuarto vértice del cuadrilátero.
Reúnanse varios compañeros(as) y
construya, cada quien, un cuadrilátero cu-
yos lados midan, respectivamente: 7 cm,
5 cm, 13 cm y 8 cm. ¿Qué conclusión ex-
traen al observar las ?guras construidas por
todos(as)?
1. Cuadriláteros
1.1. Concepto y elementos
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. En la ?gura 1 se presentan dos ejem-
plos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para desig-
narlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices.
D
C
A J
H
B
Fig. 1: Cuadriláteros
Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos, entendien-
do por estos últimos los que se hallan en la región interna del polígono. Observamos que
cuando el cuadrilátero es convexo, todos sus ángulos miden menos de 180o, mientras que
en un cuadrilátero cóncavo hay un ángulo –y sólo uno- que mide más de 180o (< L).
Otro elemento a considerar son las diagonales. Todo cuadrilátero convexo posee dos,
mientras que si es cóncavo, posee una sola diagonal. Cuando se traza una diagonal, el
cuadrilátero se descompone en dos triángulos. De aquí deducimos que la suma de las
medidas de los ángulos de todo cuadrilátero es 360o.
Otros dos aspectos a destacar son el perímetro (suma de las longitudes de los lados)
y el área (medida de la región interior del cuadrilátero). Su cálculo tiene particular interés
en algunos casos especiales de cuadriláteros que se estudiarán más adelante. En términos
generales, el área de un cuadrilátero puede obtenerse a partir de la suma de las áreas de
los dos triángulos en que se descompone al trazarse una diagonal. En este punto puede
ser muy útil la fórmula de Herón de Alejandría (Cuaderno 13) para el cálculo de las áreas
de los triángulos, a partir de las medidas de los lados y de una diagonal del cuadrilátero.
También resulta de interés histórico recordar que los babilonios daban la siguiente
6
Laconclusiónesclara:conesasmedidas
pueden obtenerse tantos cuadriláteros dife-
rentes como personas intenten construirlo.
¿Por qué? Fundamentalmente, porque hay
varias opciones para seleccionar los dos
primeros segmentos y porque, una vez he-
cha esa selección, la amplitud del ángulo
formado por ellos puede variar, aunque tie-
ne un límite que no puede sobrepasar: la
distancia que separa los extremos libres
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