de
ambos lados del ángulo tiene que ser me-
nor que la suma de las longitudes de los dos
segmentos no utilizados (¿por qué?).
Como vemos, no basta con dar las lon-
gitudes de los cuatro lados, ya que con
solo este dato podemos construir in?nitos
cuadriláteros. Con el ?n de averiguar todas
las condiciones que necesitamos para cons-
truir un cuadrilátero determinado, lo mejor
es pasar por la siguiente experiencia: Tome
un cuadrilátero cualquiera (por ejemplo, di-
bujado por otra persona) y trate de dibujar
otro que sea congruente (sin calcarlo, claro)
utilizando regla y compás.
1.3. Clasi?cación de los cuadriláteros
Hemos visto que si se toma como refe-
rencia la existencia, o no, de algún ángulo
interno cuya medida sea mayor que 180o,
los cuadriláteros se clasi?can en cóncavos
o convexos, respectivamente.
Pero hay otro criterio que tiene que ver
con los lados de un cuadrilátero y, en parti-
cular, con la condición de paralelismo entre
ellos. Así,
En lo que resta trabajaremos en estas
clases de cuadriláteros, particularmente en
las dos primeras.
2. Paralelogramos
2.1. Concepto y elementos
Un paralelogramo ([parallelos] = para-
lelo + [gramme] = línea) es un cuadrilátero
que posee dos pares de lados paralelos.
Por esta razón, son polígonos convexos. En
la ?gura 2 se presentan algunos ejemplos.
Fig. 2: Paralelogramos
Si un cuadrilátero posee dos pares de la-
dos congruentes, ¿es un paralelogramo?
Pues no necesariamente. Véase la si-
guiente ?gura:
En un paralelogramo, los lados opuestos
son congruentes. Análogamente, los ángu-
los opuestos son congruentes. Y como la
suma de las medidas de los cuatro ángulos
es 360o, se sigue que dos ángulos conti-
guos son suplementarios (¿por qué?). De
este modo, dada la medida de un ángulo,
se conocen las de todos los demás.
Otro elemento de interés son las diago-
nales. Las dos diagonales de un paralelogra-
mo no tienen por qué ser congruentes, pero
siempre se cortan en sus puntos medios.
A partir de estas características se pue-
de de?nir a un paralelogramo de cualquiera
de estas tres maneras: Un paralelogramo es
un cuadrilátero:
• Que posee dos pares de lados para-
lelos
• Cuyos lados opuestos son congruen-
tes
• Cuyas diagonales se cortan en sus
puntos medios
1. Dibuje un cuadrilátero convexo cual-
quiera. Una los puntos medios de todos sus
lados. ¿Qué ?gura obtiene? ¿Y si el cuadri-
látero es cóncavo? ¿Por qué razón ocurre
esto?
7
2.2. Clasi?cación de los
paralelogramos
Tenemos varios criterios para clasi?car
a los paralelogramos:
a) Según sus lados y ángulos:
• Si posee los 4 lados congruentes, se
trata de un rombo
• Si posee los 4 ángulos congruentes,
es decir, rectos, se trata de un rectángulo
• Si posee ambas características (los 4
lados congruentes y los 4 ángulos rectos),
se trata de un cuadrado
• Si no posee ninguna de ambas carac-
terísticas, se trata de un romboide
En la ?gura 2 se representan, en este or-
den, un romboide, un rombo, un rectángulo
y un cuadrado. Observamos que un cuadra-
do puede de?nirse como un rombo cuyos
ángulos son rectos, o como un rectángulo
cuyos lados son todos congruentes.
b) Según sus diagonales:
Ya sabemos que en todos los parale-
logramos las diagonales se cortan en sus
puntos medios. Veamos ahora qué tienen
de particular en cada una de las clases de
paralelogramo:
• Si son perpendiculares, se trata de un
rombo
• Si son congruentes, se trata de un
rectángulo
• Si son perpendiculares y congruen-
tes, se trata de un cuadrado.
8
• Si no son ni perpendiculares ni congruentes, se trata de un romboide
Como puede apreciarse, la aplicación de los dos criterios de clasi?cación desemboca
en las mismas clases de paralelogramos.
2. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes a?rmaciones. Ayúdese trazando
las ?guras que crea pertinentes.
a) Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares
b) Si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares, entonces es un rombo
c) Si en un cuadrilátero las diagonales son congruentes, entonces es un rectángulo
d) Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en sus puntos medios, entonces es un
romboide
e) Si en un cuadrilátero los lados son todos congruentes, así como los ángulos, enton-
ces se trata de un cuadrado
f) Si en un paralelogramo las diagonales son congruentes, entonces es un rectángulo
g) Puede haber paralelogramos cuyas diagonales no se cortan en sus puntos medios
h) Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces sus diagonales son congruentes
i) Todo cuadrado es un rectángulo
j) Es posible un cuadrilátero con sólo dos ángulos rectos no contiguos
k) Es posible un cuadrilátero con sólo tres lados congruentes
l) Todo rombo es un cuadrado
3. Indique cuántos rectángulos hay en la siguiente ?gura:
4. Indique cuántos rombos hay en la siguiente ?gura:
5. ¿Cuál es el menor número de palitos que se pueden
retirar para que queden sólo 3 cuadrados?
¿Y para que queden sólo 3 cuadrados congruentes?
6. Forme 6 cuadrados
moviendo sólo 2 de los 12
palitos de la ?gura.
7. Obtenga 10 cuadrados moviendo
sólo 4 palitos de los 12 de la ?gura:
8. Y ahora obtenga 5 cuadrados mo-
viendo también 4 palitos de la ?gura.
9. En el cuadrado de la ?gura hay 9
objetos colocados a igual distancia hori-
zontal y vertical unos de otros. Trace dos
cuadrados interiores, de modo que cada
objeto quede aislado de todos los demás.
2.3. Relación entre triángulos y para-
lelogramos
En el Cuaderno 13 decíamos que si se
traza cualquiera de las dos diagonales de
un paralelogramo, su región interior queda
dividida en dos triángulos que resultan ser
congruentes, ya que los tres pares de lados
correspondientes son congruentes.
Y agregábamos que todo triángulo pue-
de considerarse derivado de la bisección
de un paralelogramo por cualquiera de sus
diagonales. Vamos a ver este aspecto con
más detalle, analizando cómo se origina cada uno de los diferentes tipos de triángulos, a
partir de cierta clase de paralelogramo en particular.
Veri?que cada una de las situaciones propuestas en la tabla anterior; es decir, trace
cada uno de los paralelogramos propuestos y la diagonal indicada, y observe cómo se
obtiene cada uno de los tipos de triángulos señalados.
10. Considere los cuatro triángulos en que se divide el interior de un paralelogramo
cuando se trazan las dos diagonales.
a) ¿Pueden formarse cuatro triángulos equiláteros?
b) ¿Y cuatro triángulos isósceles? ¿En qué caso(s)?
c) ¿Y cuatro triángulos escalenos? ¿En qué caso(s)?
d) ¿Y cuatro triángulos rectángulos? ¿En qué caso(s)?
e) ¿Y cuatro triángulos rectángulos e isósceles? ¿En qué caso(s)?
2.4. Construcción de paralelogramos
a) Mediante el uso de las herramientas geométricas
Observamos que, en cuanto a lados y ángulos:
9
cuyos ángulos mide 60o
d) Un rombo cuyas diagonales miden 3
y 5 cm
e) Un rectángulo cuyas diagonales mi-
den 8 cm, tal que el ángulo formado entre
ellas mide 60o
f) Un romboide cuyos lados miden 3 y 7
cm y uno de cuyos ángulos mide 150o
g) Un rectángulo cuyos lados miden 4
y 6 cm
h) Un romboide cuyas diagonales miden
6 y 8 cm, tal que el ángulo formado entre
ellas mide 45o
11. Si las diagonales de un rectángulo
forman un ángulo de 90o, ¿de qué ?gura
se trata?
a) Construya un rectángulo sabiendo
que uno de los lados mide 5 cm y una de
las diagonales, 13 cm.
b) Construya un rombo sabiendo que su
lado mide 5 cm y una de las diagonales, 6
cm.
c) Construya un romboide sabiendo que
su lado mayor mide 5 cm, 6 cm su diagonal
mayor, y que ambos segmentos forman un
ángulo de 20o.
Si usted toma dos varillas o palitos
rectilíneos de diferente longitud y los uti-
liza como diagonales, ¿qué paralelogramos
puede construir (al unir los extremos de las
varillas)? Hágalo. Y si ahora toma dos vari-
llas o palitos rectilíneos de igual longitud y
los utiliza como diagonales, ¿qué paralelo-
gramos puede construir (al unir los extre-
mos de las varillas)? Hágalo también.
Si utilizamos regla y compás, o regla y
escuadra, podemos servirnos de las técni-
cas de construcción descritas en el Cuader-
no 12. En particular, de las siguientes:
• Trazar segmentos cuya medida nos es
dada
• Trazar perpendiculares a un segmento
en sus puntos extremos
• Construir ángulos cuya medida nos es
dada
• Trasladar ángulos sobre la recta en
que se asienta uno de los lados
Pero también podemos observar que, en
cuanto a diagonales:
10
También en este caso, si utilizamos re-
gla y compás, o regla y escuadra, podemos
servirnos de las técnicas de construcción
descritas en el Cuaderno 12. En particular,
de las siguientes:
• Trazar segmentos cuya medida nos es
dada
• Obtener el punto medio de un seg-
mento
• Trazar la mediatriz de un segmento
• Construir ángulos cuya medida nos es
dada
• Trazar segmentos que unen pares de
puntos dados
Ármese de paciencia y construya los
siguientes paralelogramos. Hágalo como lo
desee.
a) Un cuadrado de 5 cm de lado
b) Un cuadrado cuya diagonal mide 6
cm
c) Un rombo de 4 cm de lado y uno de
b) Mediante la yuxtaposición de los
correspondientes tipos de triángulos
Si nos referimos a la tabla propuesta en
el párrafo 2.3. (obsérvela un momento), en-
contramos que al yuxtaponer por la “diago-
nal” dos triángulos congruentes indicados
en cada caso, se obtendrá el paralelogramo
correspondiente. Por ejemplo, yuxtaponer
por la hipotenusa dos triángulos rectángu-
los congruentes, nos genera un rectángulo;
o dos triángulos obtusángulos congruentes,
por su lado más largo, nos genera un rom-
boide:
Fig. 3: Construcción de paralelogramos a
partir de triángulos
Trate de construir los demás paralelo-
gramos por una vía similar; lo puede hacer
recortando pares congruentes de diversos
triángulos y yuxtaponiéndolos, según lo in-
dicado en la tabla del punto 2.3. De esta
forma se termina de advertir la relación que
existe entre triángulos y paralelogramos.
c) Mediante el uso de cintas o bandas
que se intersectan
Al superponer dos bandas, como se
muestra en la ?gura 4, la zona de intersec-
ción de ambas forma un paralelogramo. Los cuatro puntos de intersección son los vértices.
Fig. 4: Construcción de un paralelogramo a partir de dos bandas
Las distintas clases de paralelogramos se construyen de esta manera (hágalo por su
cuenta):
2.5. Perímetro y área de paralelogramos
a) El perímetro de los distintos tipos de paralelogramos se calcula así:
• En un rombo o en un cuadrado de lado l: perímetro = 4 x l
• En un rectángulo o en un romboide de lados a y b: perímetro = 2 x (a + b)
b) El área de un paralelogramo
Recordemos que el área de un polígono se de?ne como la medida de la super?cie
de su región interior. Para llegar a una expresión que relacione esta medida con la de los
elementos de un paralelogramo, empezamos por considerar un cuadrado cuyo lado mide
1 unidad (u) de longitud (puede ser 1 cm, 1 m, etc.). Se dice que este cuadrado unitario
tiene un área de 1 unidad cuadrada (1 u2).
Y esta es la unidad para medir las áreas de cualquier super?cie plana y, en particular,
de cualquier polígono. Medir el área de un paralelogramo consiste en averiguar cuántas
veces su super?cie contiene a un cuadrado unitario, en las unidades dadas.
11
En el Cuaderno 13 observamos que las
?guras cuya área resulta más sencilla de
medir son los rectángulos. Para calcular,
por ejemplo, el área de un rectángulo cuyos
lados miden 4 y 3 cm, nos imaginamos la
?gura “fraccionada” en 12 cuadrados unita-
rios de 1 cm de lado y 1 cm2 de área:
Vale la pena hacer una mención especial en el caso del rombo, ya que su área puede
determinarse a partir de las medidas de sus diagonales. Observe que si se multiplican
ambas medidas, se obtendría el área de un rectángulo que duplicaría la del rombo (trace
la ?gura correspondiente). Por lo tanto, si las diagonales miden a y b, el área del rombo
viene dada por A = ½ (a x b). En el caso particular de un cuadrado de diagonal d, su área
es: A = ½ d2.
Veri?que que la fórmula manejada por los babilonios para el cálculo aproximado del
área de un cuadrilátero: A = ¼ (a + c) x (b + d), siendo a, b, c y d las longitudes de los cua-
tro lados consecutivos del cuadrilátero, se ajusta exactamente al caso de los rectángulos,
pero no al de los rombos (no cuadrados) y romboides.
La relación establecida por el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 (ver Cuaderno 13),
puede interpretarse así: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa (c2) equivale
Fig. 5: Área de un rectángulo a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos (a2 +
b2) [Si desea una visualización dinámica de esta interpretación, puede acudir a la red en
El área del rectángulo es de 12 cm2. E la dirección http://www.walter-fendt.de/m11s/index.html y llegar a la sección “Teorema
inferimos que si las dimensiones de sus la- de Pitágoras”].
dos son b (base) y h (altura), su área vendrá
dada por A = b x h. Como un caso particu- c) Las unidades para medir los perímetros y las áreas
lar, el área de un cuadrado de lado l vendrá
dada por: A = l2. c.1) Aunque hasta ahora nos hemos referido con cierta frecuencia a la medida de
longitudes –de segmentos, lados, perímetros de polígonos, distancias…-, no hemos dicho
Si ahora consideramos un romboide nada acerca de las unidades en que tales medidas se re?eren. Las unidades universalmen-
como el de la izquierda, observamos que te reconocidas conforman el sistema decimal de medidas de longitud. Las que se utilizan
siempre es posible “pasar” a un rectángulo habitualmente son:
como el de la derecha (igual ocurre con un
rombo), de la misma área, ya que la “pesta-
ña” triangular simplemente se ha desplaza-
do de lugar de una ?gura a otra:
La unidad fundamental de este sistema es el metro. Sus múltiplos aparecen a su iz-
quierda en la tabla y sus submúltiplos, a la derecha. El carácter decimal de este sistema
h signi?ca que cada unidad de un orden dado equivale a 10 unidades del orden inmedia-
tamente inferior; y que 10 unidades de cualquier orden equivalen a 1 unidad del orden
b
Fig. 6: Área de un romboide
En de?nitiva, el área del romboide y, en Existen otras unidades dentro de este sistema, que se utilizan en aquellas aplicaciones
general, de cualquier paralelogramo viene que tienen que manejar longitudes muy pequeñas; por ejemplo, la micra (millonésima
dada por A = b x h, que describe el produc- parte de un metro), el ángstrom (diezmilmillonésima parte de un metro), etc.
to de las medidas de su base y de su altura.
12
Cuando se trata de medir distancias entre puntos de la super?cie terrestre se utiliza
habitualmente el kilómetro. También tiene uso la milla. Inicialmente esta unidad corres-
pondía a la distancia que una legión romana recorría al dar mil (de ahí el nombre) pasos
“dobles” (dos pasos sucesivos), y que equivalía casi a 1,5 Km. Actualmente está vigente la
milla marina, utilizada en navegación marítima y aérea; corresponde a la longitud, sobre la
esfera terrestre, de un minuto de arco de un meridiano y equivale a 1.852 m.
Para medir distancias mayores, como en astronomía, se utilizan otras medidas no de-
cimales; por ejemplo, el año luz (distancia recorrida por la luz solar en un año, a la velo-
cidad de 300.000 Km/s), el parsec (3,26 años luz), etc.
Estime (en metros) la longitud de los siguientes objetos:
a) la altura de una pared del aula de clase b) la anchura de esa misma pared
c) la anchura de la puerta del aula d) la altura de una de las ventanas del aula
Todas las culturas han creado y manejado sus propios sistemas de medida de longitu-
des, con sus unidades correspondientes, algunas de las cuales todavía pueden estar vigen-
tes. Conocerlas y valorarlas tiene que formar parte de nuestro bagaje matemático.
12. Complete la tabla siguiente:
c.2) En cuanto a la medida de super?cies, ya hemos mencionado que la unidad bá-
sica siempre es un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud. Así se forman las
unidades del sistema decimal de medidas de super?cie o área. Las que se utilizan habi-
tualmente son:
La unidad fundamental de este sistema
es el metro cuadrado. Sus múltiplos apare-
cen a su izquierda en la tabla y sus submúl-
tiplos, a la derecha. El carácter decimal de
este sistema signi?ca que cada unidad de
un orden dado equivale a 100 unidades del
orden inmediatamente inferior; y que 100
unidades de cualquier orden equivalen a 1
unidad del orden inmediatamente superior.
También en la medida de super?cies
existen otras unidades vigentes. Entre ellas
destaca la hectárea (Ha), que es el área
de un cuadrado de 100 m de lado; coinci-
de, pues, con el hectómetro cuadrado. En
muchos núcleos urbanos la hectárea suele
aproximarse al tamaño del solar ocupado
por una manzana de casas. Un submúltiplo
de la Ha es el área (a), que coincide con 1
Dm2.
También deben conocerse y valorarse
las unidades de medida de super?cies pro-
pias de nuestras culturas locales o regiona-
les.
13. a) ¿A qué equivale la centésima parte
de un Km2?
b) ¿Es cierto que la décima parte de un
m2 equivale a un dm2?
c) ¿Por qué cantidad debe multiplicarse
un Dm2 para obtener un m2?
d) ¿Es cierto que 100 Ha equivalen a 1
km2?
14. Complete la tabla siguiente:
13
Escriba la extensión de la super?cie de
su país en hectáreas.
Estime (en m2) el área de las siguientes
super?cies y verifíquelo después:
a) el piso del aula de clase
b) la pared más grande del aula de clase
c) la cancha de deporte de la escuela
d) la pizarra del salón de clase
e) la puerta del aula de clase
f) la ventana más pequeña del salón
d) La resolución de problemas referidos
a perímetros y áreas de paralelogramos
Calcule el perímetro de un cuadrado cuya
área mide 64 cm2.
14
Si el área es de 64 cm2, el lado mide
8 cm (64 = 82) y el perímetro: 4 x 8 cm =
32 cm. ¿Se puede concluir que siempre el
perímetro de un cuadrado es la mitad de la
medida de su área (cada una en sus corres-
pondientes unidades)?
Calcule el área de un rectángulo sa-
biendo que uno de los lados mide 5 cm y
una de las diagonales, 13 cm.
Si hace la ?gura verá que se forma un
triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos
mide 5 cm, y la hipotenusa, 13 cm. Aplica-
mos el teorema de Pitágoras para obtener
la medida del otro cateto: x2 = 132 – 52 =
169 – 25 = 144 = 122. Por lo tanto, el otro
cateto mide 12 cm, y el perímetro: 2 x (5
+ 12) = 34 cm.
De todos los rectángulos que tienen 36
cm2 de área, ¿cuál es el que tiene menor
perímetro?
La idea es ir recorriendo todos los pa-
res de factores (base y altura) cuyo pro-
ducto sea 36, y calcular el perímetro co-
rrespondiente. Por ejemplo, si son 1 y 36,
el perímetro será de 74 cm; si son 3 y 12,
el perímetro será 30 cm; y será de 26 cm
cuando sean 4 y 9. Por esta vía se llega a
que el menor perímetro se obtiene cuando
se trata de los factores 6 y 6: 24 cm; es de-
cir, cuando se trata del cuadrado de 6 cm
de lado. ¿Puede generalizarse el resultado
para todo rectángulo? ¿Cómo formularía
esa generalización?
Considere las dos ?guras A y B (A es un
rectángulo de base 12 cm y altura 5 cm):
La ?gura B se obtiene separando los dos
trozos del rectángulo A y B volviéndolos a
unir de la forma indicada.
B
A
¿Las dos ?guras tienen la misma área?
¿El mismo perímetro?
Puede verse que las dos ?guras tienen
la misma área. En cuanto al perímetro, el
del rectángulo A es 2 x (5 + 12) = 34 cm.
La ?gura B es un triángulo isósceles; los
dos lados congruentes son las diagonales
del rectángulo, cuya medida es de 13 cm,
según acabamos de calcular. El otro lado
mide el doble de la altura del rectángulo,
10 cm. El perímetro de B es, pues, 10 + 13
+ 13 = 36 cm, mayor que el de A. Esta es
una transformación que conserva el área,
pero no el perímetro.
En el rectángulo ABCD de la ?gura, AB
= 20 cm, BC = 16 cm; M y N son los puntos
medios de sus respectivos lados. ¿Cuánto
mide el área del cuadrilátero ANCM?
M
D C
N
A B
No existen fórmulas sencillas para cal-
cular directamente el área del cuadrilátero.
Es preferible obtenerla indirectamente, es
decir, calcular el área del rectángulo ABCD
( 4 x
) =
a2/16.
Y como el área del cuadra-
y restarle la suma de las áreas de ? ABN
y ? AMD:
Área ABCD = 20 cm x 16 cm = 320 cm2
Área ? ABN = ½ (AB x BN) = ½ (20 cm x
8 cm) = 80 cm2
Área ? ADM = ½ (AD x DM) = ½ (16 cm
x 10 cm) = 80 cm2
Área cuadrilátero ANCM = 320 – (80 +
80) = 160 cm2
¿Qué fracción del área total del cuadrado
representa el área del ? ABC, si la distancia
entre dos puntos extremos consecutivos de
los segmentos que parten de A, es igual a
la cuarta parte del lado a del cuadrado?
A
M
B
C
D
N
En la ?gura se han determinado 12 seccio-
nes triangulares; a primera vista, pareciera
que cada una de ellas representa 1/12 del
área total del cuadrado. Veamos. El área del
? ABC es igual a la mitad del producto de
las medidas de su base y de su altura. Si
consideramos BC como su base, la altura
viene dada por el segmento AM (observe
que los ? ABM, ?
ABC, ? ACD y ? ADN tienen la misma
altura AM; y también la misma medida de
la base).
Así, pues, área ? ABC = ½ (BC x AM) = ½
a a
2
do es a2, el área de ? ABC es 1/16 del área
total. ¿Las 12 secciones triangulares tienen
la misma área?
El área de una ?gura se mide con unidades
cuadradas cuyo lado tiene una longitud u, y
se obtiene como resultado 36 u2. Si ahora
se utiliza como unidad de medida un cua-
drado cuyo lado tiene la mitad de esa lon-
gitud, v = u/2, ¿cuánto medirá el área de la
?gura en estas nuevas unidades?
La longitud del cuadrado que se toma
ahora como unidad de medida del área se
ha reducido a la mitad; esto signi?ca que su
área se ha reducido a la cuarta parte (no a
la mitad): v2 = u2/4. Por consiguiente, si la
unidad de medida de área se ha reducido
a la cuarta parte, el área medida con estas
unidades se habrá cuadruplicado y medirá
144 v2.
La ?gura está formada por dos cuadra-
dos congruentes de lado a. Uno de ellos
parece “colgar” del centro del otro cuadra-
do.¿Cuáleseláreadelcuadriláteroformado
por la intersección de ambos cuadrados?
Ya hemos dicho
que no hay fórmu-
las sencillas para
calcular el área de
un cuadrilátero. Va-
mos a plantearnos
el problema de otra
manera.
En la ?gura, los
dos segmentos pun-
teados determinan,
con los lados de los cuadrados, dos trián-
gulos rectángulos congruentes, uno en el
interior del cuadrilátero cuya área busca-
mos, y el otro en la parte superior externa.
Si el primero se desplaza sobre el segundo,
el área del cuadrilátero no ha variado. Pero
la ?gura se ha convertido ahora en un cua-
drado, equivalente a la cuarta parte de los
cuadrados dados, es decir, de área a2/4. Esa
es el área buscada.
Calcule el perímetro de la ?gura:
6 cm
9 cm
Evidentemente, el perímetro mide 30 cm.
Para obtenerlo, basta “desplazar” los dos
segmentos de la parte cóncava de la ?gura,
el horizontal hacia arriba y el vertical hacia
la derecha, para ver que se forma un rec-
tángulo del mismo perímetro.
Trabajando sobre un geoplano se han de-
limitado las regiones A, B, C y D. Obtenga
el valor de la siguiente expresión:
área de A + (área de B + área de D)
área de D área de C
15
Calculemos las áreas de cada una de
las regiones indicadas. Para ello contamos
los cuadrados unitarios (área = 1 u2) y su-
mamos las áreas de los “medio-cuadrados”
(área = ½ u2) que cada región incluye: Área
de la región A = 2 u2; área de la región B =
6 u2; área de la región C = 7 u2; área de la
región D = 1 u2.
De aquí se sigue:
área de A + ( área de B + área de D) =
área de D área de C
2 u2 + 6 u2 + 1 u2 = 2 + 1 = 3
1 u2 7 u2
He aquí otros problemas para que inten-
te resolverlos por su cuenta:
15. Calcule el área de un rombo sabiendo
que su lado mide 5 cm y una de las diago-
nales, 6 cm.
16. De todos los rectángulos que tienen
20 cm de perímetro, ¿cuál es el que tiene
mayor área? ¿Puede llegar a alguna genera-
lización a partir de este resultado?
17. Tenemos un rectángulo cuyos lados
miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto medirá la altura
de otro rectángulo que tenga la misma área
y una base de 12 cm? ¿Los dos rectángulos
tienen el mismo perímetro?
16
18. Seguimos con el mismo rectángulo,
cuyos lados miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto me-
dirá la altura de otro rectángulo que ten-
ga el mismo perímetro y una base de 12
cm? ¿Los dos rectángulos tienen la misma
área?
19. ¿Es cierto que los cuatro triángulos
que las dos diagonales determinan en el
interior de un rectángulo, tienen todos la
misma área?
20. Un rectángulo tiene 114 cm de pe-
rímetro y un área de 810 cm2. ¿Cuál es el
área del mayor cuadrado que puede estar
contenido dentro del rectángulo?
21. Un cuadrado de perímetro 16 cm
está contenido dentro de otro cuadrado de
perímetro 24 cm. ¿Cuánto mide el área de
la región del cuadrado mayor que no está
ocupada por el cuadrado menor? ¿In?uye
en el resultado la posición del cuadrado
interior?
22. De todos los rombos cuyos lados mi-
den 5 cm, ¿cuál es el de mayor área?
23. Dibuje un cuadrado de lado a; y de
todos los cuadrados interiores cuyos vér-
tices estén ubicados uno en cada uno de
los lados del cuadrado inicial, trace aquel
cuya área sea la menor posible. ¿Cuánto
mide esta área?
Tenemos una lámina cuadrada de 60 cm
de lado. ¿Cómo podemos cortarla en dos
piezas iguales tales que, ensambladas ade-
cuadamente, obtengamos un rectángulo
de dimensiones 90 cm x 40 cm?
C
Q
N
a b
A P B
En el cuadrado ABCD insertamos el
cuadrado MNPQ. Los cuatro triángulos rec-
tángulos: ? APQ, ? BNP, ? CMN y ? DQM
son congruentes, ya que sus ángulos agu-
dos son congruentes (tienen sus lados res-
pectivamente perpendiculares) y también
sus hipotenusas.
Denotamos con:
a la medida de los catetos AP, BN, CM y
DQ
b la medida de los catetos QA, PB, NC
y MD
c la medida de las hipotenusas QP, PN,
NM y MQ
El área del cuadrado mayor viene dada
por el cuadrado de la medida de su lado,
es decir, por (a + b)2, cuyo desarrollo (ver
Cuaderno 6) sabemos que es: a2 + b2 + 2
x a x b.
El terreno de la ?gura
está formado por la yux-
taposición de tres cuadra-
dos congruentes. Trate de
dividirlo en cuatro partes
congruentes.
Veamos ahora este resultado:
D M
c
El área del cuadrado interno viene dada por: c2.
El área de los 4 triángulos rectángulos interiores es: 4 x ½ (a x b) = 2 x a x b.
Ahora bien, el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas del cuadrado
interior y de los cuatro triángulos rectángulos; es decir:
a2 + b2 + 2 x a x b = c2 + 2 x a x b
Podemos restar 2 x a x b en cada uno de los miembros de la igualdad, con lo que llega-
mos a una nueva igualdad: c2 = a2 + b2. Acabamos de presentar una nueva demostración
del teorema de Pitágoras…
3.Trapecios
3.1. Concepto y elementos
Como ya se dijo, un trapecio ([trapeza] = mesa de cuatro patas) es un cuadrilátero que
posee un solo par de lados paralelos. Por esta razón, son polígonos convexos. En la ?gura
7 se presentan algunos ejemplos.
Fig. 7: Trapecios
Los elementos del trapecio son sus lados, ángulos y diagonales. Cabe señalar que los
dos lados paralelos reciben el nombre de base mayor y base menor, de acuerdo con su
medida. Y la distancia que separa ambas bases se denomina la altura del trapecio.
La ?gura del trapecio es uno de los elementos arquitectónicos destacados en nuestras
culturas americanas autóctonas. El frente de las pirámides tiene forma de trapecio, así
como las ventanas y puertas de numerosos edi?cios, sobre todo a lo largo de la cordillera,
de los valles y del altiplano andinos. Quizá su uso se debió a la mayor resistencia que tales
estructuras presentan frente a los terremotos…
24. En el pentágono de la ?gura, trace to-
das las diagonales y determine cuántos trape-
cios se forman.
3.2. Clasi?cación de los trapecios
Los trapecios se clasi?can de acuerdo
al criterio de los ángulos que forman los
lados no paralelos con la base mayor. Si
ambos ángulos son congruentes, el trapecio
se denomina isósceles; los lados no parale-
los son también congruentes. Y si uno de
estos lados forma un ángulo recto con la
base mayor (y, por consiguiente, también
con la base menor), se denomina trapecio
rectángulo. En los demás casos se habla de
trapecios, sin más.
Fig. 8: Trapecios isósceles y rectángulo
3.3. Construcción de algunos trapecios
a) Construir un trapecio rectángulo, co-
nocidas las longitudes de ambas bases y la
altura.
Trazada la base mayor, en uno de sus
extremos se levanta un segmento perpendi-
cular cuya longitud coincida con la altura. Y
por el extremo libre de este último segmen-
to se levanta otro segmento perpendicular
cuya longitud coincida con la base menor.
Finalmente, se unen los extremos libres de
ambas bases. Observe que siempre pueden
construirse dos trapecios de esta manera…
b) Construir un trapecio isósceles, cono-
cidas las longitudes de los cuatro lados.
Trazada la base mayor, sobre ella se
17
A = 1/2 (B + b) x h
x h
ó
A
E
N
M
M
superpone un segmento congruente con
la base menor, de tal forma que coinci-
dan los puntos medios de ambos segmen-
tos (¿cómo puede hacerlo?). Por los dos
extremos de este segmento menor super-
puesto sobre la base mayor, se levantan
sendas perpendiculares. Ahora, desde
los extremos de la base mayor se trazan
sendos arcos, cuya amplitud sea igual a
la longitud de los lados no paralelos. Los
puntos de corte de estos arcos con las dos
perpendiculares trazadas previamente
determinan los vértices faltantes. Ahora
se trazan la base menor y los dos lados
faltantes.
Construya un trapecio conocidas las
medidas de una de las bases, de sus lados
no paralelos y de su altura.
3.4. Perímetro y área de trapecios
El cálculo del perímetro de un trape-
cio no responde a ninguna fórmula par-
ticular; simplemente se obtiene sumando
las medidas de sus cuatro lados. En cuan-
to al cálculo de su área, vamos a estudiar
distintas alternativas de llegar a la fórmula
que la expresa.
a) En el trapecio AECD hemos trazado
la diagonal AC, que divide la región inte-
D C
h
A E
rior en dos triángulos: ? AEC y ? CDA.
El área del trapecio viene dada por la
18
suma de las áreas de los dos triángulos: ½
(AE x h) + ½ (DC x h). Esta altura h es la
misma para ambos triángulos y coincide
con la altura del trapecio. Observamos que
AE y CD son las bases mayor y menor del
trapecio, que designamos por B y b, res-
pectivamente.
Por consiguiente: Área del trapecio =
½ (B x h) + ½ (b x h) = ½ (B + b) x h. En
otras palabras, el área de un trapecio vie-
ne dada por el producto de la semisuma
de las medidas de las bases por la medida
de su altura.
B + b
2
b) Las dos perpendiculares a las ba-
ses trazadas en el trapecio determinan
tres regiones en su interior: dos triángulos
rectángulos y un rectángulo. La suma de
sus respectivas áreas equivale al área del
trapecio.
D C
h
M N
Área del trapecio = ½ (AM x h) + MN
x h + ½ (NE x h). Si en esta suma aplica-
mos la propiedad distributiva (sacamos
factor común ½ x h), llegamos a:
Área del trapecio = ½ x h x (AM + 2
x MN + NE). Ahora bien, 2 x MN puede
interpretarse como MN + MN o, lo que
es lo mismo, MN + DC (¿por qué?). Y así
llegamos a:
Área del trapecio = ½ x h x (AM + MN
+ NE + DC). Ahora bien, AM + MN + NE =
AE. Y si designamos a AE y CD por B y b,
respectivamente, tenemos de nuevo:
Área del trapecio = 1/2 x h x (B + b)
c) En la ?gura están yuxtapuestos dos
trapecios congruentes, uno de ellos inverti-
do con respecto al otro. La unión de ambas
?guras produce un paralelogramo, cuya al-
tura es la misma del trapecio, y cuya base
es la suma de las dos bases del trapecio.
D C N
A E M
El área de este paralelogramo, que es el
doble del área del trapecio, es (B + b) x h.
Por consiguiente, el área del trapecio es la
mitad: ½ (B + b) x h.
d) En la ?gura de la izquierda se muestra
un trapecio con el segmento punteado m
que une los puntos medios de los lados no
paralelos; este segmento es paralelo a am-
bas bases.
D C
m
A E
Si se recorta el trapecio por m y se hace
centro de giro en M, se obtiene la ?gura de
la derecha, que es un paralelogramo cuya
base es B + b y cuya altura es h/2 (¿por
qué?); el área de este paralelogramo es,
pues, (B + b) x h/2. Como en esta transfor-
mación el área se ha conservado, se deduce
que el área del trapecio es también (B + b)
x h/2.
e) En la ?gura de la izquierda se muestra
un trapecio con el segmento punteado m
que une el vértice D con el punto medio M
del lado CE.
D C
M M
A E
Si se recorta el trapecio por m y se hace
centro de giro en M, se obtiene la ?gura de
la derecha, que es un triángulo cuya base
es B + b y cuya altura es h (¿por qué?); el
área de este triángulo es, pues, ½ (B + b) x
h. Como en esta transformación el área se
ha conservado, se deduce que el área del
trapecio es también ½ (B + b) x h.
Como podemos ver, hay, al menos, cin-
co maneras diferentes de llegar a la fórmula
que expresa el área de un trapecio en fun-
ción de las longitudes de sus bases y de su
altura; como para no olvidarse… Este es un
buen ejemplo de la presencia de la diversi-
dad en la construcción de los conocimien-
tos matemáticos.
Además, así como hemos venido a la fór-
mula del área de un trapecio partiendo de las
del triángulo y del paralelogramo, también es
posible hacer el camino inverso.
Un triángulo puede de?nirse como un
trapecio cuya base menor se ha reducido
a un punto; es decir, b = 0. Así, el área del
triángulo, visto como un trapecio, es: A = ½
(B + 0) x h = ½ (B x h).
Análogamente, un paralelogramo puede
de?nirse como un trapecio cuya base menor
se ha hecho congruente con la base mayor;
es decir, b = B. Así, el área del paralelogra-
mo, visto como un trapecio, es: A = ½ (B +
B) x h = ½ x 2 x B x h = B x h.
Curiosa la matemática, que nos permite
recorrer caminos en ambos sentidos…
3.5. La resolución de problemas referi-
dos a trapecios
25. Calcule la medida de la altura de un
trapecio cuyas bases miden 18 y 10 cm y
cuya área es de 154 cm2.
26. Calcule la medida de la base menor
de un trapecio cuya área es de 48 m2, con
una altura de 6 m y una base mayor de 10,5
m.
En el trapecio ABCD de la ?gura, la dia-
gonal BD es congruente con el lado AD;
además, el < DCB mide 110o y el < DBC
mide 30o. ¿Cuánto mide el < ADB?
D C
A B
Como referencia para el problema, sa-
bemos que la suma de las medidas de los
ángulos de un triángulo es de 180o. Así,
en el ? DCB: < DCB + < DBC + < BDC =
180o; es decir: 110o + 30o + < BDC = 180o;
de donde < BDC = 40o.
Ahora bien, como DB es un segmento
que corta a las paralelas AB y DC, los ángu-
los < BDC y < DBA son congruentes (¿por
qué?); por lo tanto, < DBA mide también
40o. Por otro lado, como AD y DB son con-
gruentes, el ? ABD es isósceles, y el < DAB
mide 40o. Luego, en este mismo ? ABD, <
ADB + 40o + 40o = 180o; de donde < ADB
= 100o.
En el trapecio rectángulo ADCB de la
?gura se tienen las siguientes medidas: AB
= 7 cm; AD = 5 cm; y CD = 4 cm. Además,
ED es perpendicular a AB. Calcule el perí-
metro del trapecio.
A E B
D C
Por construcción, la ?gura DCBE es un
rectángulo. El segmento EB mide 4 cm (¿por
qué?), de donde se in?ere que AE mide 3
cm. En el ? ADE, que es rectángulo, cono-
cemos las medidas de AD (hipotenusa) y AE
(cateto). Al aplicar el teorema de Pitágoras
tenemos: ED2 = 52 – 32 = 16; de donde, ED
= 4 cm. Luego, en el rectángulo DCBE, BC
= 4 cm (¿por qué?). El perímetro mide: 7 +
5 + 4 + 4 = 20 cm.
19
se sigue que cada ángulo interno mide la suma anterior dividida entre n, es decir,
x
4. Polígonos regulares
4.1. Concepto y elementos
Un polígono se denomina regular cuando todos sus lados son congruentes, así como
sus ángulos internos. Observe que ambas condiciones son necesarias; puede veri?car,
con ejemplos adecuados, que no basta con una sola de ellas. Por esta razón, los polígonos
regulares son convexos. El triángulo equilátero y el cuadrado son ejemplos de polígonos
regulares de 3 y 4 lados, respectivamente. En los demás casos, se habla de pentágono re-
gular, hexágono regular, etc.
Fig. 9: Algunos polígonos regulares
Observe en su entorno (objetos, dibujos en revistas, periódicos y otros materiales escri-
tos…) y trate de identi?car ?guras que tengan la forma de un polígono regular.
Todos los lados de un polígono regular son congruentes; de aquí que, si la medida de
un lado es l, el perímetro p de un polígono regular de n lados viene dado por: p = n x l.
Los ángulos internos, formados por dos lados consecutivos son también congruentes.
Como la suma de los ángulos internos en un polígono de n lados es (n – 2) x 180o, de aquí
n – 2
n
180o. Así, por ejemplo, la suma de los ángulos internos de un hexágono regular es (6 – 2) x
180o = 720o. Y cada ángulo interno mide 720o / 6 = 120o.
Las diagonales de un polígono regular (a excepción del triángulo equilátero, que no
posee ninguna) son también congruentes. Recordemos que el número de diagonales de
un polígono regular de n lados viene dado por nx(n – 3 ) . Así, un hexágono regular posee
6x( 6 – 3 ) = 9 diagonales. 2
2
20
Todo polígono regular posee un centro o
punto central. Si el polígono tiene un núme-
ro par de lados, el centro viene dado por la
intersección de cualquier par de diagonales;
y si el polígono tiene un número impar de
lados, el centro viene dado por la intersec-
ción de dos segmentos que partan de sen-
dos vértices y vayan hasta el punto medio
de los lados “opuestos” a esos vértices.
Establecido el centro de un polígono
regular podemos hablar de su ángulo cen-
tral, que es el ángulo formado por dos seg-
mentos que parten del centro y van hasta
dos vértices consecutivos. El valor de este
ángulo central en un polígono regular de n
lados viene dado por 360o/n. En la ?gura 10
se muestra el ángulo central < AOB de un
hexágono regular, cuya medida es 360o/6 =
60o.
O
a
A P B
Fig. 10: Angulo central y apotema de un
polígono regular
Finalmente, podemos hablar de la apote-
ma (apotema = apo [desde afuera] + tithe-
mi [colocar] = colocar desde afuera) de un
polígono regular, que es el segmento (que
es perpendicular) trazado desde el centro al
punto medio de cualquiera de los lados del
polígono. En la ?gura 10, el segmento OP re-
presenta la apotema del hexágono regular.
4.2. Área de un polígono regular de n
lados
Si observamos la ?gura 10 apreciamos
que al trazar los segmentos que van del cen-
tro a cada uno de los vértices del polígo-
no regular, se forman n triángulos isósceles
congruentes. El área de cada uno de ellos
viene dada por ½ (l x a), siendo l la medida
de un lado y a la de su apotema. El área total
del polígono será: n x ½ (l x a), que nos lleva
a ½ (n x l) x a. Ahora bien, como ½ (n x l) es
la mitad del perímetro (semiperímetro), con-
cluimos que el área de un polígono regular
viene dada por el producto del semiperí-
metro por la apotema.
Por ejemplo, en el caso de un cuadrado
de 6 cm de lado, su perímetro mide 24 cm
y su semiperímetro, 12 cm. La apotema co-
incide con la mitad de un lado, por lo que
mide 3 cm. Y el área será de 12 cm x 3 cm =
36 cm2. De haber utilizado la fórmula vista
anteriormente (A = l2), tendríamos: área = (6
cm)2 = 36 cm2.
Una práctica provechosa es la de esti-
mar el perímetro y el área de diversos po-
lígonos, sean regulares o no. En el caso del
perímetro, la tarea se reduce a estimar las
longitudes de cada lado y sumarlas todas
después. En el caso del área, una manera
de hacerlo consiste en “descomponer” la
?gura en regiones internas que tengan for-
ma de paralelogramo o de triángulo (preferi-
blemente rectángulo), y aplicar las fórmulas
correspondientes para el cálculo del área.
Saber estimar longitudes, distancias y áreas
constituye una destreza que puede ser útil
para nuestra vida diaria.
Podemos resumir las características vis-
tas hasta aquí de los polígonos regulares de
n lados:
4.3. Resolución de problemas referen-
tes a polígonos regulares
La ?gura muestra el hexágono regular
BDHKEC “inscrito” en el triángulo equilátero
AFG. ¿Cuál es la razón entre los perímetros
del triángulo y del hexágono? ¿Y la razón en-
tre sus áreas?
A
B C
D E
F G
H K
Cada lado del triángulo está integrado
por tres segmentos menores; su perímetro
mide el equivalente a 9 de estos segmentos.
En cambio, el perímetro del hexágono equi-
vale a 6 de estos segmentos. La razón entre
los perímetros es, pues, de 9 a 6; es decir,
3 : 2.
En cuanto a las áreas, la del triángulo
equivale a 9 triángulos equiláteros menores,
mientras que la del hexágono equivale a 6
de estos triángulos. La razón entre las áreas
es, también, de 9 a 6; es decir, 3 : 2.
27. Determine la medida del ángulo
central de un pentágono, de un octógono y
de un dodecágono regulares.
28. Determine la medida del ángulo in-
terno de los polígonos regulares anteriores.
29. ¿Cuál es el polígono regular que tie-
ne 14 diagonales congruentes?
30. ¿Cuántos triángulos equiláteros de 1
dm de lado caben en un hexágono regular
de 2 dm de lado?
4.4. Semejanza y congruencia de polí-
gonos regulares
Todos los polígonos regulares que po-
seen el mismo número de lados son seme-
jantes: tienen la misma forma. Por ejemplo,
todos los cuadrados son semejantes, así
como lo son todos los triángulos equiláte-
ros, etc. Todos los polígonos regulares que
poseen el mismo número de lados poseen
ángulos internos congruentes. Pero dos de
21
tales polígonos serán congruentes sólo si los lados de ambos miden lo mismo.
En cambio, entre los polígonos no regulares puede haber variaciones en la forma y en
el tamaño. Por ejemplo, dos rectángulos no necesariamente son semejantes (a pesar de
que sus ángulos son todos rectos…); lo serán si las medidas de sus lados correspondientes
forman una proporción. Y serán congruentes si las medidas de sus lados correspondientes
son iguales.
5. Embaldosados o mosaicos con polígonos
Un aspecto curioso que tiene que ver con los polígonos es el de la posibilidad de “em-
baldosar” o “enladrillar” una super?cie plana con baldosas poligonales, de modo que al
irlas yuxtaponiendo no quede espacio libre entre ellas ni se superpongan unas con otras.
En otras palabras, cubrir la super?cie con un mosaico. Cuando esto se hace con polígonos
regulares, se puede pensar en el cuadrado: con baldosas cuadradas se “llena” toda la su-
per?cie, sin que queden resquicios entre ellas.
¿Para qué otro tipo de polígonos regulares se presenta la misma situación? Si lo intenta
con algunos de ellos descubrirá que sólo para el triángulo equilátero y para el hexágono
regular. ¿Y por qué sólo para estos tres tipos de polígonos regulares?
Con triángulos equiláteros
Con cuadrados
Con hexágonos regulares
Fig. 11: Mosaicos de polígonos regulares
Pensemos en la situación. Si las baldosas no van a dejar resquicios entre ellas es porque
alrededor de cada vértice A, la unión de los ángulos internos de los polígonos que concu-
rren “cubre” los 360o del giro completo. Véase la ?gura para el caso del cuadrado.
22
Es decir, la medida del
ángulo interno del polí-
gono regular debe ser di-
visor de 360o. En el caso
del triángulo equilátero,
del cuadrado y del hexá-
gono regular, estas medidas son, respectiva-
mente, 60o, 90o y 120o. Eso signi?ca que
en cada vértice concurren 6 triángulos equi-
láteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos, respec-
tivamente. Veri?que ahora que en los demás
tipos de polígonos regulares, la medida de
los ángulos internos no es un número divisor
de 360.
Fuera del caso de los polígonos regu-
lares, existen otras ?guras poligonales irre-
gulares que producen el mismo efecto de
embaldosado completo. Por ejemplo, cual-
quier tipo de paralelogramo, cualquier tipo
de triángulo (al adosar dos triángulos con-
gruentes se forma un paralelogramo, como
se indicó en la Sección 2.3.), todo hexágono
que tenga sus lados opuestos congruentes,
cualquier cuadrilátero (al adosar dos cua-
driláteros congruentes por uno de sus lados
iguales, estando en posiciones invertidas, se
obtiene un hexágono con sus lados opues-
tos congruentes), y muchas otras ?guras
particulares. También se pueden combinar
polígonos diferentes para producir el mismo
efecto, como se aprecia en la ?gura:
Hablando en términos matemáticos, estamos en presencia de un caso de simetría (si-
metría = sun [con] + metron [medida] = comunidad de medida) en el plano (prescindimos
del volumen de las alas y del cuerpo de la mariposa…). Si las colocamos sobre un plano,
las dos alas son las ?guras simétricas, y la recta que pasa por el segmento rectilíneo que
representaría la parte central del cuerpo de la mariposa sería el eje de simetría. Decimos
que estamos en presencia de un caso de simetría axial. Los elementos característicos de
una simetría axial son, pues, las ?guras simétricas y el eje de simetría.
Observe en su entorno objetos cuyas fotografías presentarían situaciones de simetría
axial. Igualmente, ?guras de revistas, periódicos, carteles, libros, etc. que presenten si-
metría axial. Trate de identi?car el eje de simetría en cada caso.
Vamos a revisar estas situaciones con detalle. Dos puntos P y P’ son simétricos con
respecto a un eje e cuando este eje resulta ser la mediatriz del segmento que une ambos
puntos. Recordemos que esto signi?ca que el segmento PP’ es perpendicular a e y que
ambos puntos equidistan de e. Se dice que P y P’ son homólogos.
De manera análoga, dos ?guras cualesquiera son simétricas con respecto a un eje cuan-
do todos los puntos de la primera tienen su homólogo en la segunda. En la ?gura 12 se
presentan las ?guras A y A’, B y B’, y C y C’, simétricas, respectivamente, en relación con el
eje de simetría s. Análogamente, M y M’ son simétricas respecto al eje de simetría t.
s
t
A A´
M
M´
B B´
C C´
Fig. 12: Ejemplos de simetría axial
[Si desea una visualización dinámica de la simetría axial, puede acudir a la red en:
http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/Transformaciones/sime-
tria_axial.htm y llegar a la sección “De?nición”].
23
Para los interesados en ampliar este
punto, pueden entrar en un buscador de
Internet e introducir las palabras “mosaico
geométrico”, “tesela”, “teselación”, “em-
baldosado geométrico”. En particular su-
gerimos la siguiente dirección electrónica:
http://www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/
Teselacion_plano/Teselacion_del_plano.
htm, que corresponde a la página “Recursos
de Geometría para Primaria”, en la sección
“Descartes”. Podrán observar mosaicos y su
progresiva transformación a medida que se
modi?ca la ?gura básica que los genera.
6. Simetría de
?guras planas
Empecemos con las siguientes pre-
guntas: ¿Qué nos suele llamar la atención
cuando observamos desde encima una
mariposa con sus alas extendidas? ¿Qué
propiedad geométrica debe cumplir ne-
cesariamente la forma que se le da a una
cometa (papagayo, papalote,…) para que
pueda volar sin caerse?
De entrada, la primera pregunta es más
fácil de responder: las alas se replican una a
la otra, en todos sus detalles, produciéndo-
nos una sensación de armonía, de belleza.
Ahora bien, si se desplazara una sobre la
otra, sobre el mismo plano en que se hallan
las alas extendidas, no coincidirían; pero sí
coinciden cuando una de ellas se “abate”
sobre la otra al girar 180o en el espacio, to-
mando como “bisagra” el cuerpo de la ma-
riposa.
J
P´
A
Observe que las ?guras simétricas son
congruentes. Esto signi?ca que las distan-
cias entre dos puntos cualesquiera de una
?gura son iguales a las distancias entre los
puntos homólogos de su ?gura simétrica.
Por esta razón se dice que la simetría es una
transformación que conserva las distancias
internas de una ?gura en su homóloga; es
decir, es una isometría (isos [igual], metron
[medida]).
Pero lo que sí cambia de una ?gura a su
simétrica es el sentido de los ángulos inter-
nos de ambas. Por ejemplo, en el triángulo B
de la ?gura 12, si se recorre el ángulo recto
desde el cateto menor hasta el mayor, el giro
procede en sentido positivo; pero este mis-
mo giro en la ?gura B’ se hace en sentido ne-
gativo. Dicho con otras palabras, las ?guras
simétricas se recorren en sentido opuesto.
e
En el siguiente ejercicio, determine por
qué no son simétricas respecto al eje e las ?-
guras correspondientes (A y A’, R y R’, etc.):
A´
J´ M P
R
R´
M´
Ahora, dibuje la ?gura simétrica en cada
caso, con respecto al eje de simetría que se
indica (de J con respecto a s; de A, B y L, con
t; de H, con r; y de M, S y F, con l):
24
Resulta interesante observar que hay ?guras que no se modi?can cuando se trata de
hallar su simétrica con respecto a un eje dado. Tal es el caso del segmento B en el ejercicio
anterior. Los elementos que veri?can esta propiedad se denominan invariantes para la
simetría. Entre estos elementos invariantes podemos citar:
• Cualquier punto del eje de simetría, y el propio eje como tal.
• Toda recta perpendicular al eje de simetría.
• Todo segmento cuya mediatriz sea el eje de simetría.
• Todo ángulo cuya bisectriz sea el eje de simetría.
• Toda ?gura con respecto a sus ejes de simetría internos.
• Todo polígono regular de un número par de lados, siempre que el eje de simetría
pase por dos vértices opuestos, o por los puntos medios de dos lados opuestos.
• Todo polígono regular de un número impar de lados, siempre que el eje de sime
tría pase por un vértice y por el punto medio de su lado opuesto.
• Toda circunferencia cuyo centro pertenezca al eje de simetría.
Trate de dibujar en cada caso, si es posible, el eje de simetría de las ?guras que se indi-
can como posibles homólogas (A y A’, etc.):
J
s
r
H
A
B
L
S
M
F
t
l
D
I
A
A´
B´
B
X
X´
S´
S
T
T´
H´
H
La ?gura representa una casa con la fa-
chada orientada hacia la izquierda del obser-
vador. Mueva dos palitos y obtenga una casa
simétrica con respecto a un eje vertical, con la
fachada orientada hacia la derecha.
31. Determine cuántos ejes de simetría posee cada una de las ?guras siguientes:
A B C E
F H
G
Haga la lista de todas las letras del al-
fabeto que posean un solo eje de simetría.
Y una nueva lista con todas las que posean
dos ejes de simetría. ¿Hay alguna que posea
más de dos ejes de simetría?
32. Indique los tipos de cuadriláteros
que poseen: a) Cuatro ejes de simetría; b)
Dos ejes; c) Un solo eje; d) Ningún eje de
simetría
Es hora de dar respuesta a la pregunta
planteada al comienzo de este apartado:
¿Qué propiedad geométrica debe cumplir
necesariamente la forma que se le da a una
cometa (papagayo, papalote,…) para que
pueda volar sin caerse?
Como todos hemos sido niños, tenemos
el conocimiento práctico su?ciente para sa-
ber cuáles de las ?guras de la última ilustra-
ción (en la posición en que se muestran) po-
drían “volar” como cometas; son las ?guras
B, C, D, E e I. Las ?guras F y G no podrían
hacerlo. Pero las ?guras A y H sí podrían
hacerlo… si cambian de posición.
¿Cuál es la conclusión de este análisis
de casos? Que si la ?gura no tiene ejes de
simetría, no sirve para volar como cometa; y
que si tiene un eje, pero no está en posición
vertical, tampoco se mantiene en el aire. Así
pues, la propiedad geométrica que debe
cumplir necesariamente la forma que se le
da a una cometa (papagayo, papalote,…)
para que pueda volar sin caerse es que ten-
ga un eje de simetría vertical. Curioso, ¿no?
¿Y si se trata de una cometa tridimensional?
25
P
P´
Otra curiosidad. Podemos construir un artefacto para producir ?guras simétricas, ho-
mólogas a otras que estemos dibujando simultáneamente.
A
Es una especie de pantógrafo, es decir,
un rombo articulado, cuyos vértices A y B
se mueven con libertad a lo largo del eje
que pasa por A y B, y que será el eje de
simetría. En los extremos P y P’ se colocan
sendos lápices. Al dibujar libremente cual-
quier ?gura con uno de los lápices, el otro
reproducirá la ?gura simétrica al otro lado
B del eje. Inténtelo.
7. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
33. El siguiente rectángulo tiene una
base de 24 cm y una altura de 10 cm.
¿Cuál es el perímetro del ? ABP?
P
A
34. ¿Cuál es el área de un rectángulo
cuyo perímetro es de 60 cm y cuya base
mide el doble de la altura?
35. Al duplicar la longitud de los la-
dos de un cuadrado, el área aumenta en
48 cm2. ¿Cuánto mide el lado del primer
26
B
cuadrado?
Tenemos una lámina rectangular de
dimensiones 3 m x 4 m. ¿Cómo pode-
mos cortarla en dos piezas iguales tales
que, ensambladas adecuadamente, ob-
tengamos un rectángulo de dimensiones
2 m x 6 m?
36. El cuadrado de la ?gura tiene un pe-
rímetro de 8 cm. En su interior se construye
un triángulo con un vértice sobre uno de
los lados, y los otros dos, en los extremos
del lado opuesto. ¿Cuál es el área de la re-
gión interna del cuadrado que es externa al
triángulo?
37. El área de la ?gura formada por 7
cuadrados es de 112 cm2. ¿Cuánto mide su
perímetro?
C
27
En el centro agrario comunal hay una al-
berca para riego que tiene forma cuadrada,
con un árbol en cada esquina. ¿Cómo se
puede duplicar la capacidad de la alberca,
sin aumentar su profundidad y sin tener que
cortar ninguno de los árboles de las esqui-
nas?
39. La base mayor del trapecio isósce-
les ABCD mide 25 cm, y los lados no pa-
ralelos, 15 cm. Además, la diagonal MP es
perpendicular al lado PN, y la diagonal QN
es perpendicular al lado MQ. ¿Cuánto mide
el área del trapecio?
A
B
El terreno de la
?gura está formado
por la unión de cin-
co cuadrados con-
gruentes. Trate de
dividirlo en cuatro
partes congruentes.
38. El rectángulo ABCD de la ?gura tie-
ne un área de 24 cm2. E es el punto medio
del segmento AB. ¿Cuál es el área del tra-
pecio AECD? ¿Podemos saber la altura del
rectángulo?
D
E
P
Q
M N
40. Calcule el perímetro de un trapecio
isósceles cuyas bases miden 12 y 6 cm, y
cuya área es de 36 cm2.
Dibuje en un papel la forma en que
pueden colocarse 10 postes en 5 ?las de 4
postes cada una. Como sugerencia, dibuje
un pentágono y trace sus diagonales…
41. La ?gura muestra el hexágono regu-
lar ABCDEF, dentro del cual se ha construi-
do el hexágono regular MNPQRS, de tama-
ño menor. ¿Cuál es la razón entre las áreas
del hexágono menor y del mayor?
A
B
C
D
E
F
N
M
S
P
Q
R
42. El área de cada rectángulo peque-
ño mide 2 u2. ¿Cuántos rectángulos de
área = 8 u2 hay en la ?gura?
Demuestre que en cualquier rectángu-
lo o rombo, la suma de los cuadrados de
las medidas de las diagonales es igual a la
suma de los cuadrados de las medidas de
los cuatro lados.
43. Calcule el perímetro y el área de
la ?gura dada. Para lo primero, utilice
el teorema de Pitágoras (considere los
triángulos-rectángulos apropiados para
cada lado).
Y para el cálculo del área, obténgala
como diferencia de un área rectangular,
menos las áreas de ciertos triángulos rec-
tángulos.
Plantéese otros ejercicios similares en
un geoplano…
1 u
28
Recorte el triángulo equilátero de la ?-
gura por los segmentos punteados. Con las
tres piezas obtenidas, arme a) un paralelo-
gramo; b) un triángulo isósceles (no equi-
látero).
En esta línea de desarmar una ?gura
y componer otras diferentes, trate de ave-
riguar (en libros o en la red) lo relativo al
tangram… Y juegue a elaborar ?guras a
partir de las 7 piezas básicas de las que
está compuesto el cuadrado original. Las
transformaciones que se producen al pasar
a cada nuevo diseño son ejemplos de cómo
se conserva el área, pero no el perímetro
del cuadrado original.
Sobre una mesa rectangular hay un ?o-
rero. ¿Cómo podemos asegurarnos fácil-
mente de que el ?orero está realmente en
el centro de la mesa?
Averigüe cuáles son las unidades de
medida de longitudes y distancias, propias
de las culturas de su entorno. Igualmente
para las unidades de medida de super?cies.
Establezca una tabla de equivalencias entre
ellas y las del sistema decimal de medidas.
10 + 5 +
13 +
26 ) u; 11 u
43. (
– Eves, H. (1969). Estudio de las Geome-
trías. Tomo I. México: UTEHA.
– Fendt, W. (2003). Applets Java de Ma-
temáticas. Disponible en:
http://www.walter-fendt.de/m11s/index.
html
– Ministerio de Educación, Cultura y
Deportes (2000). Descartes. Teselación
del plano. Madrid: MECD. Disponible en:
http://www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/
Teselacion_plano/Teselacion_del_plano.
htm
– Red Canaria de Educación (s.f.). Sime-
tría axial. Disponible en:
http://nti.educa.rcanaria.es/matemati-
cas/Geometria/Actividades/Transformacio-
nes/simetria_axial.htm
ReferenciasBibliográ?cas
y electrónicas
Respuestas de los ejercicios propuestos
4. 8
1. Un paralelogramo 2. Verdaderas: a, e, f, h, i, j, k
rombos 5. 2 palitos; 1 palito
6. 7. 8.
3. 18 rectángulos
9.
10. a) No; b) Sí; en el caso de los rectángulos; c) Sí; en la mayoría de los rombos y
romboides; d) Sí; en el caso de los rombos; e) Sí; cuando es un cuadrado 11. Un cua-
drado 12. 1.300 cm; 400 m; 30 m; 2.600 mm; 10 dm; 0,235 Km; 0,6 m; 360 Hm 13.
a) 1 Hm2; b) No; c) 0,01; d) Sí 14. 15.700 m2; 740 Ha; 8 dm2; 400 cm2; 0,65 Dm2; 0,5
Ha; 4 Km2; 73.200 cm2 15. 24 cm2 16. El cuadrado de 5 cm de lado 17. 4 cm; no
18. 2 cm; no 19. Sí 20. 729 cm2 21. 20 cm2; no 22. El cuadrado de 5 cm de
lado 23. a2/4 24. 10 trapecios 25. 11 cm 26. 5,5 m 27. 72o; 45o; 30o 28.
108o; 135o; 150o 29. Heptágono 30. 24 triángulos equiláteros 31. A. 1; B. 4; C. 4;
D. 1; E. 2; F.0; G. 0; H. 1; I. 2 32. a) Cuadrado; b) Rectángulo y rombo (no cuadrados),
c) Trapecio isósceles y las ?guras como la H del ejercicio 31; d) Los demás tipos de cua-
driláteros 33. 50 cm 34. 200 cm2 35. 4 cm 36. 2 cm2 37. 64 cm 38. 18
cm2; no 39. 192 cm2 (h = 12 cm; b = 7 cm) 40. 28 cm 41. ? 42. 31 rectángulos
2
29
30
a
C
B´
Postdata: Un problema fácil…
El siguiente: Se quiere construir una ciudad deportiva C junto a una autopista a entre
dos ciudades A y B situadas al mismo lado de la carretera, con la condición de que esté
lo más cerca posible de las dos ciudades, es decir, que la suma de las distancias desde el
centro deportivo a ambas, sea mínima. ¿Cómo determinamos su ubicación?
B
A
a
Podemos llegar a la solución por la vía del ensayo y error, colocando C en distintos
puntos de a, midiendo las distancias desde C hasta A y B y sumándolas, hasta que consi-
gamos la posición que da una suma mínima. Pero hay otra vía geométrica más sencilla y
más exacta.
¿Qué pasaría si B estuviera del otro lado de la autopista? Simplemente, se trazaría el
segmento que une A y B, y en el punto de corte con a se construiría la ciudad deportiva.
En ese punto y sólo en él, la suma de las distancias a las dos ciudades sería mínima.
B
A
31
Pues bien, ésta es la idea: pensar en a como el eje de simetría para B, lo que nos lleva
a B’; la distancia entre A y B’ es mínima sobre el segmento AB’; este segmento corta a a en
C. Por consiguiente, como CB es simétrico a CB’, también la suma de las distancias entre
A y B, pasando por C, es mínima. Problema resuelto. [Si desea una visualización dinámica
de la resolución de este problema, puede ingresar en la red, en la referencia de la Red
Canaria de Educación (s.f.). Simetría axial].
Otra cosa es si se busca que C quede a igual distancia de A y de B. En este caso se
trazaría la mediatriz del segmento AB; C se construiría en el punto en que tal mediatriz
corte a a.
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