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Divisibilidad

Enviado por Iñaki Andonegui



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5 introducción... ... y para desperezarnos un poco, ahí van unas cues- tionessencillasparaentrar en materia y en calor. Tra- temos de resolverlas antes de seguir adelante. Halle el número menor que 30 que es simultáneamentedivisorde 100,múltiplo de 10 y no múltiplo de 4. ¿En qué cifras terminan los números primos mayores que 5? 1. Se tienen tres piezas de tela del mismo ancho,cuyas longitudes son:180 m,225 m y 324 m.Se desea dividir las tres piezas en lotes del mismo tamaño. ¿Cuál debe ser la longitud de estos lotes para que el número de cortes en las tres piezas sea el menor posible? 2.En un estante de la biblioteca esco- lar hay menos de 1.000 libros,todos delmismotamaño.Labibliotecarianos dice que se pueden empaquetar, sin que sobre ningún libro,por docenas, de 28 en 28,o de 49 en 49.¿Cuántos libros hay exactamente? El producto de dos números es 504. Cada uno de ellos es divisible por 6,pero ninguno de ellos es 6.¿Cuál es el mayor de estos dos números? (*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las respuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. Dichas respuestas son para que las construyas y las valides con tu grupo de trabajo. Halle todas las parejas de números primos cuya suma sea 999. Descomponga 40 en suma de tres números primos, de todas las maneras posibles. 3.Enciertoplaneta,elnúmerodedías de la semana, de semanas del mes y de meses del año es el mismo. Si el año consta de 512 días,¿cuántos días tiene una semana? 4. La edad de la maestra tiene la parti- cularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8, siempre da como resto 1. Pero al dividirse entre 5, da como resto 0. ¿Cuántos años tiene la maestra?
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6 Los números 6,14 y 15 son divisores de N.¿Cuál puede ser el menor valor de N? ¿Cuál es el menor entero positivo por el quesedebemultiplicar504paraobtener como producto un cuadrado perfecto? Las letras a y b esconden dos cifras. Halle su valor para que el número 18a7b sea múltiplo de 15. Obtenga todas las respuestas posibles. Si el precio de un objeto se puede pagar exactamente con sólo monedas de 20 pesos, y también con sólo monedas de 25 pesos,¿se podrá pagar exactamente con sólo monedas de 50 pesos? ¿Y con sólo billetes de 200 pesos? 5. En la mañana pagué 360 pesos por un lote de fotocopias.En la tarde estuvesacandootrasmásypagué126 pesos.¿Cuánto cuesta cada fotocopia, si su precio es mayor que 10 pesos? Bien, ya tenemos nuestras respues- tas, que iremos contrastando con las indicacionesyejerciciosqueplanteare- mos a lo largo de las líneas que siguen. Y un segundo recordatorio: Lasugerenciaqueproponíamosenel Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados,yya.No.Nosotrossomosdo- centes –docentes de matemática en su momento–yesterasgodebecaracterizar laformadeconstruirnuestropensamien- to matemático. ¿Qué significa esto? • La presencia constante de la meta últimadenuestroestudio:alcanzarunos niveles de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida yutilizaneseconocimientomatemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos. •Construirelconocerdecadatópico matemáticopensandoencómoloense- ñamosenelaula,ademásdereflexionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajo docente. Deestaforma,integrarnuestrapráctica docente en nuestro estudio. • Como complemento de lo anterior, construirelconocerdecadatópicoma- temáticopensandoencómolopodemos llevaralaula.Paraello,tomarconciencia delprocesoqueseguimosparasucons- trucción, paso a paso, así como de los elementos –cognitivos, actitudinales, emocionales...– que se presenten en dicho proceso. Porque a partir de esta experienciareflexivacomoestudiantes, podremos entender y evaluar mejor el desempeño de nuestros alumnos –a su nivel– ante los mismos temas. • En definitiva, entender que la matemática es la base de su didáctica: la forma en que se construye el cono- cimiento matemático es una fuente imprescindible a la hora de planificar y desarrollar su enseñanza. Yahora,vamosaltemadeesteCua- derno, la divisibilidad. 1. De qué hablamos cuando hablamos de divisibilidad Muchos docentes responderían al planteamientoanteriorentérminosmuy simples:decriteriosdedivisibilidad(por 2, por 3, etc.), de descomposición de un númeroenfactoresprimosparacalcular el máximo común divisor o el mínimo comúnmúltiplodedosnúmeros,yya.Y todo ello tratado de una forma práctica, reducidaacómosehacenlascosas,alas reglas correspondientes a cada caso. Sinembargo–ycomoloiremosvien- doalolargodeesteCuaderno–,eltema de la divisibilidad se refiere al estudio de los números naturales [en realidad, al de los números enteros, aunque se puede reducir, como en este caso, al de los naturales] desde la perspectiva
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7 de su composición multiplicativa, es decir, pensando en que todo número naturalsiemprepuededescribirsecomo productodevariosfactores.Deestacon- sideracióntansencillaydelacuriosidad eintuicióndealgunaspersonasarrancó en la historia de la matemática un estu- dio muy amplio que abarca conceptos, relaciones, propiedades, regularidades y también aplicaciones. Los ejercicios planteados al comienzo dan
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