Divisibilidad

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introducción…
… y para desperezarnos un
poco, ahí van unas cues-
tionessencillasparaentrar
en materia y en calor. Tra-
temos de resolverlas antes
de seguir adelante.

Halle el número menor que 30 que es
simultáneamentedivisorde 100,múltiplo
de 10 y no múltiplo de 4.

¿En qué cifras terminan los números
primos mayores que 5?

1. Se tienen tres piezas de tela del
mismo ancho,cuyas longitudes son:180
m,225 m y 324 m.Se desea dividir las
tres piezas en lotes del mismo tamaño.
¿Cuál debe ser la longitud de estos lotes
para que el número de cortes en las tres
piezas sea el menor posible?
2.En un estante de la biblioteca esco-
lar hay menos de 1.000 libros,todos
delmismotamaño.Labibliotecarianos
dice que se pueden empaquetar, sin
que sobre ningún libro,por docenas,
de 28 en 28,o de 49 en 49.¿Cuántos
libros hay exactamente?

El producto de dos números es 504.
Cada uno de ellos es divisible por 6,pero
ninguno de ellos es 6.¿Cuál es el mayor
de estos dos números?
(*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las
respuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. Dichas respuestas son para
que las construyas y las valides con tu grupo de trabajo.
Halle todas las parejas de números
primos cuya suma sea 999.

Descomponga 40 en suma de tres
números primos, de todas las maneras
posibles.

3.Enciertoplaneta,elnúmerodedías
de la semana, de semanas del mes y
de meses del año es el mismo. Si el
año consta de 512 días,¿cuántos días
tiene una semana?

4. La edad de la maestra tiene la parti-
cularidad de que, al dividirse entre 2, 3,
4, 6 y 8, siempre da como resto 1. Pero
al dividirse entre 5, da como resto 0.
¿Cuántos años tiene la maestra?

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Los números 6,14 y 15 son divisores
de N.¿Cuál puede ser el menor valor
de N?

¿Cuál es el menor entero positivo por el
quesedebemultiplicar504paraobtener
como producto un cuadrado perfecto?

Las letras a y b esconden dos cifras.
Halle su valor para que el número
18a7b sea múltiplo de 15. Obtenga
todas las respuestas posibles.

Si el precio de un objeto se puede pagar
exactamente con sólo monedas de 20
pesos, y también con sólo monedas de
25 pesos,¿se podrá pagar exactamente
con sólo monedas de 50 pesos? ¿Y con
sólo billetes de 200 pesos?

5. En la mañana pagué 360 pesos
por un lote de fotocopias.En la tarde
estuvesacandootrasmásypagué126
pesos.¿Cuánto cuesta cada fotocopia,
si su precio es mayor que 10 pesos?

Bien, ya tenemos nuestras respues-
tas, que iremos contrastando con las
indicacionesyejerciciosqueplanteare-
mos a lo largo de las líneas que siguen.

Y un segundo recordatorio:

Lasugerenciaqueproponíamosenel
Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá
los demás Cuadernos: vamos a estudiar
matemática, pero no lo vamos a hacer
como si fuéramos simplemente unos
alumnos que posteriormente van a ser
evaluados,yya.No.Nosotrossomosdo-
centes –docentes de matemática en su
momento–yesterasgodebecaracterizar
laformadeconstruirnuestropensamien-
to matemático. ¿Qué significa esto?

• La presencia constante de la meta
últimadenuestroestudio:alcanzarunos
niveles de conocimiento tecnológico y
reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio
hacia la búsqueda de aplicaciones de
lo aprendido, hacia el análisis de los
sistemas que dan forma a nuestra vida
yutilizaneseconocimientomatemático,
y hacia criterios sociales y éticos para
juzgarlos.

•Construirelconocerdecadatópico
matemáticopensandoencómoloense-
ñamosenelaula,ademásdereflexionar
acerca de cómo nuestro conocer limita
y condiciona nuestro trabajo docente.
Deestaforma,integrarnuestrapráctica
docente en nuestro estudio.

• Como complemento de lo anterior,
construirelconocerdecadatópicoma-
temáticopensandoencómolopodemos
llevaralaula.Paraello,tomarconciencia
delprocesoqueseguimosparasucons-
trucción, paso a paso, así como de los
elementos –cognitivos, actitudinales,
emocionales…– que se presenten en
dicho proceso. Porque a partir de esta
experienciareflexivacomoestudiantes,
podremos entender y evaluar mejor el
desempeño de nuestros alumnos –a su
nivel– ante los mismos temas.

• En definitiva, entender que la
matemática es la base de su didáctica:
la forma en que se construye el cono-
cimiento matemático es una fuente
imprescindible a la hora de planificar y
desarrollar su enseñanza.

Yahora,vamosaltemadeesteCua-
derno, la divisibilidad.

1. De qué hablamos cuando
hablamos de divisibilidad
Muchos docentes responderían al
planteamientoanteriorentérminosmuy
simples:decriteriosdedivisibilidad(por
2, por 3, etc.), de descomposición de un
númeroenfactoresprimosparacalcular
el máximo común divisor o el mínimo
comúnmúltiplodedosnúmeros,yya.Y
todo ello tratado de una forma práctica,
reducidaacómosehacenlascosas,alas
reglas correspondientes a cada caso.

Sinembargo–ycomoloiremosvien-
doalolargodeesteCuaderno–,eltema
de la divisibilidad se refiere al estudio
de los números naturales [en realidad,
al de los números enteros, aunque se
puede reducir, como en este caso, al
de los naturales] desde la perspectiva

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de su composición multiplicativa, es
decir, pensando en que todo número
naturalsiemprepuededescribirsecomo
productodevariosfactores.Deestacon-
sideracióntansencillaydelacuriosidad
eintuicióndealgunaspersonasarrancó
en la historia de la matemática un estu-
dio muy amplio que abarca conceptos,
relaciones, propiedades, regularidades
y también aplicaciones. Los ejercicios
planteados al comienzo dan