una breve
idea de por dónde pueden ir las cosas.
Y para entendernos mejor en lo que
sigue, vamos a establecer el vocabula-
rio básico del tema. Si planteamos, por
ejemplo, la multiplicación 5 x 8 = 40,
decimos que:
40 es múltiplo de 5 y de 8
el pro-
ducto es múltiplo de cada uno de sus facto-
res
40 es divisible por 5 y por 8
el pro-
ducto es divisible por cada uno de sus facto-
res
5 (y también 8) es divisor de 40
cadauno
de los factores es divisor del producto
cada uno
5 (y también 8) divide a 40
de los factores divide al producto
Es preciso hacer una pequeña acla-
ratoriaconrespectoaltérmino“divisor”,
utilizadotambiénenlasdivisionesentre
númerosnaturales(Cuaderno7).Enese
contexto,divisoreselnúmeroporelque
sedivideeldividendo,paraproducirun
cociente y un resto. Si la división no es
exacta,ese“divisor”nopuedeserconsi-
deradocomoun“divisor”deldividendo
entérminosdeloplanteadoenelcampo
deladivisibilidad.Porejemplo,eldivisor
7 en la división 40 : 7, no es un “divisor
de 40” en términos de divisibilidad. En
loquesiguenosreferiremosadivisoren
estos últimos términos.
Así, 7 es divisor de (divide a) 0, 7,
21, 49, 105, etc. Es decir, de todos los
productos de su tabla de multiplicar,
que es ilimitada. Análogamente, 36 es
múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36,
es decir, de todos y sólo de los números
quelotienencomoproductoensusres-
pectivastablasdemultiplicar.Ahoraya
podemos precisar un poco más:
Hablar de divisibilidad en el conjunto de los
números naturales es hablar de los divisores
y múltiplos de esos números,así como de las
relacionesquepuedenestablecerseentretales
números al considerarlos como múltiplos y
divisores unos de otros.
A partir de los casos anteriores y
de otros similares, empezamos ya a
descubrir ciertas regularidades (des-
pués iremos precisando otras). Por
ejemplo:
¦ 0 es múltiplo de todos los números na-
turales (cualquier número multiplicado
por 0 da 0 como producto).
¦ 0 no es divisor de ningún número natural
positivo (¿por qué?).
¦ 1 es divisor de todos los números natu-
rales(almultiplicarcualquiernúmeropor
1 se obtiene ese mismo número como
producto).
¦ 1 sólo es múltiplo de sí mismo (¿por
qué?).
¦Todo número es múltiplo y divisor de sí
mismo (¿por qué?).
¦Todo número es múltiplo de sí mismo y
de la unidad (¿por qué?).
2. En el mercado de los
números, números hay…
…y muy variados. Salgamos al en-
cuentrodealgunosdeellos.Empecemos
por jugar a escribir números como pro-
ducto de parejas de factores, de todas
lasmanerasposibles.Porejemplo,tome-
mos los números 13, 15, 24 y 41:
13 = 1 x 13
15 = 1 x 15;15 = 3 x 5
24 = 1 x 24;24 = 2 x 12;24 = 3 x 8;24 = 4 x 6
41 = 1 x 41
En seguida nos damos cuenta de
que hay dos números, 13 y 41, que sólo
tienen un par de divisores: la unidad y
8
elpropionúmero.Losnúmerosquesólo
poseen estos dos divisores se llaman
números primos. En cambio, 15 y 24
poseenmásdivisores:4para15(1,3,5,
15) y 8 para 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).
Los números que poseen más de dos
divisores se denominan compuestos.
Observadosconcuriosidad,losnúme-
rosprimossonunosnúmeros“rebeldes”
que no se dejan dividir por otros núme-
ros;están,pues,vacíosdedivisoresentre
launidadyellosmismos.Estosnúmeros
llamaron la atención
de los estudiosos hace
más de 2.000 años. Ya
Euclides (300 a.C.) de-
mostró que el número
de números primos es
in?nito…
Eratóstenes (matemático y geógrafo
griegoquevivióenel
s. III a. C.) se inventó
una criba para ir ob-
teniéndolos. El mé-
todo es muy sencillo,
aunque muy lento:
en la lista de todos
los números positivos (exceptuando el
1, que no es primo pues sólo tiene un
divisor: el propio 1), respetamos cada
número que vamos encontrando sin
tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la
tarea) pero vamos tachando todos los
múltiplos de ese número, mayores que
él. Así, iremos tachando los de 2 (4, 6,
8,etc.),luegolosde3quenohayansido
tachados antes (9, 15, etc.); y, sucesiva-
mente,losmúltiplosdelosnúmerosque
vanquedandosintachar(losde5,7,11,
etc.).Deestaformavanquedando,?ltra-
dosyordenados,losnúmerosprimos:2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Si obser-
vamos con cuidado esta lista notamos
que hay un solo número primo par, el 2.
Yqueapartirde5,losposiblesnúmeros
primos terminan en 1, 3, 7 ó 9.
ElmétododeEratóstenesquedóahí,
para quien tenga tiempo y paciencia.
Pero en seguida, la gente curiosa se
preguntó si había algún procedimiento
(algoritmo)quepudierairgenerandode
otraformalalistacompletadelosnúme-
ros primos. Y empezaron los intentos.
Unodelosmáscuriososeselquepropo-
ne que en la expresión: n2 + n + 41, se
sustituyanpor0,1,2,3,etc.yseevalúe
el número que se obtiene cada vez.
Por ejemplo, para n = 0, se obtiene
0 + 0 + 41 = 41; para n = 1, se obtiene
1 + 1 + 41 = 43; para n = 2, se obtiene
47;paran=3,sellegaa53.Todosestos
números (41, 43, 47, 53) son primos.
Y, asombrosamente, la cosa funciona…
hastallegaran = 40,cuandoseobtiene
402 + 40 + 41 = 1.681, que es 412. En
efecto, 402 + 40 + 41 = 402 + 81 = 402
+ 80 + 1 = 402 + 2 x 40 + 1, expresión
que podemos reconocer como (40 + 1)2
[VerCuaderno6,Potenciación].Eviden-
temente, 412 no es un número primo.
Pero el intento fue bueno… y funcionó
¡40 veces seguidas!
También Euclides, en la demostra-
ción antes mencionada, nos indica una
manera de obtener números primos,
aunquenoenformaordenadacomoEra-
tóstenes.Paraelloobservóquesipesun
númeroprimo,alformarelproductodep
portodoslosnúmerosprimosanteriores,
y agregarle una unidad a ese producto,
el nuevo número así obtenido también
es primo. Por ejemplo, si partimos de 7,
el número primo a que se llega es: 7 x
5 x 3 x 2 + 1 = 210 + 1 = 211. Con el
procedimiento de Euclides se llega en
seguidaanúmerosprimosmuygrandes.
Y de paso, se ve que siempre podemos
llegar a otros más grandes…
Por cierto, la carrera por encontrar un
númeroprimomásgrandequelosyacono-
cidos sigue (y seguirá) abierta.A comienzos
del año 2005 se había conseguido uno
–siempre con la ayuda de computadores–
de 7.816.230 cifras… Se trata del número
225.964.951 – 1.Y parece que hay ofrecido un
premio de 100.000 dólares al primero que
consiga un número primo de al menos 10
millones decifras…,logroquelosmatemáti-
cosestimanquesealcanzaráenelaño2007.
¿Quién se anima a esta búsqueda?
9
Losgriegostambiéndestacaronotros
tipos de números, a base de observar
propiedades y relaciones. Por ejemplo,
sinos?jamosenelnúmero6,fácilmente
podemos obtener la lista de sus diviso-
res: 1, 2, 3 y 6. Si en esa lista prescin-
dimos del 6, tendremos el conjunto de
los divisores propios de 6: 1, 2 y 3. ¿Qué
ocurre si sumamos estos tres divisores?
Que obtenemos justamente 6.
Losnúmeroscuyasumadedivisores
propiosesigualalmismonúmerofueron
bautizados como números perfectos.
Algunos de los conocidos son 6, 28,
496, 8.128 (puede veri?carlo; y plan–
tearse si habrá algún número perfecto
que sea impar…, porque hasta ahora no
se ha descubierto ninguno). Como nota
adicional (Kline, 1992), a los números
mayores que la suma de
sus divisores propios se
les llamó deficientes. Y a
losnúmerosmenoresque
dicha suma, abun-
dantes(tratedehallar
algunos ejemplos de
cada especie). Muy
expresivos los grie-
gos, ¿no?
Otra curiosidad cercana es la que
nos presenta este par de números, 284
y 220: obtenga los divisores propios de
220ysúmelos;hagalomismoconlosde
284. ¿Qué hemos hallado? Sorpresiva-
mente, la suma de los divisores propios
de cada número da como resultado el
otro número. A los pares de números
que presentan esta propiedad, se les
denominó números amigos.
Vamos a hacer un punto de re?exión.
¿Qué interés puede tener para nosotros
andarrevisandoestosavatareshistóricos
acerca de los números? Pues uno muy
importante.Nosinteresaresaltaresacurio-
sidadpordescubrirregularidades,propie-
dades,relacionesentrelosnúmeros.Este
eselespírituconelquedebemostransitar
nosóloporeltemadeladivisibilidad,sino
por todos los campos de la matemática.
3. Matemática: de las conjeturas
y los problemas abiertos,
a las demostraciones
Siguiendo con el punto de re?exión
anterior,nohayquepensarquelodela cu-
riosidadessimplementeunbuenconsejo.
No.Laactitudindagatoriaeslaesenciade
cualquier descubrimiento cientí?co. Así
lodemuestrahastalasaciedadlahistoria
delamatemática,consideradacomouna
aventura humana. En ella, en el principio
fue la curiosidad. Y la observación aten-
ta. De ahí nacieron las conjeturas. Hay
muchas en la historia del desarrollo de la
divisibilidad. Veamos algunas.
Por ejemplo, ya los chinos, antes de
Cristo,a?rmabanquesipesunnúmero
primo, entonces p es divisor de 2p – 2
(así, para p = 5, 25 – 2 = 32 – 2 = 30 y,
efectivamente,5dividea30;verifíquelo
paraotroscasos).Yhastapensabanque
la cosa funcionaba también al revés, es
decir, que si un número p es divisor de
2p – 2, entonces p debía ser un número
primo (Gentile, 1985).
La primera parte
de esta conjetura es
cierta y fue demos-
trada, entre otros,
por nuestro amigo
Fermat (de quien ya
hablamosenelCua-
derno 6, a propósito
deotrasconjeturas…)
en el siglo XVII, en
los ratos libres que
le dejaba su profesión de abogado. Pero
la segunda parte de la conjetura es falsa,
ya que algún “ocioso” veri?có que 341
divide a 2341 – 2 y, sin embargo, 341 no
esprimo:341=11×31(nointentehacer
esa veri?cación con papel y lápiz, ya que
2341 es un número de 103 cifras…).
10
Otra conjetura interesante fue pro-
puestaporGirard,acomienzosdelsiglo
XVII (Sierra et al., 1989): si un número
primo es de la forma 4 x n + 1 (un múl-
tiplo de 4, más 1; por ejemplo, 5, 13,
29…), entonces puede expresarse de
una y sólo una manera como suma de
dos cuadrados. Por ejemplo, 5 = 4 + 1;
13 = 4 + 9; 29 = 25 + 4; etc. (busque
otros casos). Fermat, quien también
demostrólaconjeturaanterior,adelantó
a su vez unas cuantas (Kline, 1992). He
aquí algunas:
¦Elcuadradodetodonúmeroprimo
de la forma anterior: 4 x n + 1
(por ejemplo, 52, 132, …), también
puede expresarse de una y sólo
una manera como suma de dos
cuadrados. Así, 52 = 25 = 16 + 9;
132 = 169 = 144 + 25 = 122 + 52;
etc. (veri?que otros casos).
¦ Ningún número primo de la for-
ma 4 x n + 3 (un múltiplo de 4,
más 3; por ejemplo, 7, 11, 19…),
puede expresarse como suma de
dos cuadrados (verifíquelo con
algunos casos).
¦ Siunnúmeroprimoesdelaforma
6 xn+ 1(unmúltiplode6,más1;
por ejemplo, 13, 19…), entonces
puede expresarse de una y sólo
una manera como suma de un
cuadradomáseltripledeotrocua-
drado.Así,13=1+3×4;19=16
+ 3 x 1 (veri?que otros casos).
Curioso, ¿no? Lo cierto es que Fer-
mat dejó toda una colección de conje-
turas que no demostró y algunas otras
cuyasdemostracionesnoconvencieron
a los matemáticos que vinieron detrás
de él. Pero en de?nitiva, lo bueno es
que dejó una gran “tarea para la casa”.
Unodelosquemásseaplicaronenesta
tarea fue Euler, un matemático alemán
del siglo XVIII. Y también Gauss, otro
matemáticoalemándelaprimeramitad
del siglo XIX.
En ge-
neral, se
espera
que tarde
o tempra-
demuestren rigurosamente. A veces
se tarda “un poco”, como en el caso
que mencionamos en el Cuaderno 6,
conocido como “el último teorema de
Fermat”,cuyoenunciadodice:“Noexis-
tenvaloresx,y,ztalesqueveri?quenla
relación xn + yn = zn (en la que x, y, z, n
sonnúmerosenterospositivos)sin>2”.
Es decir, un cubo no puede expresarse
comolasumadedoscubos,niunacuar-
tapotenciacomolasumadedoscuartas
potencias, y así sucesivamente.
Esta conjetura, de enunciado tan
sencillo, fue demostrada por el mate-
mático inglés Andrew Wiles en 1994…
–más de 300 años
después de haber
sido formulada–, y
elhechoseconvirtió
en una noticia de
cobertura mundial.
Pero si la demos-
tración fue todo un
suceso, no lo fue menos (aunque más
callado) el trabajo desarrollado durante
esos tres siglos en la búsqueda de la
demostración:lamatemáticaproducida
en ese esfuerzo fue realmente notable y
hasta se abrieron nuevos campos en la
disciplina.
En todas las épocas –y hoy tam-
bién– existen conjeturas y problemas
abiertos, a la espera de una demostra-
ción (o de una refutación). Por ejemplo,
de tanto en tanto aparece la noticia de
alguien que encontró el mayor número
primo (por el momento…). También
está abierta la búsqueda de nuevos
númerosperfectos,odenuevasparejas
de números amigos… Y conjeturas y
problemas abiertos como éstos (Alsina
y De Guzmán, 1998):
¦ Todo número par mayor que 4 es
suma de dos números primos
impares(conjeturaformuladapor
Goldbach,unmatemáticoalemán
que vivió en el siglo XVIII).
¦ Todo número impar, o es primo,
o es la suma de tres primos (for-
no las con-
jeturas se Gauss
Euler
AndrewWiles
11
muladaporWaringenlasegunda
mitad del siglo XVIII).
¦ ¿Existe un número in?nito de pa-
res de primos gemelos, es decir,
de primos que se diferencian en
dos unidades (como 3 y 5, 5 y 7,
11 y 13, 17 y 19, etc.)?
¦¿Haysiemprealmenosunnúmero
primo entre n2 y (n + 1)2, siendo
n cualquier número natural po-
sitivo?
¦ ¿Existe un número in?nito de nú-
meros primos
de la forma n2
+ 1 (como 2, 5,
17, etc.), sien-
do n cualquier
númeronatural
positivo?
El hecho de que haya problemas
abiertos en matemática no revela una
debilidaddeestadisciplina,sino,porel
contrario, su gran vitalidad. Lo que im-
porta es lo que se hace para resolverlos.
Y muchas veces se desea que el hecho
de“cerrar”unproblemasirvaparaabrir
otros (Alsina y De Guzmán, 1998).
Quizás algún(a) lector(a) todavía se
estará preguntando para qué todos es-
toscuentos…Peroseguramentemuchos
ya saben la respuesta: la curiosidad, la
búsqueda,elplanteamientodeconjetu-
ras,elintentoporveri?carlas(oporrefu-
tarlas), el hacerse nuevas preguntas…,
todoestoformapartedelahistoriaydel
“ser”delamatemática,lamaneracomo
se construye por dentro. La presenta-
ción formal de sus resultados es sólo la
apariencia ?nal (muy importante). Pero
por dentro, hay conjeturas; aceptables
unas, rechazables otras. También hay
problemas abiertos. Y todo un trabajo
de búsqueda en el que la intuición, el
razonamiento y la perseverancia van
de la mano.
Lo importante es percibir que este
“ser” de la matemática puede estar
presente en cada rincón de la misma,
en cada esfuerzo por trabajar un tema,
por pequeño que pueda parecer. Es
lo que Edgar Morin llama el principio
holográmico del pensamiento com-
plejo: cada parte
está contenida
en el todo, pero
también el todo
debe estar pre-
sente en cada
parte, puede
descubrirse en
cada parte (Mo-
rin, 1999).
Por consiguiente, y sin temor de
repetirnos, la curiosidad, la búsque-
da, el planteamiento de conjeturas,
el intento por veri?carlas y validarlas
(o por refutarlas), el hacerse nuevas
preguntas…, todo esto forma parte del
clima en que debemos trabajar la ma-
temática, parcela por parcela, nosotros
y con nuestros alumnos. Y el campo
de la divisibilidad es, como estamos
viendo, uno de los más fértiles para
este propósito.
Tome un número de dos cifras (p. ej.,
37); forme otro número con las cifras
del anterior en orden invertido (73);
obtenga la diferencia positiva entre
ambos números (73 – 37 = 36). Haga
lo mismo con otros números y observe
bien las diferencias en cada caso. ¿Qué
conjetura se le ocurre? ¿Cómo puede
estar segura(o) de su enunciado? ¿Y si lo
hace con números de tres cifras? ¿Y con
números de más cifras?
Tome un número de dos cifras,inviér-
talo como antes,pero ahora sume los
dos números. Divida esa suma entre
11.Hagalomismoconotrosnúmeros
yobservelosresultados.Nuevamente,
¿qué conjetura se le ocurre? ¿Cómo
puede estar segura(o) de su enun-
ciado? ¿Y si lo hace con números de
tres cifras?
12
4. Divisores y múltiplos
de un número natural
Para empezar, vamos a realizar un
ejerciciomuyimportanteconel?ndeir
observando y a?anzando algunas regu-
laridades con divisores y múltiplos:
6.Evalúecadaunadelassiguientesa?rmacionescomoverdaderaofalsa.Paraello,ayúdese
con ejemplos,contraejemplos (para refutar),argumentos…:
1- Si un número es divisor de varios otros,entonces divide a la suma de todos ellos.
2- Si un número divide a otro, entonces divide a cualesquiera dos sumandos en que se
puede descomponer el segundo número.
3- Si un número es divisor de otros dos números,entonces divide a la diferencia entre el
mayor y el menor.
4-Todo número distinto de 0 tiene in?nitos múltiplos.
5- La suma de varios múltiplos de un número no es múltiplo de ese número.
6-Todo número distinto de 0 tiene un número in?nito de divisores.
7- Si dos números son múltiplos de otro, también lo es la diferencia entre el mayor y el
menor.
8- Si un número a es divisor de uno b,y éste a su vez es divisor de c,entonces a no tiene
por qué ser divisor de c.
9- Si a y b son divisores de un número N,entonces a + b también es divisor de N.
10- Si a y b son divisores de un número N,entonces a x b también es divisor de N.
11- Si a y b son divisores primos de N,entonces a x b también es divisor de N.
12- Si un número es divisor de otro,entonces también es divisor de los múltiplos de éste.
13- Si a es divisor de b,entonces es divisor de b + c (c:cualquier número natural).
14- Si a es divisor de b,entonces es divisor de a + b.
15- Si a es divisor de b,entonces es divisor de b x c (c:cualquier número natural).
16- Si un número es múltiplo de otro,entonces también es múltiplo de todos los múltiplos
de éste último.
17- Si un número es múltiplo de otro,entonces también es múltiplo de todos los divisores
de éste último.
4.1. Descomposición
de un número
en factores primos
Ahora vamos a entrar en la descom-
posición de un número en factores.
Anteriormente vimos cómo cualquier
número puede ser representado como
producto de varios factores. Así, por
ejemplo (sin contar con el factor 1), 36
= 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6. Pero
también, 36 = 2 x 2 x 9 = 2 x 6 x 3 =
3 x 3 x 4. Y, ?nalmente, 36 = 2 x 2 x
3 x 3. Prescindiendo del orden en que
se coloquen los factores, no hay otros
modos de “descomponer” en factores
el número “compuesto” 36.
Todas esas posibles formas de
descomponer 36 en factores tienen su
interés. Pero una de esas formas es pe-
culiar. Ya el lector la habrá descubierto:
la última. Porque en ella todos los fac-
tores son números primos, cosa que no
ocurre en las demás (verifíquelo). Es lo
que denominamos la descomposición
de un número en factores primos.
¿Ytienealgúninterésestapropuesta
dedescomposición?Puessí,porquesólo
cuando un número se descompone en
factores primos se logra una descom-
posición única (véase en el ejemplo
anteriorcómocuandolosfactoresnoson
primos,haymásdeunadescomposición
posible). Dicho de otra manera, si un
númeroNesproductodevariosfactores
13
primos, esa descom-
posición de N en fac-
tores primos es única.
Este resultado lo de-
mostró Euclides 300
añosantesdeCristo…
y más tarde se vino a
conocer nada menos
que como el “Teore-
ma fundamental de la
Aritmética”…
Como puede apreciarse, desde el
punto de vista de la estructura interna
multiplicativadelosnúmerosnaturales,
los números primos –nuestros números
“rebeldes”– cobran una gran importan-
cia:sonlosúnicos“ladrillos”conlosque
se “hacen” todos los números… Ahora
bien, para proceder a descomponer un
número en sus factores primos necesi-
tamos tres cosas:
1. Conocer los números primos.
2. Conocer alguna forma de saber
cuándounnúmeroesmúltiplode
un número primo.
3. Utilizar algún artefacto o formato
para ir escribiendo la descompo-
sición factorial.
Para satisfacer la condición 1, tene-
mosquefamiliarizarnosconlosnúmeros
primos, al menos con los primeros, que
son los más usuales. Así que vayamos
a la tabla de los 100 primeros números
OTRA VEZ
YO…
y marquemos
losnúmerospri-
mos presentes.
Y tratemos de
hacerles un es-
pacio en nues-
tra memoria…
Para cubrir la condición 2, hay dos
formas de proceder. Una, utilizando la
calculadora; así, si deseo saber si 368
es múltiplo de 7, divido 368 entre 7 y
si el resultado es exacto, lo considero
como múltiplo de 7. La otra forma de
procederessirviéndonosdeloscriterios
de divisibilidad, es decir, de ciertos
criterios que nos permiten, mediante
la observación del número y de algún
cálculo rápido, decidir si el número es
o no múltiplo del factor primo.
Veamos este punto con cierto deta-
lle.Parasabersiunnúmeroesdivisible
por 2 acudimos a la tabla de los 100
primeros números y señalamos en ella
todos los múltiplos de 2. Fácilmente
observamos que se ubican sólo en las
columnas cuya cifra de las unidades
es 2, 4, 6, 8 y 0. Este es el criterio
de divisibilidad por 2: un número es
múltiplo de 2 si acaba en cifra par.
Un proceso análogo de señalización
y observación para los múltiplos de 5
nos lleva al criterio de divisibilidad por
5: un número es múltiplo de 5 si acaba
en 5 ó en 0.
Parasaberahorasiunnúmeroesdivi-
sible por 3 acudimos de nuevo a la tabla
delos100primerosnúmeros,señalamos
enellatodoslosmúltiplosde3,yobserva-
mos dónde se ubican (en negrita):
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
Tales múltiplos se ubican en líneas
diagonalesqueprocedendearribaabajo,
de derecha a izquierda. Tomemos una
de ellas: 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. ¿Qué
característica común presentan estos
números? Que la suma de sus dígitos
es 6, el mismo número de cabecera de
la diagonal. Estos números de cabecera
van cambiando (3, 6, 9, 39, 69,…), pero
siempre se conserva la característica de
que la suma de sus dígitos es, a su vez,
un múltiplo de 3. Y esta propiedad se
mantiene al trascender más allá de 99,
connuevosnúmerosdecabecera.Deuna
forma análoga se visualiza la propiedad
característica de los múltiplos de 9.
Este es el criterio de divisibilidad
por 3 (por 9): un número es múltiplo
14
de 3 (de 9) si la suma de sus dígitos es
múltiplo de 3 (de 9). También existen
los respectivos criterios de divisibili-
dad para otros números primos (7, 11,
etc.), pero son más complejos y, en todo
caso, tenemos el recurso de la
calculadora para decidir cada
vez que se requiera.
Existentambiénalgunoscriteriosde
divisibilidadparanúmeroscompuestos.
Por ejemplo, para saber si un número es
múltiplode4óde25,observamossisus
dosúltimascifras(elrestonointeresa)lo
sonpor4ópor25,respectivamente.Es-
tosdoscriteriossederivandelsiguiente
hecho: Sea el número 15.728; este nú-
mero se puede descomponer en 15.700
+ 28. El primer sumando siempre será
múltiplo de 100 y, por lo tanto, de 4 y de
25 (100 = 4 x 25). Por esta razón, sólo
hay que observar las dos últimas cifras
del número: 28 es múltiplo de 4 y, por lo
tanto, 15.728 también lo será (la suma
dedosmúltiplosdeunnúmeroesmúlti-
plodeesenúmero).Encambio,28noes
múltiplode25(condoscifras,sóloloson
00,25,50y75);porlotanto,tampocolo
será15.728.Ende?nitiva,unnúmeroes
múltiplo de 4 (de 25) si lo es el número
formado por sus dos últimas cifras.
Mediante un razonamiento análogo
(partiendo de que 15.728 = 15.000 +
728,que15.000esmúltiplode1.000,y
que1.000 = 8 x 125),sellegaalcriterio
de que un número es múltiplo de 8 (de
125) si lo es el número formado por sus
tres últimas cifras.
Los casos que acabamos de ver
corresponden a potencias de 2 (4 y 8) y
de 5 (25 y 125). Pero hay otros casos en
que se trata de productos de números
primos. Así, por ejemplo:
¦ Un número es múltiplo de 6 (2 x
3) si lo es, simultáneamente, de
2 y de 3.
¦ Un número es múltiplo de 15 (5 x
3) si lo es, simultáneamente, de
5 y de 3.
¦ Un número es múltiplo de 12 (4 x
3) si lo es, simultáneamente, de
4 y de 3.
¦ Un número es múltiplo de 18 (2 x
9) si lo es, simultáneamente, de
2 y de 9.
¦ Un número es múltiplo de 36 (4 x
9) si lo es, simultáneamente, de
4 y de 9.
¦ Un número es múltiplo de 10 (2 x
5) si acaba en 0.
Ahora podemos resolver uno de los
ejercicios del comienzo del Cuaderno y
proponer otros similares:
Las letras a y b esconden dos cifras.Ha-
lle su valor para que el número 18a7b
sea múltiplo de 15. Obtenga todas las
respuestas posibles.
Si18a7bhadesermúltiplode15,debeserdi-
visiblepor5ypor3.Porlaprimeracondición,
debe terminar en 5 ó en 0;y por la segunda,
la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3.
Siterminaen5,losdígitosasumarson1,8,7,
5 y a;es decir,21 + a debe ser múltiplo de 3,
lo que hace que a pueda ser 0,3,6 ó 9.Los
números conseguidos son: 18.075, 18.375,
18.675y18.975.Análogamente,sielnúmero
termina en 0 hay que pedir que 1 + 8 + 7
+ 0 + a = 16 + a sea múltiplo de 3, lo que
ocurre si a es 2,5 u 8.Los números en este
caso son:18.270,18.570 y 18.870.
7. Determinar si 13.046 es múltiplo:
a) de 3;b) de 4;c) de 6
8. Determinar si 148.500 es múltiplo:
a) de 4; b) de 6; c) de 8; d) de 9; e)
de 18;f) de 36
9. Hallar todos los posibles valores
de las letras en cada caso para que se
cumpla que:
a) 4m68 sea múltiplo de 9
b) 98n sea múltiplo de 6
c) 58b7a sea múltiplo de 18
d) 8m56n sea múltiplo de 36
e) 3r33t sea múltiplo de 12
Volvamos ahora a la condición 3
para descomponer un número en sus
factores primos: Utilizar algún arte–
facto o formato para ir escribiendo
15
la descomposición factorial. Primero
necesitamos ir obteniéndolos. Para
ello, si el número no es muy grande,
puede hacerse mentalmente y por
pasos, y escribir el resultado. Por
ejemplo, 24 = 4 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3,
es decir: 24 = 23 x 3. O bien, 42 = 6
x 7 = 2 x 3 x 7.
También puede ayudarnos la dis-
posición habitual de la línea vertical a
cuyo lado derecho se van colocando los
sucesivos divisores primos del número
en cuestión. Por ejemplo:
56
28
14
7
2
2
2
7
220
110
55
11
2
2
5
11
108
54
27
9
2
2
3
3
1
1
3
3
1
56 = 23 x 7 220 = 22 x 5 x 11
108 = 22 x 33
4.2. Los divisores de un número:
cuáles y cuántos
Unavezobtenidaladescomposición
de un número en sus factores primos,
podemos abordar el punto de cómo
conseguir de una manera práctica
todos los divisores de un número dado.
Tomemos, por ejemplo, el número
72. Una forma de hacerlo es sacar los
divisores por parejas de factores cuyo
producto es 72, utilizando los criterios
de divisibilidad en cada paso (o la cal-
culadora…). Así:
• 72 = 1 x 72 (obviamente)
• 72 es múltiplo de 2 (acaba en cifra par) y
72 :2 = 36.Luego,72 = 2 x 36
• 72 es múltiplo de 3 (ya que 7 + 2 = 9) y
72 :3 = 24.Luego,72 = 3 x 24
• 72 es múltiplo de 4, y 72 :4 = 18.Luego,
72 = 4 x 18
• 72 es múltiplo de 6 (lo es de 2 y de 3) y
72 :6 = 12.Luego,72 = 6 x 12
• 72 es múltiplo de 8, y 72 : 8 = 9. Luego,
72 = 8 x 9
Ahora es cuestión de ordenar los re-
sultados:D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 36, 72}[D(72)indicaelconjunto
de los divisores de 72].
Otra forma de obtener los divisores
de 72 es a partir de su descompo-
sición en factores primos: 72 = 23 x
32. Colocamos en la 1ª ?la la unidad
y las sucesivas potencias de uno de
los factores primos (1, 2, 4, 8). Luego
multiplicamos esa ?la por cada una de
las potencias del otro factor primo (3 y
32). Así, los divisores de 72 aparecen
de esta manera:
Esta segunda modalidad parece
más desordenada que la primera, pero
nos permite responder rápidamente
a una pregunta curiosa: ¿cuántos di-
visores tiene un número? Obsérvese
que los divisores se presentan aquí
en un formato rectangular: el número
total de divisores será igual al número
de filas por el número de columnas
presentes. En este caso, 3 x 4 = 12
divisores.
Obsérvese que, por la forma en que
hemos construido el rectángulo ante-
rior, el número de columnas es igual
al número de elementos en la primera
?la, y este número siempre es igual al
exponente del factor primo inicial (23),
más una unidad: 3 + 1. Y el número de
?lasesigualalexponentedelotrofactor
primo (32), más una unidad: 2 + 1. Esta
reglapuedegeneralizarsealcasoenque
ladescomposiciónpresentemásdedos
factores primos.
Así, por ejemplo, si tomamos el
número 60, cuya descomposición en
factores primos (obténgala) es 22 x 3 x
5, obtenemos los divisores:
La unidad y las potencias de 2 hasta 23: 1 2 4 8
1ª ?la multiplicada por 3:
1ª ?la multiplicada por 32:
3 6 12 24
9 18 36 72
16
¿Cuál es el menor entero
positivo por el que se debe
multiplicar504paraobtener
comoproductouncuadrado
perfecto?
La descomposición de 504 en factores pri-
mos es:504 = 23 x 32 x 7.Para obtener ese
cuadradoperfecto,todoslosexponentesde-
benserpares.Yparaqueseaelmáspequeño,
bastaconmultiplicara504por2ypor7para
llegar a 7.056 que es 24 x 32 x 72.
El producto de dos números es 504.
Cada uno de ellos es divisible por 6,pero
ninguno de ellos es 6.¿Cuál es el mayor
de estos dos números?
Empezamos a probar con 12; vemos que
504 :12 = 42,que también es divisible por
6.Si probamos con 18,el otro factor es 28;
y con 24,el otro factor es 21.Pero ni 28 ni
21 son divisibles por 6.Por consiguiente,el
mayor número es 42.
11. Y este otro ejercicio para curiosos
(y perseverantes): Halle los divisores de
todos los números naturales del 2 al 15.
Obtenga ahora los cuadrados de tales
números y halle también sus divisores.
Cuente el número de divisores obtenidos
en todos los casos.¿Qué observa? ¿Qué
clase de números son los que tienen tres
divisores?
La unidad y las potencias de 2:
1ª ?la multiplicada por 3:
1ª ?la multiplicada por 5:
2ª ?la multiplicada por 5:
1
3
5
15
2 4
6 12
10 20
30 60
El número de divisores podía haber-
seobtenidodirectamentemultiplicando
los exponentes de los factores primos
de 60, aumentados todos previamente
en una unidad: (2+1) x (1+1) x (1+1)
= 3 x 2 x 2 = 12 divisores. Del mismo
modo,elnúmero450 = 2 x32 x 52tiene
(1+1) x (2+1) x (2+1) = 2 x 3 x 3 = 18
divisores (verifíquelo).
10. De todos los números naturales de
dos cifras,¿cuál(es) es (son) el (los) que
posee(n) más divisores?
4.3. Las potencias
desde el punto de vista
de sus divisores
Esa es, pues, una de las ventajas de
trabajar con la descomposición de un
númeroenfactoresprimos.Peronoesla
única.Tambiénnossirveparaaveriguar
si un número es un cuadrado perfecto
(los exponentes de todos los factores
primos deben ser pares), o un cubo
perfecto (los exponentes de todos los
factores primos deben ser múltiplos de
3),etc.Ahorapodemosresolveralgunos
delosejerciciospropuestosalcomienzo
del Cuaderno:
4.4. Cómo averiguar
si un número dado
es primo o compuesto
Atodoeso,nosquedaporresolveruna
cuestión importante: ¿cómo averiguar si
un número dado es primo? La norma es
intentarversiesmúltiplodelosnúmeros
primosiniciales:2,3,5,7,etc.Lapregun-
taahoraes:¿hastadóndeseextiendeesta
averiguación?Recordemoscuandoobte-
níamoslosdivisoresde72porparejasde
factorescuyoproductoera72: 1 x 72,…,
6 x 12, 8 x 9. Los primeros factores de
cada pareja iban en aumento (1, 2, 3,…)
hasta llegar a 8; si hubiéramos seguido,
elsiguienteprimerfactorhubierasido9,
que ya había aparecido en la pareja 8 x
9. Ahí se detenía la búsqueda.
Tomemos,porejemplo,elnúmero997:
¿esunnúmeroprimo?Podemosutilizarlos
criterios de divisibilidad y la calculadora
para ayudarnos a responder la pregunta:
no es divisible por 2, 3 y 5 (según los cri-
terios),nipor7,11,13,17,19,23,29,31
(calculadora). En estas últimas divisiones
vamosobservandoloscocientes;así,para
997:31vemosqueelcocientees32,1…Al
pasaraensayarladivisiónconelsiguiente
númeroprimo,37,ladivisión997:37nos
da como resultado 26,9… Ya no hay que
seguir la búsqueda, porque nunca podrá
aparecercomococienteenteroalgunode
losfactoresprimosmenoresyautilizados:
si fuera así, la división del número entre
ese factor primo hubiera sidoexacta.
17
Enresumen,labúsquedasedetiene,
obienporquealgunadelasdivisioneses
exactayelnúmeroserevelacomocom-
puesto, o bien en el momento en que,
en la sucesión de divisiones inexactas,
la parte entera del cociente es menor
que el divisor. De modo que, en nuestro
ejemplo, 997 es primo.
Halle todas las parejas de números
primos cuya suma es 999.
Los posibles sumandos deben ser uno
par y otro impar. Evidentemente, sólo hay
un primo par, el 2, por lo que si existe tal
pareja debe ser la compuesta por 2 y 997.
Y acabamos de ver que 997 es primo. No
puede haber otra pareja.
5. El máximo divisor común
de varios números
Una de las situaciones curiosas es
observar que hay números que compar-
ten uno o varios divisores. Por ejemplo,
dos números seguidos sólo comparten
undivisor:el1(compruébelo…);todoslos
productos de la tabla de multiplicar del
5 comparten el 1 y el 5 como divisores;
12 y 18 comparten los divisores 1, 2, 3
y6(verifíquelo).Así,podemoshablarde
divisores comunes a varios números.
En este punto, una de las preguntas
que podemos formularnos es acerca de
cuál es el menor divisor común de dos
números, así como de cuál es el mayor
divisor común de dos números. A la
primera parte respondemos que el 1, y
nohaymásquedecir.Lasegundaparte
sí se presta a más consideraciones.
El mayor de los divisores comunes
de dos números se denomina máxi-
mo divisor común de esos números.
Seguramente algún(a) lector(a) estará
corrigiendo la expresión para traer la
de “máximo común divisor”, usual-
mente utilizada. Pero esta expresión no
nos parece bien formulada; de hecho,
¿cuál(es) de esas tres palabras es (son)
sustantivo(s) y cuál(es) adjetivo(s)?
(piénselo antes de seguir…).
Ya debemos tener la respuesta: sólo
hay un sustantivo (divisor) y dos adjeti-
vos (máximo y común). En estos casos,
lo habitual es colocar el sustantivo en el
mediodelaexpresión,ylosdosadjetivos,
uno en cada extremo. La expresión más
apropiadaencastellanosería“máximodi-
visorcomún”;encambio“máximocomún
divisor”parecerespondermejoralaforma
deconstruccióndelalenguainglesa…De
todosmodos,novamosahacerdeestoun
puntodehonor,aunquesíutilizaremosla
expresión que proponemos.
Unaspectoimportanteenestetema
es la obtención del máximo divisor
común [en adelante lo designaremos
m.d.c.] de dos números. Hay varios
procedimientos. El primero de ellos se
ajusta literalmente al concepto expre-
sado: el m.d.c. de dos números es el
mayor de los divisores comunes. Por
consiguiente, el procedimiento seguirá
tres pasos: buscar los divisores de cada
número,detectarlosquesoncomunesy,
?nalmente, el mayor de estos últimos.
Así,porejemplo,parahallarelm.d.c.
de42y18:D(42)={1,2,3,6,7,14,21,
42};D(18)={1,2,3,6,9,18}.Divisores
comunes: {1, 2, 3, 6}. El mayor de estos
divisores: 6. Así, pues, m.d.c.(42, 18)
= 6. Y para hallar el m.d.c. de 32 y 35:
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}; D(35) = {1,
5, 7, 35}. Divisores comunes: {1}. Por
consiguiente, m.d.c.(32, 35) = 1.
Este sencillo procedimiento –muy
útil cuando se trata de cantidades
pequeñas– puede operarse mental-
mente por la vía del ensayo y ajuste
de la siguiente manera: tomamos los
divisores del número menor de los dos
dados:18;ordenamosesosdivisoresde
mayor a menor: 18, 9, 6, 3, 2, 1, y los
vamos tomando de uno en uno en ese
orden para probar si también resultan
ser divisores del otro número. Así, 18,
no es divisor de 42; 9, no es divisor de
42; 6, sí es divisor de 42. El primero
que resulta divisor del otro número, es
el m.d.c. de ambos, ya que es el mayor
de los divisores comunes. En nuestro
caso, m.d.c.(42, 18) = 6.
18
reiteradamentepuedehallarseelm.d.c.
dedosnúmeros.Veámosloconelmismo
par de números, 270 y 195:
1
2
1
1
2
270 195 75 45
30 15
75
45 30
15
0
El formato anterior arranca en la 2ª
?la,colocandolosnúmerosencuestión,
270 y 195. Se procede a su división: el
cociente 1 se coloca encima de 195 y
el resto, 75, debajo de 270. El m.d.c. de
270 y 195 –todavía sin calcular– debe
dividir a ambos números y, por con-
siguiente, a su diferencia 75. Ahora,
este resto 75 pasa a la derecha de 195
y se establece una nueva división: 195
como dividendo y 75 como divisor. En
esta división, el cociente 2 se escribe
sobre 75 y el resto 45 (de 195 – 150),
debajode195.Sielm.d.c.quesebusca
dividea75,dividetambiéna150y,por
Dosobservacionesmuypertinentes,
antes de continuar con otros procedi-
mientos:laoperacióndehallarelm.d.c.
dedosnúmerospuedeextenderseatres
o más números, del mismo modo como
lasumasede?nealcomienzocomouna
operación binaria (para dos sumandos)
y luego se extiende a cualquier número
de sumandos. Y en segundo lugar, en el
caso en que el m.d.c. de dos números
sea 1, se dice que ambos números son
primos relativos, o coprimos. Por ejem-
plo, 32 y 35 son primos relativos.
Una tercera forma de obtener el
m.d.c.devariosnúmerosesporlavíade
su descomposición en factores primos.
Así, si 168 = 23 x 3 x 7 y 180 = 22 x
32 x 5 (hágalo), vemos que los factores
primos comunes son 2 y 3, y que sus
menores potencias de base común son
22 (no se llega a 23 en 180) y 3 (no se
llega a 32 en 168). Sabemos que su pro-
ducto 22 x 3 también es divisor de 168
y de 180 –por consiguiente, es divisor
común–; y fácilmente podemos inferir
que es, además, el mayor posible. Así,
concluimosquem.d.c.(168, 180) = 22 x
3 = 12. De ahí se deduce la regla habi-
tual:Descompuestosvariosnúmerosen
sus factores primos, su m.d.c. es el pro-
ducto de los factores primos comunes,
tomados con su menor exponente.
Existe una cuarta forma en que se
procede a una descomposición simul-
tánea de varios números en divisores,
sin que éstos tengan que ser necesa-
riamenteprimos.Así,porejemplo,para
hallar el m.d.c. de 630, 180 y 1.170,
operamos así:
1.170
117
13
630
63
7
1
180
18
2
1
10
9
7
2
13
(es divisor común de los tres)
(es divisor común de los tres)
(sólo divide a 7)
(sólo divide a 2)
(sólo divide a 13)
1
1
Como se ve, no hay que seguir un
orden ?jo en los divisores, sino el que
más convenga en cada caso. Aquí, por
ejemplo, la primera observación es que
todos los números acaban en 0, por lo
que admiten a 10 como divisor común.
Después notamos que la suma de los
dígitos de los tres números es 9, de
donde deducimos que son múltiplos de
9.Ynohaymásdivisorescomunes.Así,
m.d.c.(630, 180, 1170) = 10 x 9 = 90.
Finalmente (por ahora…), hay una
quintaformadecalcularelm.d.c.dedos
números, conocida como el algoritmo
de Euclides. Se basa en una propiedad
ya observada: si un número es divisor
de otros dos números, entonces divide
a la diferencia entre el mayor y el me-
nor [ejercicio propuesto 6. 3]. Así, si 15
divide a 270 y a 195, también divide a
270 – 195 = 75, y a cualquier múltiplo
de 75. Al aplicar estas propiedades
19
ende,aladiferenciade195menos150,
que es 45.
Ahora se prosigue análogamente
con 75 y 45 (nuevos dividendo y divi-
sor),luegocon45y30y,?nalmente,con
30 y 15. El proceso se detiene al llegar
a un resto nulo: el m.d.c. buscado es el
último de los divisores de la cadena (2ª
?la); en este caso, m.d.c.(270, 195) =
15. Este algoritmo es muy útil cuando
setratadeobtenerelm.d.c.denúmeros
grandes.
Tenemos,pues,hastacincoalterna-
tivasdiferentesparaobtenerelm.d.c.de
varios números, cada una con sus pe-
queñas ventajas. Es conveniente saber
manejarlastodas,yquesealanaturaleza
de los números (pequeños o grandes;
sólodosomásdedos)yelestilodecada
quien,loquedeterminelaseleccióndel
procedimiento en cada caso.
De todas formas, resulta pertinente
saber validar si el resultado a que se
llegue en cada situación es el correcto.
Unadelasmanerasdehacerloesutilizar
unavíadistintaalaseguidapreviamen-
te.Otrodelosposiblescriteriosescalcu-
lar los cocientes de cada número entre
el m.d.c. obtenido. Como es fácil de ad-
vertir, esos cocientes deben ser primos
relativos (¿por qué?). Por ejemplo, en el
caso de 270 y 195, los cocientes entre
15 son, respectivamente, 18 y 13, que
son primos relativos.
Calcule,por la vía que desee,el m.d.c.
de los siguientes números:
a) 32 y 72 b) 105 y 63 c) 24 y 25
d) 1.001 y 143
e) 36, 84 y 204
6. El mínimo múltiplo común
de varios números
Aunque no lo hayamos mencionado
hastaahora,elprocedimientoparaobte-
ner los múltiplos de un número es muy
sencillo: basta formar su tabla de multi-
plicar. Una forma práctica de hacerlo es
sumando reiteradamente el número en
la calculadora. En seguida apreciamos
que, a diferencia del número de diviso-
res de un entero positivo, el número de
sus múltiplos es in?nito.
Enestamismalíneapodemosobser-
varquetodopardenúmerosenterospo-
sitivosposeesiempreunnúmeroin?nito
demúltiploscomunes.Enefecto,unode
éstoseselproductodeambosnúmeros,
producto que, a su vez, tiene in?nitos
múltiplos. No tiene sentido, pues, pre-
guntarseporelmayordeestosmúltiplos
comunes. Pero sí lo tiene preguntarse
por el menor que no sea nulo (porque el
0esmúltiplodetodoslosnúmeros),múl-
tiplo que tiene su nombre: el menor de
f) 72 y 175
g) proponga otros casos y resuélvalos.
12. Evalúe cada una de las siguientes a?rmaciones como verdadera o falsa. Para ello,
ayúdese con ejemplos,contraejemplos (para refutar),argumentos…:
1- Si dos números son primos,entonces son primos relativos.
2- Cualquier par de números naturales consecutivos son primos relativos.
3- Si dos números son primos relativos,entonces cada uno de ellos es primo.
4- Cualquier par de números impares consecutivos son primos relativos.
5- Si m.d.c.(a,b) = m,entonces los divisores de m dividen a a y a b.
6- Si m.d.c.(a,b) = m,entonces m divide a todos los divisores de a y de b.
7- Si m.d.c.(a,b) = m,entonces m divide a todos los múltiplos de a y de b.
8- Si m.d.c.(a, b) = m, entonces m es múltiplo de todos los divisores comunes de a
y de b.
9- Si dos números se multiplican (o dividen) por un mismo número, el m.d.c. de ambos
queda multiplicado (o dividido) por ese mismo número.
10- Si un número divide al producto de dos factores y es primo relativo con uno de ellos,
necesariamente debe dividir al otro factor.
20
los múltiplos comunes de dos números
sedenominamínimomúltiplocomúnde
esosnúmeros(estaformadellamarloya
ha quedado justi?cada…).
Aquítambién,unaspectoimportante
deltemaeslaobtencióndelmínimomúl-
tiplocomún[enadelantelodesignaremos
m.m.c.]dedosnúmeros.[Comoenelcaso
delm.d.c.,laoperacióndehallarelm.m.c.
dedosnúmerospuedeextenderseatreso
másnúmeros].Hayvariosprocedimientos.
El primero de ellos se ajusta literalmente
al concepto expresado: el m.m.c. de dos
números es el menor de los múltiplos co-
munes.Porconsiguiente,elprocedimiento
seguirádospasos:buscarlosmúltiplos(los
primeros…)decadanúmeroy,enseguida,
el primero quesea común.
Así,porejemplo,parahallarelm.m.c.
de 42 y 18: M(42) = {42, 84, 126, 168,
210,…};M(18)={18,36,54,72,90,108,
126, 144, …}. El primer múltiplo común:
126. Así, pues, m.m.c.(42, 18) = 126.
Este sencillo procedimiento –muy
útil cuando se trata de cantidades pe-
queñas– puede operarse mentalmente
por la vía del ensayo y ajuste de la si-
guientemanera:tomamos,unoauno,los
múltiplos del número mayor de los dos
dados (42), ordenados de menor a ma-
yor: 42, 84, etc., para probar si también
resultan ser múltiplos del otro número.
Así, 42, no es múltiplo de 18; 84, no es
múltiplo de 18; 126, sí es múltiplo de
18. El primero que resulta múltiplo del
otro número, es el m.m.c. de ambos. En
nuestro caso, m.m.c.(42, 18) = 126.
Una tercera forma de obtener el
m.m.c.devariosnúmerosesporlavíade
su descomposición en factores primos.
Así,si168 = 23 x 3 x 7 y180 = 22 x 32 x
5,vemosqueunnúmeroqueseamúltiplo
de ambos debe poseer como factores, al
menos, a 23(y no solamente 22), 32 (y no
sólo3),5y7.Elproductodetalesfactores
eselmenornúmeroquepuedeserdividi-
do exactamente por cada uno de los nú-
meros dados. De ahí concluimos que 23
x 32 x 5 x 7 es múltiplo de 168 y de 180
–por consiguiente, múltiplo común– y,
además, el menor posible: m.m.c.(168,
180) = 23 x 32 x 5 x 7 = 2.520. Así se
llega a la regla habitual: descompuestos
varios números en sus factores primos,
su m.m.c. es el producto de los factores
primoscomunesynocomunes,tomados
con su mayor exponente.
Existe una cuarta forma en que se
procede a una descomposición simul-
tánea de varios números en divisores,
sinqueéstostengan
que ser necesaria-
mente primos. Así,
porejemplo,paraha-
llarelm.m.c.de630,
180 y 1.170, opera-
mos como antes:
630 180 1.170
63 18 117
7 2 13
1
1
1
10 (es divisor común a los tres)
9 (es divisor común a los tres)
7 (sólo divide a 7)
2 (sólo divide a 2)
13 (sólo divide a 13)
1
Pero ahora multiplicamos todos
los divisores, los comunes y los no
comunes, para llegar al primer múlti-
plo común de los tres números dados:
m.m.c.(630, 180, 1.170) = 10 x 9 x 7 x 2
x 13 = 16.380.
Finalmente, vamos a descubrir una
regularidad que relaciona al m.d.c. y al
m.m.c.dedosnúmeros.Paraellodamos
las siguientes parejas: 42 y 18; 32 y 72;
32 y 35; 15 y 60. Y vamos a calcular (ha-
gámoslo) el m.d.c. y el m.m.c. de todas
ellas. Colocamos los resultados en la
siguiente tabla:
21
a
b
a x b
m.d.c.(a, b)
m.m.c.(a, b) m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b)
42
32
32
15
18
72
35
60
756
2.304
1.120
900
6
8
1
15
126
288
1.120
60
756
2.304
1.120
900
La regularidad salta a la vista: en
cada caso, hay dos columnas con valo-
res idénticos. Por consiguiente:
a x b = m.d.c.(a,b) x m.m.c.(a,b)
Esta expresión nos permite obtener
el valor de cualquiera de las cuatro va-
riables,siconocemoselvalordelasotras
tres.Porejemplo,siyahemoscalculado
el m.d.c. de a y b, tenemos una quinta
manera de hallar su m.m.c.:
m.m.c.(a,b) =
a x b
m.d.c.(a,b)
Porotrolado,esteresultadonosper-
mite corroborar un par de intuiciones:
primero, que si a es múltiplo de b, en-
tonces m.d.c. (a, b) = b, y m.m.c. (a, b)
=a.Y,ensegundolugar,quesiaybson
primos relativos (esto es, m.d.c.(a, b) =
1),sum.m.c.esigualasuproducto.Y,a
la inversa, que cuando el m.m.c. de dos
números es igual a su producto, ambos
son primos relativos.
Ojo: la expresión an-
terior, que relaciona
los valores del m.d.c.
y del m.m.c. de dos
números,sólo es válida
en ese caso.No puede
generalizarse para el
casoderelacionarselos
valores del m.d.c. y del m.m.c. de más de
dos números. Puede veri?carlo tomando
tres números,p.ej.,12,8 y 18.Para ellos,su
m.m.c. es 72 y su m.d.c. es 2. Sin embargo,
el producto de estos dos valores es 144,
mientras que el producto de los tres núme-
ros dados es 1.728.
Tenemostambién,pues,variasalter-
nativasdiferentesparaobtenerelm.m.c.
devariosnúmeros,cadaunaconsuspe-
queñas ventajas. Es conveniente saber
manejarlastodas,yquesealanaturaleza
de los números (pequeños o grandes;
sólodosómásdedos)yelestilodecada
quien lo que determine la selección del
procedimiento en cada caso.
De todas formas, resulta pertinente
sabervalidarsielresultadoaquesellegue
en cada situación es el correcto. Una de
lasmanerasdehacerloesutilizarunavía
distinta a la seguida previamente. Otro
delosposiblescriteriosescalcularlosco-
cientesdelm.m.c.aldividirseentrecada
número.Esoscocientesdebenserprimos
relativos (¿por qué?). Por ejemplo, en el
casode42y18,loscocientesde126(su
m.m.c.)entreellosson,respectivamente,
3 y 7, que son primos relativos.
Calcule, por la vía que desee, el m.m.c.
de los siguientes números:
a) 12 y 84 b) 105 y 63 c) 24 y 25
d) 1.001 y 143
e) 36, 84 y 204
f) 72 y 175
g) proponga otros casos y resuélvalos.
Los números 6,14 y 15 son divisores
de N.¿Cuál puede ser el menor valor
de N?
Obsérvese que, según el enunciado, N es
un múltiplo común de los tres números.
Además, debe ser el menor. Se trata, pues,
de hallar su m.m.c.,que es 210.
Si el precio de un objeto se puede pagar
exactamente con sólo monedas de 20
pesos, y también con sólo monedas de
25 pesos,¿se podrá pagar exactamente
con sólo monedas de 50 pesos? ¿Y con
sólo billetes de 200 pesos?
22
El enunciado indica que el precio del ob-
jeto es múltiplo de 20 y de 25. El m.m.c.
de ambos es 100. Por consiguiente, ese
precio puede pagarse con sólo monedas
o billetes de 100 pesos, y también con
sólo monedas de 50,por ser 50 divisor de
100.Pero puede que no se pague con sólo
billetes de 200 pesos (p. ej., si el precio es
de 300 pesos…).
El m.d.c. de dos números es 5; su
m.m.c. es 75. Si uno de los números
es 15,¿cuál es el otro?
De acuerdo con la última relación descu-
bierta, a x b = m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b).
Por consiguiente, si llamamos b al número
desconocido,15 x b = 5 x 75;es decir,15 x
b = 375.De donde:b = 375 :15 = 25.
13. Evalúe cada una de las siguientes a?rmaciones como verdadera o falsa. Para ello,
ayúdese con ejemplos,contraejemplos (para refutar),argumentos…:
1- Si dos números son primos relativos,entonces su m.d.c.es el menor de ellos.
2- Si dos números son primos relativos,entonces su m.m.c.es el mayor de ellos.
3- El m.d.c.de dos números es divisor del m.m.c.de ambos números.
4- Si m.m.c.(a,b) = m,entonces los divisores de m dividen a a y a b.
5- Si m.m.c.(a,b) = m,entonces los divisores de a y b dividen a m.
6- Si m.m.c.(a,b) = m,entonces m divide a todos los múltiplos de a y de b.
7- Si m.m.c.(a,b) = m,entonces los múltiplos de a y de b dividen a m.
8- Si m.m.c.(a,b) = m,entonces a y b dividen a todos los múltiplos de m.
9- Si dos números se multiplican (o dividen) por un mismo número, el m.m.c. de ambos
queda multiplicado (o dividido) por ese mismo número.
7. La resolución
de problemas en el campo
de la divisibilidad
Enelcampodeladivisibilidad,lospro-
blemaspuedensermuyvariados,aunque
enbuenapartesere?erenaregularidades
o características que presentan algunos
números,oarelacionesentreellos.Tam-
biénloshayquealudenasituacionesde
la vida diaria. Vamos a plantear algunos
de estos tipos de problemas. Lo que su-
gerimos a nuestros lectores es que, una
vezleídoelenunciadodecadasituación,
intenten resolver el problema por cuenta
propiaantesderevisarlavíadesolución
que se presenta posteriormente.
a) Hallar una lista de 10 enteros conse-
cutivos que sean compuestos.
b) Si se divide cierto número por 6,
se obtiene 4 como resto. Pero si se
divide por 5,el resto disminuye en 1
y el cociente aumenta en 1. ¿Cuál es
el número?
c) ¿De cuántas maneras puede escribir-
se 60 como producto de tres números
diferentes?
d) ¿Cuál es el mayor número posible
tal que, al dividirse 247, 367 y 427
entre ese número, se obtiene 7 de
resto en todos los casos?
e) Atención: 45, 150, 105, 30 y 90 son
“plikos”.Pero 24,50,18,125,66,6 y 80
no son“plikos”.¿Cuáles de los siguientes
números:40,75,120,36,60,96 y 135
son“plikos”?
f) Tome un número de tres cifras.
Escríbalo de nuevo, a continuación
del anterior, para formar un número
de seis dígitos.Divídalo entre 7,11 y
13 y observará que las tres divisiones
son exactas.Y así con cualquier otro
número de tres cifras.¿Por qué?
g) El número N es la cuarta potencia de
otro número.N tiene a 18 como divisor.
¿Cuál es el menor valor que puede tener
el cociente de N entre 18?
23
h) En un abas-
to hay menos
de 400 huevos
para la venta. Si se colocan en enva-
ses de 1 docena,1 docena y media,2
docenas,y2docenasymedia,siempre
sobran 3 huevos.¿Cuántos hay?
i) Un número se divide entre 7 y da
como resto 5. ¿Cuál será el resto que se
obtiene al dividir el triple de ese número
entre 7?
j) En cada una de las 9 casillas libres
coloque uno de los dígitos del 1 al 9
de tal forma que los productos hori-
zontales coincidan con los valores de
la derecha y los productos verticales,
con los valores inferiores:
k) Hallar un número menor que 30 que
sea simultáneamente múltiplo de 2, de
3 y de 5.
l) En la siguiente distribución:
A D
B G E
C F
cadaletraescondeundígitodiferente.
Averigüe cuáles son si se cumple que
los tres productos:AxBxC,BxGxE
y DxExF son iguales.
n) Determinar el mayor número
natural tal que cuando divide a 364,
414, y 539, deja el mismo resto en
los tres casos.
ñ)Rosauratienetreshijos.Elproductode
sus edades es 200.La edad del mayor es
el doble de la del segundo hijo.¿Cuántos
años tiene cada hijo?
o) Nidia y su abuela cumplen años
el mismo día. Durante 6 cumpleaños
consecutivos la edad de la abuela ha
sido múltiplo de la edad correspon-
diente de Nidia.¿Cuántos años tiene
ahora Nidia,un día después del último
de estos seis cumpleaños?
p)Al sumar dos números de dos dígitos
cada uno,a2 y b4,se obtiene un número
múltiplode3.¿Cuáleselmenorvalorque
puede tener la suma a + b?
q) Halle 3 números cuyo m.m.c. sea
48.
r) Halle los números de todos los años
del segundo milenio tales que la suma de
sus dígitos sea 21,y su producto,162.
s) Beatriz guarda en
su alcancía menos de
100 monedas.Al sacar-
las observa que si las
agrupa en montones
de 2, 3, 4, 5 y 6 monedas, le sobran,
respectivamente,1,2,3,4 y 5 mone-
das. ¿Cuántas le sobrarán si las pone
en montones de 7 monedas?
t) ¿Cuál es el mayor número escrito con
nueve dígitos diferentes (excluido el 0)
que es múltiplo de 18?
u) Se desea pavimentar un piso con
baldosas rectangulares de 30 cm x
40 cm,colocadas todas en el mismo
sentido. ¿Cuál es el menor número
de baldosas necesarias para formar
un cuadrado pavimentado?
24
v)Tres amigos, cuyas edades pasan de
19 años,nos indican que el producto de
sus edades es 17.710. ¿Cuántos años
tienen?
w)Coloqueenlatablasiguientelosdí-
gitos del 1 al 9 (uno en cada casilla)
de manera que el número formado
por los dígitos de las casillas:
1 y 2 sea divisible por 2
2 y 3 sea divisible por 3
3 y 4 sea divisible por 4
………………………..
8 y 9 sea divisible por 9
x) Ramón borra accidentalmente una
división. Pero recuerda que los sucesivos
sustraendos eran,de arriba hacia abajo,
690,2.415,y 3.105;y que el resto ?nal
era 1.¿Cuáles eran el dividendo,el divisor
y el cociente de la división?
Vamos,pues,areportaralgunasvías
desoluciónparapodercontrastarlascon
las que hemos podido obtener entre
todos.
a) La tarea es un poco tediosa, pero no
difícil. Hay que buscar la tabla de números
primosyobservardóndeapareceun“salto”
de11unidades(almenos)entredosprimos
consecutivos. Esta situación se presenta
por primera vez entre los números primos
199 y 211. La lista de los 11 enteros con-
secutivos es: 200, 201, …, 210. La siguiente
secuencia (también de 11 números) va de
212 a 222.
b) En primer lugar, podemos formar el
conjunto de los números que dan resto 4 al
dividirse entre 6:{4,10,16,22,28,34,40,…}.
Yahoraobservamoscuáldeestosnúmeros,
al dividirse entre 5, arroja un cociente una
unidad superior y un resto una unidad in-
ferior a los que se obtienen al dividirse por
6.El ensayo nos lleva al número 28.
c) Se trata de tener a la mano todos los
divisores de 60:D(60) = {1,2,3,4,5,6,10,
12,15,20,30,60}.Y de organizarlos orde-
nadamente en ternas de factores diferentes
cuyo producto sea 60.Estas ternas son:1 x
2 x 30,1 x 3 x 20,1 x 4 x 15,1 x 5 x 12,1
x 6 x 10, 2 x 3 x 10,2 x 5 x 6,3 x 4 x 5.
d) Si al dividirse 247, 367 y 427 entre el
número que buscamos,da siempre resto 7,
esto signi?ca que 240, 360 y 420 son múl-
tiplos de tal número.Por consiguiente,este
número es un divisor de los tres (común),y,
además,nospidenqueseaelmayorposible.
Setrata,pues,delmáximodivisorcomúnde
240,360 y 420.Y este número es 60.
e) Sabemos que 45,150,105,30 y 90 son
“plikos”,pero que 24,50,18,125,66,6 y 80
no son“plikos”.Para responder a la pregun-
ta:¿cuáles de los siguientes números:40,75,
120, 36, 60, 96 y 135 son “plikos”?, necesi-
tamos saber qué es un“pliko”.Es decir,qué
característica tienen en común los números
del primer grupo, que no sea poseída por
ninguno de los del segundo grupo.
Pueden formu-
larse, de entrada,
muchas hipótesis,
que se deben ir
contrastando con
elcriterioanterior.
Por ejemplo,“son
númerosentre30
y150…(rechazada:
también los hay
en el segundo grupo);“acaban en 0 ó en 5:
son múltiplos de 5”(rechazada:50,125 y 80
están en el segundo grupo);“son múltiplos
de 3” (rechazada: 24, 18, 66 y 6 también lo
son y están en el segundo grupo).
Peroprofundizandoporestalíneapodemos
percatarnos de que todos los números del
primer grupo son múltiplos de 15, y que
25
no hay ninguno del segundo grupo que lo
sea: hemos hallado la característica de los
“plikos”. Por consiguiente, los “plikos” del
tercer grupo son los múltiplos de 15, es
decir,75,120,60 y 135.
f) Por ejemplo, 217. Formamos el número
217.217.Y, efectivamente, es divisible por
7, por 11 y por 13.Y así ocurre con cual-
quier otro construido de la misma forma.
¿Por qué?Veamos:podemos descomponer
217.217 en 217.000 + 217.Y ahora,pode-
mos aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma:
217.217 = 217.000 + 217 = 217 x (1.000
+ 1) = 217 x 1.001
Por consiguiente, 217.217 (y cualquier
otro número construido de la misma
forma) es divisible por 1.001. Ahora bien,
si descomponemos 1.001 en sus factores
primos, obtenemos: 1.001 = 7 x 11 x 13.
Por consiguiente,217.217 (y cualquier otro
número construido de la misma forma) es
divisible por 7,por 11 y por 13.
g)SiNes la cuarta potencia de otro núme-
ro, la descomposición factorial de N debe
estar constituida por factores primos (uno
solo o varios) cuyos exponentes deben ser
múltiplos de 4. Por ejemplo, N podría ser
28,34 x 58,ó 74 x114 x 38.Pero si es divisible
por 18 (que es 2 x 32),esto nos indica que
2 y 3 son factores primos propios de N.Así,
el número más pequeño que puede ser N
es 24 x 34.Por consiguiente,el menor valor
posible para N/18 es: (24 x 34) / (2 x 32) =
23 x 32 = 8 x 9 = 72.
h) Los envases en que se colocan los hue-
vos tienen como capacidad:12,18,24 y 30.
Si al colocarse los huevos en cartones de
cada tipo siempre sobran 3,está claro que
al quitarse 3 huevos del número total se
obtendría un múltiplo de cada una de las
capacidades. Para buscar los posibles múl-
tiplos comunes,hallamos primero el menor
de ellos: m.m.c.(12, 18, 24, 30) = 360. Los
demás serían: 720, 1.080, etc. Pero estos
últimos superan a 400.Por consiguiente,en
el abasto hay 360 + 3 = 363 huevos.
i) Ensayemos con algunos casos concretos.
Sielnúmeroes12(daderesto5aldividirse
entre 7),su triple (36) da de resto 1 al divi-
dirse también entre 7.Si el número es 19,el
restodesutriple(57),aldividirseentre 7,es
también1.Puedeveri?carseconotroscasos
análogos y siempre el resto será 1.
La razón es que esos números (los llamare-
mos N) están formados por dos sumandos:
uno que es múltiplo de 7 (de la forma 7 x k,
donde k es un número natural) y otro,que
es 5. Es decir, N = 7 x k + 5.Así, 12 = 7 x
1 + 5;19 = 7 x 2 + 5.En estas condiciones,
el triple de N será el triple de 7 x k, más
el triple de 5,que es 15.Obsérvese que el
triple de 7 x k sigue siendo un múltiplo de
7, y que 15 es un múltiplo de 7 (14) más
1. En de?nitiva, el triple de N es un nuevo
múltiplo de 7, más una unidad.Así, pues, al
dividirse el triple de N entre 7,el resto que
se obtendrá será siempre 1.
j) Aquí lo fundamental es observar los pro-
ductos en los márgenes derecho e inferior.
Así,en la 1ª ?la deben estar los dígitos 5 y 7
para poder dar 70 como producto.Además,
5 debe hallarse en la 2ª columna y 7 en la 3ª
(porlosproductosinferiores45y126,respec-
tivamente).Detodoestosurgela1ª?la:2,5y
7(eneseorden).Porotrolado,la1ªcolumna
nodebellevardígitosmúltiplosde3(3,6ó9),
yaqueelproductoes64(sólodebenestarel
4yel8).Peroel8nopuedeestarenla3ª?la,
yaque108noesmúltiplode8.El9tampoco
puedeestarenla2ª?la,yaqueelproductoes
48,que no es múltiplo de 9.Todo esto lleva a
la siguiente con?guración de la tabla:
¿Es usted capaz de elaborar un ejercicio
similar al propuesto?
26
k) Si el número es, simultáneamente, múl-
tiplo de 2, de 3 y de 5, ha de ser múltiplo
de su mínimo múltiplo común, que es 30.
Pero la condición de que sea menor que
30 reduce las posibilidades al caso de 0,que
es también un múltiplo común de los tres
números dados.
l) Antes de ensayar con cualesquiera
dígitos, debemos observar la distribución
propuesta.Inmediatamente se percibe que
B y E son los dígitos clave, pues forman
parte de dos productos cada uno,cosa que
no ocurre con los demás. Por otro lado,
debemos pensar en los tres dígitos –sólo
usamos siete– que no pueden aparecer
en esta con?guración. Ellos son el 0, el 5
y el 7, ya que su presencia no es posible,
simultáneamente,en los tres productos –a
lo sumo en dos–,con lo que éstos dejarían
de ser todos iguales.En efecto,si uno o dos
productos son múltiplos de 5 (o de 7, o
nulos),el(los)restante(s)nopodría(n)serlo.
Debemos trabajar,pues,con los factores 1,
2,3,4,6,8 y 9.
Otro elemento en el que debemos pensar
ahora es en el posible valor común del
producto de las ternas de factores.Ese pro-
ductodebesermúltiplodetodoslosdígitos
implicados. Esto nos lleva a deducir que el
producto debe ser 72,ya que otro múltiplo
no común (como 36, 54 ó 108) no nos
serviría, y un múltiplo mayor de 72 (como
144) resultaría excesivamente grande.
El problema está ahora en cómo distribuir
los dígitos para obtener 72 como producto.
Un punto de partida puede ser pensar en
una terna que necesariamente debe apa-
recer:9,8,1.La pregunta es:¿en qué orden
y en qué lugar? El lector puede comprobar
que no puede ?gurar como B G E –en
ningún orden de los factores– pues no
permite lograr los productos “verticales”
iguales a 72. Por consiguiente, la terna 9,
8, 1 es “vertical” (supongamos que es D E
F). ¿Cuál de los tres dígitos ocupa el lugar
clave de E? Por ensayo y ajuste (puede
comprobarlo) se llega a determinar que
debe ser el 9. A partir de aquí se derivan
las posiciones de 4 y 2 en los lugares B y G,
respectivamente. Los dígitos 6 y 3 pueden
ocupar las posiciones A o C.
Así que una de las distribuciones posibles
es: 6 8
4 2 9
3 1
m) Esta situación sugiere el uso de la estra-
tegiadeensayoyajusteporque,comohabrá
observado el(la) lector(a),no es indiferente
el orden en que se coloquen los cuatro
dígitos en la ?la de la base. Por ejemplo, si
se ordenan –de izquierda a derecha– 2, 3,
1 y 4, los valores de la siguiente ?la serán:
6, 3 y 4. Pero si se hubieran ubicado en el
orden 1, 4, 2 y 3, tales valores serían: 4, 6
y 8, cuyos productos son superiores a los
del primer caso.
La lógica sugiere colocar los factores 3 y 4
al centro.Y se observa que resulta indife-
rente poner el 1 en cualquiera de los dos
extremos de la ?la. Así se llegaría a una
disposición óptima como la siguiente:
3.456
48
72
4
12
6
1
4
3
2
n)Esteejerciciodi?ereunpocodelejercicio
d) resuelto anteriormente.Allí se sabía que
elrestocomúnera7,mientrasqueahorano
se conoce tal resto.Llamémosle r.Entonces,
los números 364 – r,414 – r,y 539 – r son
divisibles por nuestro número desconocido.
Evidentemente, se trata de encontrar el
mayor divisor común de esos tres núme-
ros,pero al no saber su valor numérico,no
podemos proceder como en d).
Sin embargo,podemos utilizar otra propie-
dad de los divisores: si un número divide a
27
varios números,entonces divide también a
su diferencia.En este caso,nuestro número
desconocido dividirá a las tres diferencias
posibles entre esos tres números: a [(539
– r) – (364 – r)], a [(539 – r) – (414 – r)]
y a [(414 – r) – (364 – r)]. Es decir, a (539
– 364), a (539 – 414) y a (414 – 364). O,
lo que es lo mismo, a 175, a 125 y a 50.
Buscamos,pues,el m.d.c.(175,125,50),que
es 25. Puede veri?carlo y, de paso, hallar el
valor del resto r
ñ) Sabemos que el producto de tres fac-
tores es 200.Para tener una idea de cuáles
pueden ser, hallemos los divisores de 200:
D(200) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50,
100, 200}. Hemos de tener en cuenta dos
condiciones: se trata de edades de hijos
(no pueden ser números muy grandes), y
la edad del mayor es el doble de la edad
del segundo hijo. Esta situación nos lleva a
dos posibles ternas de edades: 20, 10, 1 y
10, 5, 4 años. Quizá resulta más habitual la
segunda terna, pero nunca se sabe… Hay,
pues,dos respuestas posibles.
o)Deentradayparaentenderelproblema,
podemos pensar que Nidia acaba de cum-
plir,por ejemplo,11 años.Esto signi?ca que
la edad actual de su abuela es múltiplo de
11. La de hace un año, debía ser múltiplo
de 10; la de hace dos, múltiplo de 9; y así
sucesivamente, hasta llegar a que la edad
de hace 5 años debía ser múltiplo de 6. El
problema está en encontrar una secuencia
de 6 edades consecutivas de la abuela que
satisfagan esa condición de ser, respectiva-
mente,múltiplos de 6,7,8,9,10 y 11.
Todo lo anterior es válido si Nidia acabara
de cumplir 11 años. Pero de momento no
sabemos si habrá cumplido más o menos
años que 11.Lo que sí observamos es que
“no nos interesa” que haya cumplido“mu-
chos”años,porque entonces las exigencias
para las sucesivas edades de la abuela son
muy “fuertes”; véase, por ejemplo para
el caso de 11 años, que la secuencia de
edades consecutivas de la abuela debe ser:
un múltiplo de 6,uno de 7,uno de 8,etc.Y
esto no es fácil de satisfacer (de hecho,no
existe esa secuencia).
Por eso, es preferible empezar el ensayo
suponiendo que Nidia acaba de cumplir
6 años (que es lo mínimo permitido en
el problema), con lo que su secuencia de
años cumplidos es 1,2,3,4,5 y 6.Entonces,
la secuencia de edades consecutivas de la
abuela debe ser:un múltiplo de 1,uno de 2,
uno de 3,uno de 4,uno de 5,y uno de 6.Si
nos ?jamos en las dos últimas condiciones
(dos números seguidos,uno múltiplo de 5 y
elsiguiente,múltiplode 6),encontramoslos
posibles pares:5 y 6;35 y 36;65 y 66;95 y
96, etc. Por la relación de abuela-nieta, nos
quedamos con
los pares 65 y
66,y 95 y 96.
En el primer
caso, la secuen-
cia numérica de
las seis edades
de la abuela serían: 61, 62, 63, 64, 65 y 66.
Secuencia que cumple las condiciones ini-
ciales: 61 es múltiplo de 1; 62, de 2; 63, de
3; 64, de 4; 65, de 5; y 66, de 6. En cambio,
en la otra secuencia (91, 92, 93, 94, 95 y
96) no se cumple que 94 sea múltiplo de 4
[Trate de probar con otras posibles edades
de Nidia…].
p) La suma de los dígitos de ambos nú-
meros es a + b + 2 + 4,es decir,a + b + 6.
Si la suma es múltiplo de 3, entonces a +
b + 6 debe ser también múltiplo de 3. Por
lo que el valor mínimo de a + b debe ser
3 (no puede ser 0, ya que entonces a y b
deberían ser 0,y no tendríamos sumandos
de dos dígitos).
q) Puede haber muchas ternas de números
cuyo mínimo múltiplo común es 48.La con-
dición que debe cumplirse necesariamente
es que los tres números sean divisores de
48. [Una manera fácil de conseguir esas
ternas es juntando el propio número 48
con otros dos divisores de 48.Por ejemplo,
28
(1, 1, 48), (2, 6, 48), (12, 16, 48), etc.]. Pero
no basta que los números de la terna sean
divisores de 48,pues podría tratarse de (2,
4,6),cuyo m.m.c.es 12.Lo que se requiere
esqueentrelostresnúmerosaparezcanlos
factoresenquesedescompone48,queson
24y3.Esdecir,queenalgunodelosnúmeros
de la terna aparezca 24, que en algún otro
(o en el mismo anterior) aparezca 3,y que
el tercero sea cualquier divisor de 48. Por
ejemplo,(16,3,24),(16,12,6),etc.
r) Como se trata de un año del segundo
milenio, ya sabemos que empieza por 1.
Ahora tenemos que hallar tres dígitos cuyo
productoes162ycuyasumaes21–1=20.
Para ello buscamos, entre los divisores de
162,los que constan de un solo dígito.Ellos
son: 1, 2, 3, 6, y 9. Hay dos posibles ternas
cuyo producto es 162: (2, 9, 9) y (3, 6, 9).
Pero la suma de los dígitos de la segunda
no es 20. Por consiguiente, nos quedamos
con la primera. Los números de los años
buscados son:1299,1929 y 1992.
s) Desde luego,parece haber un patrón en
la formación de los montones y en las mo-
nedas que van sobrando,por lo que el pri-
mer impulso nos lleva a decir que al poner
lasmonedasenmontonesde7,vanasobrar
6 monedas.Pero no hay modo de sustentar
esta respuesta, ya que no conocemos el
total –lo llamaremos N– de monedas pre-
que al dividirse entre 5 dan como resto 4,
sonlosqueterminanen 9,esdecir:9,19,29,
…,89 y 99.Ahora podemos aplicar la condi-
ción b,que nos reduce el conjunto anterior
a 29, 59 y 89.Y, ?nalmente, la condición c,
que nos lleva al valor de N:59 monedas.De
paso,hemos comprobado que la condición
e estaba de sobra… Así, pues, al poner las
59 monedas en montones de 7, sobrarán
3 monedas (59 = 7 x 8 + 3).
Hay otra manera de pensar la solución. Si
revisamos las condiciones anteriores,vemos
que todas podrían haberse reducido a una
sola:al ponerse en montones de 2,3,4,5 y 6
monedas,siempre“falta 1 moneda”.Es decir
que si se tratara de N + 1 monedas,se ob-
tendríandistribucionesenmontonesexactos.
Estosigni?caqueN+1esunmúltiplocomún
de2,3,4,5y6.Puesbien,comom.c.m.(2,3,4,
5,6) = 60,los posibles valores de N + 1 son
60,120,180,etc.Perocomoenlaalcancíahay
menosde100monedas,debemosquedarnos
conelprimervalor:N+1=60,dedondese
desprende que N = 59.
t) El número que nos solicitan ha de ser
múltiplo de 18, es decir, de 2 y de 9. Ha
de ser par y, además, múltiplo de 9.Ahora,
si nos ?jamos bien, cualquier número de
nueve dígitos escrito con los dígitos del
1 al 9 sin repetir y en cualquier orden, es
múltiplo de 9,ya que la suma 1 + 2 + …+ 8
sentes. Así,
pues, habrá
que inten-
tar otro ca-
mino.
En primer lugar,debemos observar bien las
condiciones impuestas.Y las vamos a identi-
?car,para manejarlas con mayor soltura:
a. al poner las monedas en montones de
2,sobra 1 moneda
b. al poner las monedas en montones de
3,sobran 2 monedas
c. al poner las monedas en montones de
4,sobran 3 monedas
d. al poner las monedas en montones de
5,sobran 4 monedas
e. al poner las monedas en montones de
6,sobran 5 monedas
Algunas de esas condiciones aportan datos
inmediatos.Por ejemplo,a nos indica que N
esimpar.Estonosllevaríaaprobarlasdemás
condiciones sólo con los números impares
menores que 100. La estrategia ahora
consiste en observar bien el conjunto de
las condiciones,con el ?n de seleccionar en
primerlugaraquellaquereduzcaalmáximo
el conjunto inicial de posibles respuestas.
El ensayo nos lleva a considerar juntas las
condicionesayd:losnúmerosimparestales
29
+ 9 = 45 (múltiplo de 9).Por consiguiente,
el mayor de esos números múltiplos de 9
sería: 987.654.321. Pero este número es
impar. Para conseguir el mayor par, basta
con cambiar de orden los dos últimos
dígitos, 1 y 2.Y así obtenemos el número
pedido: 987.654.312.
u) Un cuadrado pavimentado con estas
baldosas presentará alineadas, en el lado
que podemos designar como “base” del
cuadrado, las aristas correspondientes a
una de las dos dimensiones de cada bal-
dosa (por ejemplo, 40 cm).Y en el lado
que podemos designar como “altura” del
cuadrado, las aristas correspondientes a
la otra dimensión de la baldosa (30 cm).
Pero como se trata de un cuadrado, las
longitudes de esa “base” y de esa “altura”
deben ser iguales.
Esto implica que las medidas 30 y 40 son
ambas divisores de tal longitud.O,en otras
palabras, que esta longitud debe ser un
múltiplo común de 30 y de 40.Pero como
nos solicitan el menor de tales cuadrados,
el problema se resuelve obteniendo el mí-
nimo múltiplo común de ambos números:
m.m.c.(30,40)=120.Elcuadradopavimen-
tado tendrá un lado de longitud 1,20 m y
contendrá 12 (3 x 4) baldosas.
v) Se trata de hallar tres factores (mayores
que 19) cuyo producto sea 17.710. Para
obtenerlos, buscamos su descomposición
en factores primos:17.710 = 2 x 5 x 7 x 11
x 23.Ahora debemos reducir esa multipli-
cación a sólo tres factores mayores que 19.
La única terna posible (puede veri?carse)
es:22 (11 x 2),35 (5 x 7) y 23.
w) Para ubicar los dígitos del 1 al 9 de la for-
masolicitada,podríaprocedersedeizquierda
a derecha,tratando de cumplir paso a paso
las condiciones exigidas:que el número for-
mado por los dígitos de las casillas 1 y 2 sea
divisiblepor2,queelformadoporlosdígitos
de las casillas 2 y 3 sea divisible por 3,etc.Al
comienzopuederesultarsencillo,peroluego
podemos llegar a callejones sin salida.
Por eso, hay que proceder con cautela.
Por ejemplo, preguntarnos si hay algunos
dígitos “condenados” a ocupar determi-
nadas posiciones. Y la respuesta es que
sí: los dígitos pares han de ocupar las
casillas pares (de izquierda a derecha) y,
sobre todo, el 5 debe ocupar la 5ª casilla
(única alternativa para que el número
formado por los dígitos de las casillas 4 y
5 sea divisible por 5). Colocamos el 5 en
la 5ª casilla.
Nos preguntamos qué dígito puede ?gurar
en la 6ª casilla para que se cumpla la con-
dición correspondiente; y vemos que sólo
puede estar el 4 (54, divisible por 6). Para
la casilla 7 pudieran entrar el 2 y el 9 (42 y
49 son los dos múltiplos de 7 que empie-
zan por 4), pero no podemos utilizar el 2
(porque es par), por lo que se queda el 9.
Para la 8ª casilla sólo es posible ubicar el 6
(96 es múltiplo de 8) y para la 9ª, el 3 (63
es múltiplo de 9).
De manera análoga hay que proceder con
losdígitosparalascuatroprimerascasillas.El
resultado ?nal es (en cada casilla se escribe,
junto con cada cifra, el orden en que se
va ubicando, de acuerdo con los criterios
indicados):
1 ó 7 (9ª)
8 (7ª) 7 ó 1 (8ª)
2 (6ª)
5 (1ª)
4 (2ª)
9 (3ª)
6 (4ª)
3 (5ª)
30
x) Recuérdese que, en una división, los
sustraendos son las cantidades que se van
restandoprogresivamente. Así,porejemplo,
en la siguiente división:
4 1 5 1 8
– 3 6 2 3
5 5
– 5 4
1
los sustraendos son 36 y 54.Cada sustraen-
doseobtienealmultiplicarlacifraqueacaba
de colocarse en el cociente,por el número
queestáeneldivisor.Estosigni?ca,entonces,
que los sucesivos sustraendos: 690, 2.415
y 3.105 se han obtenido al multiplicar la
cantidad del divisor por un factor que,
en cada caso, no puede tener más de un
dígito.De modo que la cantidad del divisor
es un“divisor”común de los tres números
anteriores.
8. Y ahora, otros ejercicios
“para la casa”…
Peroantes,lare?exión?nal.Tenemos
que acostumbrarnos a ver los números
en su dimensión multiplicativa, como
descompuestos en factores y, sobre
todo, en factores primos. Y a percibir
las relaciones multiplicativas entre los
números, como divisores y múltiplos
unos de otros. Y todo ello guiados por
Se trata, pues, de hallar m.d.c.(690, 2.415,
3.105),que es 345.Las posibles respuestas
al problema están en el conjunto de los
divisoresde345(incluyendoalpropio345),
y la condición que deben cumplir es que
deben multiplicarse por un factor de un
solo dígito para obtener como productos,
690,2.415 y 3.105.La búsqueda se reduce
al propio 345,ya que 690 = 345 x 2;2.415
= 345 x 7;3.105 = 345 x 9,con lo que las
cifras sucesivas del cociente son: 2, 7 y 9
(con cualquier otro divisor menor de 345
–por ejemplo, con 115– no se cumple la
condición de un solo dígito como cociente
al dividirse 690, 2.415 y 3.105 entre ese
divisor).
De modo que, en la división, el divisor es
345, el cociente es 279, y el dividendo es
345 x 279 + 1, es decir, 96.256. Podemos
veri?carlo.
la curiosidad. Y para ir alcanzando
cierta familiaridad con los números.
De esto se trata cuando hablamos de
divisibilidad
14. Si A BA xAA =AAAA,siendo A y
B dígitos distintos,hallar el valor de B.
15. La combinación para abrir un
cofre es un número de cinco cifras
que,consideradas de
izquierda a derecha,
cumplen las siguien-
tes condiciones:la 1ª
cifra es par; la suma
delasdosprimerases15;la3ªesigual
a la diferencia de las dos primeras (la
mayor menos la menor); el número
es múltiplo de 9; la 1ª cifra es igual
a la 1ª por la 4ª; todas las cifras son
diferentes. ¿Cuál es el número de la
combinación?
16.Halletodoslosdivisoresde1.275.000
que sean cuadrados perfectos.
17. Halle el número impar que es
múltiplo de 9 y divisor de 72.
18. Se desea embaldosar un pasillo de
9,20 m de largo y 2,40 m de ancho con
baldosas cuadradas de la mayor dimen-
sión posible,de tal modo que quepan un
número exacto de veces a lo largo y a lo
ancho del pasillo.¿Cuánto medirá el lado
de la baldosa?
19. Halle la capacidad
de un tonel si es la
menor que se puede
llenar exactamente
con botellas llenas de
líquido de cada una
de las siguientes capa-
cidades: 60 cl, 90 cl, 1
l y 2 l.
31
20. ¿De cuántas maneras se pueden
agrupar 36 alumnos en ?las y columnas
completas?
21. El señor Pedro presume de ser
joven.Para con?rmarlo,nos dice que
si su edad se divide entre 2,3,4,5 y 6,
siempre da como resto 1.¿Realmente
es una persona joven?
22. Una caja de base cuadrada tiene una
altura cuya medida es el triple del lado
de la base.Si el volumen de la caja es de
24.000 cm3,¿cuál es la altura de la caja?
23. Consideremos la suma N de cin-
co números naturales consecutivos.
Además de la unidad y de N, ¿qué
otros dos divisores posee necesaria-
mente N cada vez?
24.Elmunicipioposeetreslotesdeterreno
cuyas áreas son de 3.675 m2,1.575 m2 y
2.275m2.Lostreslotessetienenquedivi-
direnparcelasmenores,deigualárea,para
la construcción de viviendas. ¿Cuál es el
mayor tamaño posible de estas parcelas?
25.Usandolosdígitos3,4,6y8,¿cuán-
tosnúmerosdetrescifrasnorepetidas
puedenformarse,detalmodoquesean
a la vez múltiplos de 4 y de 6?
26. Sea S = 10723 + 9146. ¿Cuál es el
menor número primo que divide a S?
27. Las caras diferentes de una caja
son rectángulos cuyas áreas son: 24
cm3, 32 cm3 y 48 cm3. ¿Cuál es el
volumen de la caja?
28.Tres personas
trabajan como
conductores de
autobuses en tres
rutas que parten
del mismo punto
y cuyos recorridos
completos se lle-
van 35,60 y 70 minutos,respectivamen-
te.Los tres salen a las 6 de la mañana y
deciden que almorzarán juntos cuando
coincidandenuevoenelmismopuntode
partida.¿A qué hora será el almuerzo?
29. La organizadora de una ?esta
observa que si los invitados se sientan
7 en cada mesa,quedan 4 por fuera.
Y si lo hacen 9 en cada mesa,sobran
3.Al ?nal decide organizar 4 mesas
de 8 invitados cada una, y el resto
de mesas, de 7 invitados cada una.
¿Cuántos invitados hay, si no llegan
a 100?
30. ¿Hay algún número de cuatro cifras
que sea divisible por 3 y por 4 y que
tenga sus cuatro cifras iguales?
31.Unacajademanzanascuesta2.000
pesos; una de peras, 3.000; y una de
ciruelas, 4.000. Si 8 cajas de los tres
tipos de frutas cuestan 23.000 pesos,
¿cuál es el mayor número de cajas de
ciruelas que pueden comprarse?
32.¿Cuál es la diferencia entre el menor
“añoprimo”delsigloXXIyelmayor“año
primo”del siglo XX?
33.Tenemos 36 cu-
bos de igual tamaño.
¿Cuántos paralele-
pípedos diferentes
de 36 cubos pue-
den construirse con
ellos?
34. Dos atletas se
entrenancorriendo
en un circuito,a ve-
locidades constan-
tes pero diferen-
tes. Ambos parten
simultáneamente
de laraya desalida
y a los 72 minutos vuelven a
coincidir en ese mismo punto.
Si el más rápido de los atletas da la
vuelta completa cada 8 minutos,¿cuánto
tarda el otro atleta en darla (dé todas las
32
respuestas posibles,sabiendo que es un
número entero de minutos, menor que
una hora)?
35.Uncampotieneformadecuadriláte-
ro y las dimensiones de sus lados son 72,
96,120 y 132 metros.Se desea plantar
árboles sobre los cuatro linderos de tal
forma que haya uno en cada vértice
del campo, que todos estén igualmente
espaciados, y que la distancia entre dos
árboles consecutivos no sea mayor que
10 metros.¿Cuál será esta distancia?
36.Halle los valores numéricos de a,
b, c, d, e (a ? 0) para que se cumpla
que:
el número a sea múltiplo de 9
el número ab sea múltiplo de 3 y de 4
el número abc sea múltiplo de 2 y de 5
el número abcd sea múltiplo de 7
el número abcde sea múltiplo de 11
Ármese de in?nita paciencia y coloque
en la tabla siguiente los dígitos del 1 al
9 (uno en cada casilla)
de manera que el número formado por
los dígitos de las casillas:
1 y 2 sea divisible por 2
1,2 y 3 sea divisible por 3
1,2,3 y 4 sea divisible por 4
………………………..
1,2,…,8 y 9 sea divisible por 9
33
Referencias
bibliográ?cas
– Alsina, C., De Guzmán, M. (1998). Los matemáticos no son gente seria. Barcelona:
Rubes.
– Gentile, E. (1985). Aritmética elemental. Washington: OEA.
– Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días,
Vol. I. Madrid: Alianza.
– Morin, E. (1999). La cabeza bien puesta. Repensar la reforma. Reformar el pensa-
miento. Buenos Aires: Nueva Visión.
– Sierra, M. et al. (1989). Divisibilidad. Madrid: Síntesis.
27. 192 cm
34
Respuestas de los ejercicios propuestos
1. 9 metros
2. 588 libros
3. 8 días
4. 25 años
5. 18 pesos
6. Ver-
daderos: 1, 3, 4, 7, 11, 12, 14, 15, 17. Falsos: 2, 5, 6, 8, 9, 10, 13, 16
7. De nin-
guno
8. Sí: a, b, d, e, f. No: c
9. a) 4.068, 4.968; b) 984; c) 58.176, 58.374,
58.572, 58.770, 58.878; d) 80.568, 84.564, 88.560, 89.568; e) 31.332, 34.332,
37.332, 30.336, 33.336, 36.336, 39.336
11. Los cuadrados de los números primos
10. 60, 72, 84, 90 y 96 (12 divisores)
12. Verdaderos: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9,
10. Falsos: 3, 6
13. Verdaderos: 3, 5, 8, 9. Falsos: 1, 2, 4, 6, 7
14. B = 0
15.
69318
16. 1, 4, 25, 100, 625, 2.500
17. 9
18. 40 cm
19. 18 litros
20.
5 maneras: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6
21. 61 años
22. 60 cm
23. 5 y el
término intermedio
24. 175 m2
25. 6 números: 348, 384, 648, 684, 864, 468
26. 2
3
28. 1 p.m.
29. 39
30. No
31. 3 cajas
32. 4 (2003
– 1999)
33. 8
34. 9, 18 ó 36 minutos
35. 6 metros
36. 96041
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