Estado espacial de tensiones

2.2.- Estado Espacial de Tensiones

? El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una
matriz (tensor) de tensiones.
Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio.
Sea ?n , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N.
:Tensor de Tensiones
xz

yz

z
xy

y

zy
x

yx

zx
ˆ
(L,M,N) donde
N
cos
cos
y L2
N 2 1
M 2
L,M,N : cosenos directores del vector N N
M
L cos
)
,
,
(
Vector de Tensiones
z
y
x
n
?
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
ˆ
ˆ ˆ
donde x
donde y
donde z
A*x*N
A* y*N
A*z*N
Ax
Ay
Az

Realizando equilibrio de Fuerzas en cada una de las direcciones, se obtiene:
Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en forma matricial:
? Calculemos la tensión Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido por
el vector Normal N.
La tensión Tangencial puede ser calculada a partir del
vector de tensiones o calculada a partir de sn.
En el plano Principal t = 0
Por definición el vector de tensiones es:
PROBLEMA DE VALORES PROPIOS
Sistema de ecuaciones de la forma
?
AX=0
Acos
Acos
Acos
; Az
; Ay
Ax
0
Acos
Acos
Acos
A
i)
zx
yx
x
x
Fx
0
Acos
Acos
Acos
A
ii)
zy
y
xy
y
Fy
0
Acos
Acos
Acos
A
iii)
z
yz
xz
z
Fz
N
L
M
N
z
zy
zx
xz

yz
xy

y
x

yx
z
x

y
n
ˆ
?
ˆ
Plano cuya normal es N

2.2.1.-Esfuerzos Principales en el Estado Espacial de Tensiones

2.2.1.1.- Esfuerzos Principales
N
n
n
ˆ
?
T
n
n
ˆ
?
2
2
2
n
n
n
?
T
N
n
n
n
ˆ
ˆ
?
N
n
ˆ
?
N
n
ˆ
?
N
N
ˆ
ˆ
matriz Identidad de 3×3
donde I
0
ˆ
(
I) N

(L1,M1,N1) enque L1
Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:
El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre de
“PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.

De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como “Vectores
Propios” y son:
Direcciones Principales, Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan
las tensiones s1, s2 y s3, respectivamente.
Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:
2.2.1.2.- Direcciones Principales

El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:
Resolviendo para cada tensión principal, encontramos sus direcciones principales
0 , esdecir
Det A
0
I
Det
ˆ
ˆ
ˆ
,n3)
3
,n2) y(
2
( 1,n1);(

Tensiones Principales
y
,
3
2
1
ˆ ˆ ˆ
n1,n2 y n3
0
z
zy
yz
y
yx

zx
xz
xy
x
Det
0
)
(
zy
zx
y
yx
xz
z
zx
yz
yx
xy
z
zy
yz
y
x
3

Donde los términos I1 , I2 e I3 se denominan “INVARIANTES DE TENSIONES”
2
Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:

1
2
3
0
I3
I2
I1
z
y
x
I1
2
2
2
x
x
yz
xz
xy
z
y
z
y
I2
2
2
2
x
2
z xy
y xz
x yz
xy xz yz
z
y
I3
matriz Identidad de3x3
donde I
0
ˆ
(
I) N
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N1
2
M1
2
1
n1
I)n1
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N2
2
M2
2
2
(L2,M2,N2) enque L2
n2
I)n2
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N3
2
M3
2
3
(L3,M3,N3) enque L3
n3
I)n3

?
????? ? ?????? ??
R
Resumiendo, tenemos un sistema Espacial de tensiones en un punto de un cuerpo sólido
cualquiera:
Calculamos las Tensiones y Direcciones Principales:
Calculamos el Esfuerzo de Corte Máximo que se desarrolla:
Giro de Coordenadas en el Espacio

Cualquier vector de componentes (x,y,z), se puede
transformar a un sistema de coordenadas (x’,y’,z’)
mediante una Matriz de Rotación ( R )
Son los ángulos que forma el eje x’ con los ejes x, y ,z,
respectivamente.
r
x
y
cos z'x cos z'y cos z'z z
cos x'z
cos y'z
cos x'y
cos y'y
cos x'x
cos y'x
x'
y'
z'
r'
,
,
x'z
x'y
x'x

?
???2 ?? ? ?????? ?
R n ˆ'
' R R n ˆ'
Representan a las componentes del vector unitario en la
dirección de x’
Por lo tanto se debe cumplir que:
Análogamente:
Ello significa que:
Por otra parte los vectores x’, y’, z’ son ortogonales entre sí, por lo tanto:
Ejemplo:

? Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano
Sea p la matriz de tensiones en un sistema X,Y,Z y p’ la matriz de tensiones en un sistema
X’,Y’,Z’.
Sea un plano ? cuya normal en el sistema X,Y,Z es N y en el sistema X’,Y’,Z’ es N’.
x'z
x'y
x'x
,cos
,cos
cos
ˆ ˆ
x' x' 1
1
cos2
cos2
cos2
x'z
x'y
x'x
ˆ ˆ
ˆ ˆ
y' y' 1

z' z' 1
1

1
cos2

cos2
cos2

cos2
cos2

cos2
y'z

z'z
y'y

z'y
y'x

z'x
I
R*R
T
1
R
R
T
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x' y' 0

x' z' 0

y' z' 0
0

0

0
cos

cos

cos
cos

cos

cos
cos

cos

cos
cos

cos

cos
cos

cos

cos
cos

cos

cos
y'z

z'z

z'z
x'z

x'z

y'z
y'y

z'y

z'y
x'y

x'y

y'y
y'x

z'x

z'x
x'x

x'x

y'x
R
cos( ) cos y
? r
) x
2
cos(
cos
x'
y'
r'
1
cos
sen
sen
cos
R
R
T
n
n
n' R n
ˆ ˆ
y
' R
Pero
?
?
ˆ
pero
ˆ
n
R n
' R
T
n
n
?
?
ˆ
'n'
T
n
?

Luego, se tiene que: