Estado espacial de tensiones (página 2)

Partes: 1, 2

Aplicado al caso Plano, se tiene que:
Tensor de Tensiones Estado Plano de Tensiones
Matriz de Rotación Estado Plano
Se comprueba que:
Reemplazando por las siguientes Identidades Trigonométricas:
Las direcciones Principales se obtienen haciendo t = 0
T
' R R
xy

y
x

yx
cos
sen
sen
cos
R
x
yx cos
yxsen
cos
xsen
ysen
y cos
xysen
xy cos
R
'
y'
y'x'
x'y'
x'
T
R R
enque
(cos2
2
cos2
sen cos
sen2 )
sen cos
sen2
sen2
y
xy
x
x'y'
y cos
2 xysen cos
x
y'
y
2 xysen cos
x
x'
y
x
y'
x'
(1 cos2 )
1
2
cos2
(1 cos2 )
1
2
sen2
2sen cos
sen2
(4)
cos(2 )
2
2
sen(2 )
xy
y
x
y
x
x'
(6)
cos(2 )
2
2
sen(2 )
xy
y
x
y
x
y'
(5)
cos(2 )
2
xy
y
x
x'y'
sen(2 )
(7)
)
(
y
2

x
xy
tg(2 p)

Ejemplo:

? Un punto de un sólido cualquiera, se encuentra solicitado por el estado tensional
mostrado en la figura adjunta.
Se pide determinar:

i) Las Tensiones Principales y las Direcciones Principales
ii) La Tensión de Corte Máxima
iii) La Tensión Normal y Tangencial al plano cuya normal corresponde a (0,9623 ; 0,1925 ;
0,1925).

Solución:

1. Determinamos el Tensor de Tensiones c/r al Sistema de Orientación OXYZ :
Desarrollando el Determinante Obtenemos:
Calculamos los Invariantes de Tensiones
Tensiones Principales
en Ton/m2
Ton/m 2
1
9
donde a
yz

z
y

zy
yx

zx
xz
xy
x
10 a
5
20 34
17 10
61 20 17
0
10
9
5
9
34
9
10
9
20
9
17
9
9
17
9
20
9
2. Resolvemos el Problema de Valores Propios:

61
Det
0
I
Det
0
2
3
I3
I2
I1
10
x
z
y
I1
10
2
2
2
x
x
yz
xz
xy
z
y
z
y
I2
24
2
2
2
2
x
z xy
y xz
x yz
xy xz yz
z
y
I3
0
24
10
10
2
3
2,599
1,088
8,489
2

3
1

M1
3. Direcciones Principales

? Tensión Principal Mayor
? Tensión Principal Intermedia
? Tensión Principal Menor
4. Tensión de Corte Máxima
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N1
2
2
(L1,M1,N1) enque L1
n1
8,489 I)n1
0
0
0
10/9
-9,0446
-4,7112
10/9
20/9
17/9
17/9
20/9
-1,7122
M1
N1
L1
0,5365
0,2748
M1
N1
L1 1,0
(0,8565 ;0,4595 ;0,2353)
ˆ
n1
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N2
2
M2
2
(L2,M2,N2) enque L2
n2
2,599 I)n2
0
0
0
10/9
-3,1546
1,1788
10/9
20/9
17/9
17/9
20/9
4,1788
M2
N2
L2
1,8390
0,04896
1,0
M 2
N2
L2
(0,4776 ;-0,8727 ;-0,2337 )
ˆ
n2
1
ˆ
0
ˆ
(
2
N3
2
M3
2
(L3,M3,N3) enque L3
n3
1,088 I)n3
0
0
0
10/9
0,5324
4,8658
10/9
20/9
17/9
17/9
20/9
7,8658
M3
N3
L3
0,6753
4,9572
M3
N3
L3 1,0
(0,1960 ;0,1324 ;-0,9716 )
ˆ
n3
ˆ
ˆ ˆ
n3
Se debe verificar que:n1 n2
ˆ(0,1959)
0,0234
0,8783
0,4776
0,2353
0,4595
0,8564
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ( 0,1324) k( 0,9716)
j ˆ
i
k
j
i
n3
(0,1959 ;0,1324; 0,9716)
ˆ
n3
OK
3
1
13
4,789 Ton/m 2
2
máx
5. Tensión Normal y Tangencial al Plano cuya normal es N

(0,9623 ;0,1925 ;0,1925)
ˆ
N

Calcularemos el Vector de Tensiones en el Plano definido por la Normal N
Calcularemos la Tensión Normal al Plano definido por la Normal N
2.3.- Tensiones en Cáscaras de Pared Delgada

2.3.1.- Cáscara Cilíndrica (tubo) de Pared Delgada sometida a una Presión Interna
(cte.)

Cilindro de radio “r” y espesor “t” (t