afias.com"/>
(y)
(y)
2.- Cálculo de Inercia:
3.- Cálculo de las Tensiones Normales Máximas:
Determinaremos las tensiones normales al centro de la luz de la viga, que es la
sección donde ocurre el Momento Flector Máximo.
3.3.- Flexión Compuesta
? La Flexión Compuesta ocurre, como ya se señalo, cuando adicionalmente al Momento
Flector existe un Esfuerzo Normal actuante en la Sección.
? Para calcular la distribución de Tensiones Normales debido a la Flexión Compuesta,
utilizaremos el Principio de Superposición.
1
36
Iz
bh3 15000 cm4
y2dA
A
x
41,67y
y
6,25×105
15000
y
M z(x)
Iz
x
máx
C
máx
x(y 10) 416,67 kg/cm2
(y 20) 833,33 kg/cm 2
T
2
? ? ?
CompresiónPura
x
1
? ? ?
Flexión Pura
x
x
(y)
Para Flexión Pura:
Nota:
El Eje Neutro no coincide con el Centroide y las distancias se toman desde el
Centro de Gravedad.
La distancia “d” se puede obtener haciendo sx = 0
3.3.1.- Ecuaciones de Equilibrio
Observación:
El Eje Neutro no coincide con el Centro de Gravedad de la sección, puesto que:
M z
1
(y)
y
x
Iz
Para Carga Axial Pura:
N
A
(y)
2
x
(8)
x
y
N
A
(y)
M z
Iz
0
Fx
i)
Fx
A
x
dA
dFx
N
Fx
A
x
dA
y
ydFx
M z
Mz
0
ii)
0
dA N
A
Veamos que ocurre si la fuerza “N” es de Tracción y el Momento Flector “Mz” es
Negativo (como vector en la dirección positiva del eje “z”).
x
Ejemplo:
? Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 5,0 m. se encuentra
solicitada por una carga puntal excéntrica 50 ton. Si la sección de la viga es un perfil
“I” de alas iguales de 30x60x15 cms., tal como lo muestra la figura adjunta. Se pide
determinar las Máximas Tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar
donde ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con el eje de Simetría de la
sección.
Solución:
? La carga “P” al estar excéntrica me genera un Momento Flector c/r al eje “z”, al
desplazar la carga al centroide (Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares)
? La sección es Simétrica, entonces el eje “y” es Principal y el Plano de carga
coincide con el eje Principal, por lo que la Componente de la Flexión es Simple.
La Distribución de Tensiones Normales viene dada por:
Las Propiedades de la Sección son:
Reemplazando los datos en la ecuación (*):
x
y
N
A
(y)
M z
Iz
(*)
x
y
P
A
(y)
Pe
Iz
506.250 cm4
A 1.350 cm2
e 15cm
Iz
37,03 1,48y
(y)
x
Tensiones Normales Máximas en las Fibras Extremas:
Lo que se desplaza el Eje Neutro se obtiene de:
3.4.- Flexión Desviada
? La Flexión Desviada ocurre si la deformada de la viga no está contenida en uno de los
planos principales de la sección.
? A continuación recordaremos los conceptos de Ejes Principales de Inercia de una
Sección.
3.4.1.- Ejes Principales de una Sección:
Momentos de Inercia c/r a los Ejes Z-Y:
30)
81,43 kg/cm2
máx
máx
(y
(y 30) 7,41 kg/cm2
x
C
x
T
x
(y) 0
x
y 25,02 cm
37,03 1,48y 0
(y)
A
A
A
yzdA
z2dA
y2dA
Iyz
Iy
Iz
???????
Momentos de Inercia c/r a los Ejes u-v:
Rotación de Ejes:
En forma Matricial:
? Al hacer variar el ángulo a, las magnitudes de Iu, Iv e Iuv también varían.
? Las ecuaciones (9), (10) y (11), son las Ecuaciones de Transformación de
Momentos de Inercia y corresponden a ecuaciones paramétricas, cuyo parámetro es
el ángulo a.
? El máximo Momento de Inercia se obtiene derivando la ecuación (9) con respecto al
parámetro e igualando a cero.
A
A
A
uvdA
u2dA
v2dA
Iuv
Iv
Iu
ysen
ycos
zcos
zsen
u
v
y
z
sen
v
u
R
Reemplazando en el valor de los Momentos de Inercias de los ejes rotados
sen cos
cos
A
A
A
2zysen cos
( zsen
y2 cos2 )dA
(z2sen2
ycos )2dA
v2dA
Iu
(9)
(10)
I yzsen2
I yzsen2
Iz cos2
Izsen2
I ysen2
I y cos2
Iu
Iv
(11)
2
I yz cos2
sen2
I y
Iz
Iuv
El máximo ocurre cuando:
? El subíndice “p” indica que el ángulo a define la orientación de los planos principales.
? Para el ángulo ap obtenido de la ecuación (12), las expresiones de Iu e Iv alcanzan
valores extremos.
? Al igual que las tensiones y las deformaciones, las Ecuaciones de transformación de
Momentos de Inercias pueden ser representadas en un Círculo de Mohr de Inercias.
Condición para Ejes Principales de Inercia
3.4.2.- Flexión Desviada
(u,v) ejes Principales de Inercia
Observaciones:
1. Si un Eje es de Simetría en la sección, entonces el eje es principal, puesto que la
simetría indica necesariamente que el eje es centroidal.
2. Si el plano de carga es de simetría, entonces la Flexión es Simple.
3. La condición anterior es suficiente pero no necesaria, en efecto, el plano de carga
puede no ser de simetría y la flexión es simple, puesto que sin eje es principal no
necesariamente es por ser de simetría.
0
Iz)sen(2 ) 2I yz cos(2 )
(I y
dIu
d
(12)
)
p
2I yz
(I y Iz)
tg(2
Máximo
Mínimo
esnulo
Iu
Iv
Iuv
? En este caso, el Plano de Carga no es de Simetría, pero pasa por un Eje Principal
de Inercia, por lo que la Flexión es Simple.
3.4.2.1- Análisis General de la Flexión Desviada
? Se determina el Momento Flector que genera la solicitación. El Plano donde actúa el
Momento Flector es “Perpendicular” al Plano de las Solicitaciones.
? Para determinar el Momento Flector que actúa en los Ejes Principales de Inercia,
existen dos alternativas:
i.
Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes “Z” e “Y” y determinar los Momentos
Flectores “Mz” y “My”. A continuación, a través de la Matriz de Rotación para el estado
Plano, proyectar los Momentos “Mz” y “My” a los Ejes “u” y v” y determinar los
momentos “Mu” y “Mv”.
ii.
Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes “u” e “v” y determinar los Momentos
Flectores “Mu” y “Mv”.
? Se calculan la distribución de las Tensiones Normales como:
Flexión Biaxial
M z
sena
Mv
Mu
sena cosa M y
cosa
(13)
x
u
v
(u,v)
Mv
Iv
Mu
Iu
3.4.2.2- Ecuación General de la Flexión
? Para determinar la distribución de las Tensiones Normales en la sección, se realiza de
la misma manera que para la Flexión Biaxial, con la salvedad que se le adiciona la
componente del Esfuerzo Axial (P), el que debe estar ubicado en el Centroide de la
Sección.
Flexión Biaxial Compuesta
Ejemplo:
? Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 20,0 m. se encuentra
solicitada por una carga puntal excéntrica de 5 ton y una carga uniformemente
distribuida de 15 kg/m. Si la sección de la viga es un perfil “Z” de alas desiguales, tal
como lo muestra la figura adjunta. Se pide determinar las Máximas Tensiones
Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicación: El plano
de carga distribuida coincide con el eje “y” de la sección.
Solución:
? La carga “P” al estar excéntrica me genera Momentos Flectores c/r a los eje “z” e “y”,
al desplazar la carga al Centroide.
? La carga uniformemente distribuida me genera un Momento Flector c/r al eje “z”.
(14)
x
u
v
N
A
(u,v)
Mv
Iv
Mu
Iu
? Los Ejes “z” e “y” no son Ejes Principales de Inercia, entonces se desarrolla Flexión
Desviada.
La Distribución de Tensiones Normales viene dada por:
1.- Cálculo de Centroides:
2.- Cálculo de Inercias:
2.1- Inercias Principales:
zi
10
17,5
20
yi
2,5
17,5
32,5
Elemento
1
2
3
=
Ai
100
125
50
275
Ai*zi
1000
2187,5
1000
4187,5
Ai*yi
250
2187,5
1625
4062,5
Ai*zi*yi
2500
38281,25
32500
73281,25
Base
Altura
Área
Elemento
1
2
3
bi
20
5
10
hi
5
25
5
Ai
100
125
50
zi
10
17,5
20
yi
2,5
17,5
32,5
Izi
15270,317
7440,169
15816,977
Iyi
6065,771
906,078
1555,613
Iziyi
-19994,835
10162,707
21252,583
=
38527,462
8527,462
11420,455
Centroides
Inercias Centroidales
u
v
N
A
Mv
Iv
Mu
Iu
(u,v)
x
14,773 cm
i
i
A yi
A
y
15,227 cm
i
i
A zi
A
z
3
3
i 1
i
3
i 1
Iz
(y yi)2 A
bihi
12
Izi
3
3
i 1
i
3
i 1
Iy
(z zi)2A
hibi
12
I y
i
3
3
i 1
i
i 1
Iyz
zy)
A (zi yi
I y
zi
i
0,761
)
p
2I yz
(I y Iz)
tg(2
18,642
Iysen2( 18,642 ) Iz cos2( 18,642 ) Iyzsen2( 18,642 )
Iu
42.380,23 cm4
Iu
47.054,90 cm4
Iz
Iy
Iv
Iu
0
Iuv
2
sen2( 18,624 ) I yz cos2( 18,624 )
I y
Iz
Iuv
4.674,69 cm4
Iv
3.- Cálculo de Momento Flector Máximo debido a la carga “q”:
4.- Proyección de Momentos Flectores a los Ejes Principales:
Determinemos los Momentos Flectores en los Ejes “z” e “y”
A través de la Matriz de Rotación determinemos Mu y Mv.
Nota:
Si utilizamos descomposición de vectores, utilizaremos a en Valor Absoluto. Si lo
hacemos con la matriz de rotación lo haremos con signo.
Para determinar las Tensiones Normales Máximas, es complicado utilizar la ecuación
anterior en el sistema “u-v”, por lo que nos devolvemos al sistema “z-y” a través de:
Tramo AB 0 x ? 20,0 m.
2
0,0075x
qx2
2
Mqz(x)
Mmáx
q?2
2
x ?
Mqz(x ?)
3,00 ton-m
Mmáx
2,261 ton -m
Py
Mz
M pz
Mq
q?2
2
Pz 0,761 ton-m
My
M py
Mv
Mu
sen( 18,642 ) cos( 18,642 ) M y
sen( 18,642 ) M z
cos( 18,642 )
1,444 ton -m
1,899 ton -m
Mv
Mu
u
v
N
A
Mv
Iv
Mu
Iu
(u,v)
x
u
v
N
A
Mv
Iv
Mu
Iu
(u,v)
x
18,18 4,481v 30,890u
(u,v)
x
v
u
sen( 18,642 ) cos( 18,642 ) y
sen( 18,642 ) z
cos( 18,642 )
18,18 27,837z 14,12y
(z,y)
x
5.- Cálculo del Eje Neutro:
6.- Tensiones Normales Máximas:
Máxima Tracción en el Punto A
Máxima Compresión en el Punto B
x
18,18 27,837z 14,12y 0
(z,y)
y 1,971(z-0,653 ) Ec.Eje Neutro
63,104
b -1,288 cm (intersección eje ordenado)
m 1,972
tg
A
323,16 kg/cm 2
y
4,77 cm
14,77 cm
z
B
310,23 kg/cm 2
0,23 cm
20,23 cm
z
y
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