– identificar una función en cualquiera de sus posibles sistemas de representación;
– representarla en aquellos sistemas que resulten más pertinentes en cada caso;
– saber pasarla –“traducirla”– de cada sistema a los demás.
Ya nos hemos referido a las dos primeras competencias. Vamos a trabajar ahora con la
tercera; primero formulamos una lista de enunciados para que el (la) lector(a) intente resolver
cada tarea individualmente; y después podrá confrontar su resolución con la que se propone
en el texto a continuación. También iremos intercalando algunos comentarios que considera-
mos de utilidad con el fin de profundizar en el conocimiento de las funciones.
a) Forme la tabla de valores (o el diagrama de Venn) correspondiente a la consigna “ser la
capital de” aplicada a los 20 países hispanoparlantes del continente americano.
b)Formelatabladevalores(oeldiagramadeVenn)correspondientealaconsigna“pertene-
ceralcontinente”aplicadaalossiguientespaíses:{PuertoRico,Myanmar,Moldavia,Nueva
Zelanda, Bangladesh, Burkina Faso, Australia, Chile, Kenia, Vietnam, Egipto, Eslovenia, Fili-
pinas, Canadá, Islandia} y continentes:{África, América, Asia, Europa, Oceanía}.
c) Forme la tabla de valores correspondientes a la consigna “ser el triple de…, más 5 uni-
dades”, aplicada a los diez primeros números naturales.
d) Formule la consigna correspondiente a la función que se representa mediante la si-
guiente tabla de valores:
e) Formule la consigna correspondiente a la función que se representa mediante la si-
guiente tabla de valores numéricos:
f) Escriba la fórmula de f (n) correspondiente a la tabla anterior.
g) Escriba la fórmula de f (n) correspondiente a la tabla siguiente (derivada de la anterior):
h) Construya la tabla de valores para los 4 primeros elementos correspondientes a la
función: f (n) = , n = 1, 2, 3,…
i) A partir de la regla “un metro de tela
cuesta 30 pesos”, construya una tabla
de valores para seis medidas de la tela,
una fórmula que represente la función
(utilizamos c para los costos y m para las
medidas) y, posteriormente, una gráfica
cartesiana de la función.
j) Apartir de la regla “un cuaderno cuesta
20 pesos”, construya la gráfica cartesiana
de la función.
k) Un camión de mudanzas cobra 30 pe-
sos por alquiler y, posteriormente, por el
tiempo de trabajo hasta que se vacíe el
camión, a razón de 60 pesos por hora.
Represente gráficamente la función y
calcule el costo de una mudanza que
dura 4 horas y 40 minutos.
l) Elabore una tabla de valores y una grá-
fica cartesiana para representar la fun-
ción “porcentaje a pagar como impues-
to por los ingresos anuales” que se rige
por la siguiente regla: Si la persona gana
menos de 20.000 pesos al año, no paga
nada; si gana desde 20.000 hasta menos
de 50.000, paga un porcentaje del 5%
de su ingreso; desde 50.000 hasta menos
de 100.000, el 10%; desde 100.000 has-
ta menos de 250.000, el 20%; y si gana
desde 250.000 en adelante, el 30%.
m) Dibuje una gráfica cartesiana para
representar el costo de una llamada te-
lefónica si el acceso a la línea cuesta 0,5
pesos y cada minuto de conversación
cuesta un peso.
n) Para efectos de asignación de la tasa
de pago por el servicio de recogida de la
basura, las ciudades suelen estar dividi-
das en sectores caracterizados habitual-
mente por la condición socioeconómica
17
de sus moradores. Suponga que la ciudad M se considera dis-
tribuida en 8 sectores (del sector A al H) y que los dos primeros
cancelan la tasa 1, los tres siguientes la tasa 2, y los tres últimos la
tasa 3. Represente esta función.
ñ) Exprese una regla o consigna que corresponda a la siguiente
representación gráfica:
gente se me quedaba mirando al pasar tan apresurada; sólo pude
aflojar la marcha al final y llegué muy cansada.
1. ¿A qué día corresponde cada una de las gráficas?
2. ¿Qué historia podría contar la protagonista, correspondiente
a la gráfica que ha quedado libre?
[El ejercicio es una adaptación del primero que se encuentra en
esta dirección:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/02/actipre.
html ]
p) Un comerciante dispone de azúcar de diferentes precios: 100
kg cuyo costo es de 5 pesos/kg, 60 kg cuyo costo es de 8 pesos/
kg y 40 kg cuyo costo es de 4 pesos/kg. Si se mezclan todas estas
cantidades, ¿cuál debe ser el precio del kilogramo de mezcla?
q) Un reloj adelanta 12 segundos cada hora. Si lo hemos ajusta-
do hoy a las 6 a.m., ¿qué hora marcará mañana a las 9:30 p.m.?
o) Las cuatro figuras que siguen representan cuatro situaciones
correspondientes a una misma persona que se desplaza de su
casa al trabajo en cuatro días distintos. En los cuatro días tarda
el mismo tiempo (t) en recorrer la misma distancia (d). Pero la
caminata de cada día tiene una historia diferente; he aquí tres de
esas historias, contadas por la propia protagonista:
Día x: Hoy amanecí con flojera y salí caminando con mucha
calma, pero a mitad de camino miré el reloj y me di cuenta de
que a ese paso iba a llegar tarde así que, progresivamente, fui
acelerando la marcha y llegué casi a la carrera.
Día y: Hoy salí muy acelerada y, claro, al poco tiempo tuve que
descansar durante un rato y recobrar la respiración. Luego em-
pecé a caminar muy suave, acelerando poco a poco; pero como
vi que ya me sentía bien, agarré la marcha inicial y sólo la aflojé
hacia el final del recorrido, tanto, que llegué andando muy des-
pacio.
Día z: Hoy sí amanecí bien distraída, porque al ratico de salir me
acordé que había olvidado las llaves de mi lugar de trabajo, así
que tuve que volver rápidamente a la casa a recogerlas. El resto
del recorrido es fácil imaginarlo: casi a la carrera, tanto, que la
18
d
t
fig. 1
d
t
fig. 2
d
t
fig. 3
d
t
fig. 4
He aquí algunas respuestas a los ejercicios planteados y algunos comentarios intercalados:
a) Este es un caso de traducción de una representación verbal a una en forma de tabla o
diagrama de Venn. La tabla es bastante amplia, y sólo representaremos los dos primeros y
los dos últimos países en orden alfabético:
Obsérvese que el conjunto de los 20 países forma el conjunto de partida o dominio de la
función, y el conjunto de las 20 capitales, el codominio y también el rango de la función.
b) Este es otro caso de traducción de una representación verbal a una en forma de tabla
o diagrama de Venn pero, a diferencia del ejemplo anterior, ahora se precisa nombrar
explícitamente los elementos de los conjuntos de partida y de llegada. La tabla de valores
puede representarse así (análogamente el diagrama):
c) Sigue siendo otro caso de traducción de una representación verbal a una en forma de
tabla, sólo que la consigna es de naturaleza operatoria con números naturales.
d) Este ejercicio nos pide pasar de la represen-
tación tabular a la verbal, en forma de consig-
na o regla que establece la correspondencia
entre el conjunto de partida (los ríos citados)
y el de llegada (los cinco continentes). La
consigna puede ser “pertenecer al continen-
te”. Obsérvese que aunque no se menciona
ningún río de Oceanía, la consigna represen-
ta una verdadera función: cada río nombrado
pertenece a un solo continente.
e) La regla puede enunciarse así: “elevar
al cuadrado y agregar 1 unidad”, aplica-
da a los 9 primeros números naturales.
f) La fórmula de la función es: f (n) = n 2
+ 1, Dominio = {0, 1, 2,…, 8}
g) La fórmula ahora es: f (n) = v (n – 1),
Dominio = {1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50,
65}
19
Comentario 2
La resolución de los ejercicios anteriores nos sugiere volver a insistir en la necesidad de
definir con precisión el dominio de cualquier función, como ya se hizo anteriormen-
te, en el Comentario 1. Por ejemplo, en el ejercicio d), referido a la pertenencia continen-
tal de determinados ríos, la precisión del dominio es fundamental, pues si la consigna se
refiriera a todos los ríos del mundo, es posible que haya algún(os) río(s) que transite(n)
tanto por tierras europeas como asiáticas, en cuyo caso la consigna ya no representaría
una función (¿por qué?). En cambio, si el dominio se restringe a los ríos de África, América
y Oceanía, la consigna de pertenencia continental sí representa una función.
Análogamente, en los ejercicios f ) y g ) la precisión del dominio es necesaria para ajus-
tarse a la tabla de valores de la que se parte; desde luego, esa restricción no impide que
ambas funciones –las fórmulas– puedan extenderse a más valores y que, incluso, puedan
aplicarse a cualquier número natural. Pero, en este caso, esta extensión debe indicarse en
el dominio de la función.
Moraleja: una función no queda totalmente definida –así se adelante su fórmula–
hasta que se haya indicado su dominio.
h) La tabla de valores es:
i) Vamos con la primera tarea; he aquí una tabla de valores (costos en pesos) para ciertas
medidas (en metros) de la tela:
¡Sorpresa! La tabla anterior representa, sencillamente, un caso de proporcionalidad direc-
ta (Cuaderno nº 11) entre las variables medida y costo de la tela; precisamente, el valor de
30 pesos/m expresa la razón de esta proporcionalidad directa: cada valor de la variable
dependiente se obtiene multiplicando por 30 el valor de la correspondiente medida de la
tela. De aquí se deduce que la fórmula que representa esta función será: c (m) = 30m, o
bien, sencillamente, c = 30m.
Para construir la gráfica cartesiana, colocamos los valores de medida en el eje de abscisas
y los correspondientes valores de los costos, en el de ordenadas:
20
En la gráfica, las ordenadas correspon-
dientes a cada valor de la abscisa vienen
señaladas por los extremos superiores de
las flechas verticales. Esos puntos están
todos alineados entre sí y con el origen
(el punto 0 de medida y 0 de costo), lo
que nos sugiere trazar una línea recta
que pase por todos ellos. El resultado
de este trazado se muestra en la figura
siguiente:
Obsérvese que los pares de puntos
abscisa-ordenada que aparecen en la
tabla de valores están todos incluidos
en la recta que representa la función.
¿Por qué hemos podido dibujar una rec-
ta continua, y no sólo esos seis puntos? Porque la variable independiente “medida” es una
variable continua: en principio, es posible comprar cualquier cantidad de tela y, de he-
cho, siempre se puede calcular el precio de esa cantidad; es decir, para cualquier valor de
la variable independiente (para cualquier abscisa, más allá incluso del valor 6) se puede
calcular el correspondiente valor de la variable dependiente (la ordenada correspondien-
te), lo que marca un punto de la recta que representa la función.
Comentario 3
Cabe destacar que las funciones que responden a situaciones de proporcionalidad
directa tienen la forma f (x) = mx, donde m representa, precisamente, la razón de pro-
porcionalidad directa de cada caso. Y hemos visto que, si la variable independiente es
continua, su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
También podemos inferir que, si conservamos la distribución de los valores de las varia-
bles en sus respectivos ejes, cuanto mayor sea el valor de m, la recta tenderá a acercarse a
una recta vertical. Por ejemplo, imaginemos que estamos hablando de una tela más cara,
cuyo precio sea de 180 pesos/metro; a la abscisa 1 metro le correspondería una ordenada
de 180 pesos; y al unir este punto con el origen se nos dibujaría una recta casi perpendi-
cular al eje de abscisas. Por esta razón, m recibe el nombre de pendiente de la recta,
como si se tratara de la pendiente o inclinación de la cuesta representada por la recta. Su
cálculo es muy sencillo: se toman dos puntos de la recta y se divide la diferencia de sus
ordenadas entre la diferencia de sus abscisas.
Comentario 4
El (La) lector(a) avispado(a) ya se habrá percatado de que los ejercicios f ), g) y h) son
similares a los propuestos en el Cuaderno nº 19 (Introducción al Álgebra) cuando se ha-
blaba de la representación de patrones o términos generales de una sucesión de números;
allá se buscaba la expresión del término general de tales sucesiones, que se designaba
como an; y ahora podemos ver que en realidad –aunque sin mencionarlo explícitamente–
estábamos hablando de funciones f (n).
Además, el ejercicio i) nos muestra cómo la proporcionalidad directa puede entenderse
también como la expresión de una función.
Este par de observaciones nos permite asegurar que el estudio de las funciones repre-
senta también una vía de acceso al Álgebra desde el campo de la Aritmética, ya que
también la función se muestra como un modo de generalizar diversas relaciones que se
dan en el campo de la Aritmética.
j) El caso es similar al anterior, puesto
que se trata también de una situación de
proporcionalidad directa. Para llegar a
la gráfica cartesiana resulta conveniente
–aunque no se solicite explícitamente en
el ejercicio– pasar por alguna tabla de
valores y por la fórmula que representa
la función.
La tabla puede ser la siguiente (no se ne-
cesitan muchos valores; de hecho, bas-
tan dos; e incluso, uno solo que no sea el
origen de coordenadas: ¿por qué?):
Y la fórmula correspondiente: c(n) = 20n
(c representa el costo, y n el número de
cuadernos). En cuanto a la gráfica, tam-
bién será similar a la del ejercicio ante-
rior, con una salvedad notable: ahora
la variable independiente es discreta (el
número de cuadernos sólo toma valores
enteros), de modo que obtendremos la
siguiente gráfica, formada sólo por pun-
tos alineados entre sí y con el origen de
coordenadas:
21
Comentario 5
Ahora podemos completar el conteni-
do del Comentario 3. La función que
hemos representado es c(t) = 30 + 60t.
Pues bien, las funciones que tienen la
forma general f(x) = mx + b, en la que
m y b reciben el nombre de parámetros
(habitualmente suelen ser números),
y cuyas variables independientes son
continuas, se denominan funciones
lineales y su gráfica es una recta.
Si el parámetro b vale 0, estamos en
el caso particular de las funciones que
responden a situaciones de proporcio-
nalidad directa f(x) = mx con variable
independiente continua, cuya gráfica
es una recta que pasa por el origen de
coordenadas, como ya vimos. Pero si
b ? 0, la recta que representa la función
lineal no pasa por el origen de coorde-
nadas; es como si la hubiéramos “subi-
do” toda ella. Ahora bien, ¿cuánto vale
ese escalón de subida?; precisamente,
el valor de b; por esta razón, este valor
de b se denomina la ordenada en el
origen.
Hay muchas situaciones en la vida en
las que aparecen estas funciones linea-
les. Por ejemplo, cuando en algunas
ciudades tomamos un taxi: hay un costo
inicial por disponer del carro; y después
pagamos una cantidad variable (aun-
que a una tasa fija), que depende de
los metros recorridos o de los minutos
de tiempo invertidos en el traslado (esta
cuenta la suele llevar mecánicamente el
taxímetro).
k) Como en el ejercicio anterior, resulta procedente elaborar una tabla de valores y la fór-
mula de la función, siendo las variables el tiempo t (independiente, en horas) y costo c de
la mudanza (dependiente, en pesos). Para ello, tomamos algunos casos particulares:
Ya se ve cuál es la fórmula para calcular el costo c(t) = 30 + 60t, en la que t debe estar
indicada en horas (admite expresiones decimales o fraccionarias). Una tabla de valores
puede ser la siguiente:
Para construir la gráfica cartesiana correspondiente, empezamos por representar los pun-
tos anteriores; pero como la variable independiente es continua (la mudanza puede durar
cualquier cantidad de tiempo, y no sólo
un número entero de horas), ya sabemos
por adelantado que la gráfica será una lí-
nea también continua.
Finalmente, para calcular el costo de una
mudanza que dura 4 horas y 40 minutos,
podemos tomar como referencia que cada
minuto cuesta 1 peso (1 hora cuesta 60
pesos), con lo cual el costo total será: 30
(alquiler del camión) + 240 (4 horas) + 40
(40 minutos) = 310 pesos. También pode-
mos aplicar directamente la fórmula de la
función para el valor t = 4 2/3 (40 minutos
equivalen a 2/3 de 1 hora); y así: c(4 2/3)
= 30 + 60 x 4 2/3 = 30 + 60 x 14/3 = 30 +
840/3 = 30 + 280 = 310 pesos.
22
l) Esta vez la tabla de valores puede hacerse no para valores aislados de ingreso anual de
una persona, sino por intervalos de este ingreso:
La gráfica cartesiana, en la que los ingresos actúan como variable independiente y la tasa
de porcentaje como variable dependiente, sería así:
Comentario 6
Las funciones que vienen representadas por gráficas como ésta reciben el nombre de fun-
ciones escalonadas. Como se ve, corresponden a funciones cuyo dominio viene dado
por intervalos de valores de la variable independiente, que se considera continua.
Cabe observar que hay diversas situaciones de la vida diaria que encajan en el modelo de
funciones escalonadas; por ejemplo, las que corresponden al pago de servicios públicos
tales como la luz (de acuerdo con el consumo de Kwh), el agua (en función de la cantidad
de m3 consumidos), etc.
m) La representación de la función “costo de una llamada telefónica” en las condiciones
indicadas, supone una tarea que integra las situaciones contempladas en los ejercicios
k) y l). En efecto, existe un pago previo
al consumo de tiempo, más un costo en
función de los minutos que dure la lla-
mada, entendiéndose que toda fracción
de minuto se cobra igual que si fuera el
minuto completo. La gráfica puede ser
ésta (c para el costo en pesos y t para el
tiempo en minutos:
Como se puede apreciar, es una función
escalonada, pero con una “ordenada en
el origen”, que en este caso es 1,5.
También aquí cabe recordar que hay si-
tuaciones de la vida diaria que encajan
en este modelo de función. Por ejemplo,
el envío de encomiendas: una tasa fija
por pago del servicio de correo, más una
tarifa según intervalos de peso o de ta-
maño de la encomienda; o con el pago
acumulado del alquiler de una vivienda
o de un local: un pago fijo por motivo de
depósito o fianza, más el pago mensual
del canon de alquiler por el tiempo que
dure el contrato.
23
2.Lahistoriapuedesermásomenosésta:
Hoy también salí de casa muy acelerada,
pero una miradita al reloj al llegar a la
mitad del camino me hizo ver que anda-
ba holgada de tiempo, así que empecé a
bajar la marcha poco a poco y llegué a
un paso constante pero reposado.
p) El precio del kilogramo de mezcla se
calcula dividiendo el costo total de la
mercancía entre el número total de ki-
logramos, que es 200 kg. Ahora bien, el
costo total de la mercancía se obtiene
mediante la suma de los costos de los di-
versos tipos de azúcar; así, los 100 kg a 5
pesos/kg cuestan 500 pesos; los 60 kg a 8
pesos/kg cuestan 480 pesos; y los 40 kg
a 4 pesos/kg cuestan 160 pesos; el costo
total es, pues, de 1.140 pesos. Por consi-
guiente, el precio del kilogramo de mez-
cla será de 1.140/200 = 5,70 pesos/kg.
q) El enunciado nos dice que pasada 1
hora, se habrá adelantado en 12 segun-
dos; pasadas 2 horas, en 24 s, etc. Evi-
dentemente, estamos en presencia de
una relación de proporcionalidad direc-
ta entre las variables “número de horas
transcurridas” (n, independiente y conti-
nua, ya que puede hablarse de cualquier
fracción decimal de una hora) y “adelan-
to” (a, dependiente, continua y medida
en segundos). La fórmula del caso es: a
= 12n. Según los datos del enunciado, el
valor de n es de 39,5 horas (verifíquelo);
por consiguiente, el reloj habrá acumu-
lado un adelanto a = 12 x 39,5 = 474
segundos = 7 minutos y 54 segundos. El
reloj marcará las 9h 37m y 54 s.
n) En este caso, la variable independiente es discreta (hay 8 sectores en la ciudad) y no
numérica. Por consiguiente, resulta más procedente representar la función mediante un
diagrama de Venn o una tabla de valores; esta última podría ser así:
Comentario 7
El caso analizado en el ejercicio anterior puede ser considerado como una clasificación:
los distintos valores de la variable independiente se organizan en clases, a cada una de las
cuales se les asigna un valor de la variable dependiente, bien con una tasa o, de manera
general, con un nombre o etiqueta. Así funciona, por ejemplo, la clasificación de los seres
en alguno de los tres reinos: mineral, vegetal o animal; dado un ser (variable independiente),
la función clasificación le asigna la etiqueta del reino al cual pertenece.
Y esto “funciona” cuando la variable independiente es discreta (los ejemplos son innume-
rables) y también cuando es continua. De hecho, las funciones escalonadas son una clase
particular de funciones de clasificación, como la que vimos en el ejercicio l). Otra función
similar es la que distribuye las zonas de la tierra en diversas franjas etiquetadas como los
casquetes polares ártico y antártico, las zonas templadas y la zona tropical; en este ejemplo,
la delimitación de estas zonas se hace en función de determinados paralelos de la superficie
esférica terrestre (como los trópicos de Cáncer y de Capricornio), y cada una de las franjas
presenta un carácter de continuidad sobre el globo terráqueo.
ñ) La observación de la gráfica nos hace ver que: la función es discreta, la variable inde-
pendiente son los números naturales (los puntos suspensivos después del 10 nos remiten al
conjunto N completo), la variable dependiente se reduce al conjunto {0, 1, 2}, y la regla
consiste en asignar los valores 0, 1 y 2, sucesivamente y con saltos de tres números, a todos
los números naturales. Pensando un poco las cosas, podemos darnos cuenta de que esos
tres valores de la variable dependiente pueden ser los restos o residuos de dividir cada
número natural entre 3; así, por ejemplo, al dividir 7 : 3, el residuo es 1, al dividir 5 : 3 el
residuo es 2, etc.
El hecho de averiguar la regla nos permite obtener la imagen de cualquier otro número
natural; por ejemplo, al número 968 le corresponde el valor 2, que es el resto de la división
968 : 3.
o) 1. Las asociaciones día – gráfica son las siguientes: día x – fig. 2; día y – fig. 4; día z –
fig. 3.
24
3. Algunas funciones
notables
3.1 La función lineal y la función
escalonada
De ellas ya hemos hablado en el punto
anterior. Volvemos a destacar la importancia
de la función lineal por su representación car-
tesiana como recta –lo que nos lleva a inferir
que toda recta en el sistema de coordenadas
cartesiano representa una función lineal cuya
variable independiente es continua- y por-
que, además, incluye como caso particular
las relaciones de proporcionalidad directa
estudiadas en Aritmética.
7.Sienlaexpresióngeneraldelafunción
lineal: f (x) = mx + b, el parámetro m vale
0, la función queda reducida a: f (x) = b,
denominada función constante. ¿Cómo
será su representación cartesiana?
8. Si en el anterior ejercicio k) el conductor del camión y los obreros de la mudanza son
amigos de la casa y sólo van a cobrar por el alquiler del camión, a) ¿cuánto se tendrá
que pagar por la mudanza si ésta dura 4 horas y 40 minutos? b) ¿Y si dura 2 horas y 20
minutos?
Tome sendos recibos de notificación de pago por el servicio de luz y de agua, revise las
normas mediante las cuales se establece el monto a pagar por el servicio y construya las co-
rrespondientes gráficas cartesianas.
3.2 Las funciones de N en N
Volvamos por un momento a algunos ejercicios resueltos anteriormente. En el ejercicio c)
llegábamos a la consigna “el triple de…, más 5 unidades”, aplicada a los 10 primeros números
naturales. Algo similar ocurría con el ejercicio f), cuya fórmula era: f (n) = n 2 + 1, Dominio =
{0, 1, 2,…, 8}. Igualmente con el ejercicio j), que nos llevaba a la fórmula c(n) = 20n (c repre-
sentaba el costo, y n el número de cuadernos).
Como vemos, los elementos del conjunto de partida y de llegada son números naturales.
En realidad, podemos extender el dominio señalado en esos tres ejercicios hasta llegar al con-
junto N; es decir, definir esas funciones para todo número natural. Y podemos considerar
como N el conjunto de llegada, aun cuando el rango de la función no llene todo N (requisito
que ya sabemos no es indispensable para que exista la función). De este modo se definen las
funciones del tipo f : N ? N, notación a la que se agrega la consigna o fórmula correspon-
diente. Por ejemplo, para los tres casos anteriores:
Son numerosos los casos de funciones definidas de N en N; entre ellas están, por ejemplo,
cada una de las tablas de multiplicar. En efecto, podemos considerar el caso de la tabla de mul-
tiplicar por 5, que a cada número natural le hace corresponder su quíntuplo, y que podríamos
representar así: m 5: N ? N / m 5 (n) = 5n.
Comentario 8
Algunas de estas funciones no tienen, como sí ocurre con las anteriores, una fórmula
fija para todos los términos de la sucesión, sino que dependen de los valores que se van
obteniendo progresivamente. Por ejemplo, en la función cuyo recorrido es {3, 9, 21, 45,
25
93, …}, es difícil encontrar una fórmula en función de n, tal que, al sustituir n por 0, 1, 2,
…, se vayan obteniendo estos valores. Pero no es difícil encontrar la regla que produce
tales números: a partir del 3, cada término posterior se obtiene duplicando el anterior y
agregándole 3 unidades (verifíquelo). La “fórmula” de esta función puede escribirse así:
f (0) = 3
f (n) = 2 x f (n-1) + 3, n = 1, 2, …
Las funciones de este tipo reciben el nombre de funciones recursivas y son muy impor-
tantes en matemática como modelos de muchas situaciones que se desarrollan por pasos
y en las que el resultado de cada paso depende de los resultados anteriores. Una de las
funciones de este tipo más famosas es la que se conoce como sucesión de Fibonacci
(sobrenombre de Leonardo de Pisa, matemático italiano, c.1175-c.1240): {0, 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, …}, función recursiva que responde a esta fórmula:
f (0)=0
f (1)=1
f ( n ) = f ( n -1) + f ( n -2 ), n = 2, 3, …
Si tiene tiempo –y si no, trate de buscarlo, porque vale la pena- asómese a Internet y entre
por la puerta “Fibonacci”; encontrará un mundo de resultados sorprendentes relacionados
con situaciones inesperadas.
Las funciones de N en N pueden representarse de diversas maneras, como ya hemos
visto en varios de los ejercicios anteriores, pero las representaciones más pertinentes serían
las que vienen dadas mediante una regla o consigna, o bien mediante una fórmula (cuando
la regla permita este tipo de expresión). En cambio, la gráfica cartesiana (una secuencia de
puntos aislados en el plano), el diagrama de Venn y la tabla de valores no pueden dar de suyo
esa sensación de generalidad, de abarcar todo el dominio, de referirse a todo número natural.
Por ello, si se utilizan estos sistemas se requiere agregar unos puntos suspensivos para dar a
entender esa referencia a todo N.
9. Tenemos la siguiente distribución numérica:
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 ……….
¿En qué fila se encuentra el número 671? Y si las columnas se numeran de izquierda a
derecha, de 1 a 7, ¿en cuál de las siete columnas se halla 671?
26
3.3 La función medida
Aunque la medida es una vieja conocida
nuestra, quizá es la primera vez que la de-
nominamos de esta manera, como función.
Desde el primer Cuaderno hasta ahora, son
muchas las veces en que hemos estado mi-
diendo; por ejemplo, hemos medido (contar
es una manera de medir) el número de ele-
mentos de un conjunto, la cantidad de dece-
nas o centenas contenidas en un número, las
longitudes de los segmentos o las distancias
entre dos puntos, las áreas de polígonos y
objetos planos, los volúmenes de sólidos, la
amplitud de un ángulo, la probabilidad de un
evento, el valor de la media de un conjunto
de datos… Y también hemos hecho referen-
cia a la medida de otras magnitudes físicas: el
tiempo, el peso, la temperatura, la presión at-
mosférica, la humedad, etc. Pero también he-
mos sido capaces de medir la relación entre
diversas medidas; así ocurría con la relación
entre una parte y el todo al que pertenece,
con la relación entre las medidas de dos mag-
nitudes, etc.
Como función, la medida tiene:
? como dominio o conjunto de partida, las
magnitudes que son susceptibles de ser
medidas (cantidades, longitudes, tiempo,
peso…) o las relaciones que pueden esta-
blecerse entre ellas;
? como regla o consigna, el algoritmo
mediante el cual se mide cada magnitud
(cómo contar; cómo medir longitudes o
distancias, amplitudes de ángulos, áreas,
volúmenes; cómo medir diversas magnitu-
des físicas; cómo establecer razones, etc.)
y, en algunos casos, alguna fórmula ad hoc
(áreas de determinados polígonos, volúme-
nes de determinados sólidos, etc.); y
? como codominio, el conjunto de los nú-
meros que expresan estas medidas y las
relaciones entre ellas.
Vamos con este último punto. ¿Cuáles son
los tipos de números que nos sirven
para expresar las diversas medidas que
podemos efectuar? Vamos a reunirlos por
primera vez:
? los números naturales: con ellos nos to-
pamos al contar u ordenar los elementos
de cualquier conjunto;
? las fracciones y los decimales: con los
primeros nos encontramos al expresar la
relación entre una parte y el todo al que
pertenece; y con los segundos, como un
sistema de representación de las fracciones
y al efectuar diversas medidas “no enteras”
de magnitudes físicas;
? las razones: como expresión de la relación
entre las medidas de dos magnitudes; in-
cluido el caso excepcional del número ?
(3,141592…) como razón de las magnitu-
des longitud de la circunferencia y longitud
de su radio;
? los números de la forma “raíz cuadra-
da” y “raíz cúbica”: los primeros, por
ejemplo, como expresión de la medida de
la longitud de la hipotenusa o de alguno
de los catetos de un triángulo rectángulo,
cuando se conocen las otras dos medidas;
o también como expresión de la longitud
del radio de un círculo o del lado de un
cuadrado cuando se conocen sus áreas res-
pectivas; y en cuanto a los números con
forma de “raíz cúbica”, como expresión de
la longitud del radio de un círculo o del
lado de un cubo cuando se conocen sus
volúmenes respectivos.
Pues bien, todos estos tipos de números pue-
den considerarse como integrantes de un
conjunto, al que designaremos con la letra M
(no porque sea la inicial del nombre del que
escribe esto, sino en referencia a la palabra
“medida”). Así, pues, los elementos de M
son todos los números que sirven para ex-
presar el resultado de diferentes medidas
o de relaciones entre ellas. El conjunto M
contiene a todos los números que hemos uti-
lizado hasta el presente y es el gran conjunto
de la matemática básica.
3.4 La función inversa
En uno de los primeros ejemplos que
presentamos en este Cuaderno hablamos de
la relación “ser madre de” (m) que, aplicada
a los casos de Inés y de Carlos, daba como
imagen a Guadalupe, madre de ambos:
m(Inés) = Guadalupe; m(Carlos) = Guadalu-
pe; y afirmábamos estar en presencia de una
función si, además, estaban presentes todas
las mamás de todos los niños de la clase.
Veíamos también cómo la relación opuesta,
“ser hijo(a) de” (h), no era una función, por
cuanto, aplicada al caso de Guadalupe, da-
ría como imágenes tanto a Inés como a Car-
los. Algo similar ocurría con otros ejemplos
reseñados anteriormente (los referidos a las
montañas y los ríos…). En este punto surge
una pregunta espontánea: ¿Qué condiciones
debería cumplir m para que h fuera también
una función? Helas aquí:
1. Que todos los elementos del dominio
de m (el conjunto de niños) tengan imágenes
diferentes en el conjunto de las madres; es
decir, que no haya ninguna mamá que lo sea
de más de un(a) niño(a) presente.
2. Que el codominio y el recorrido de
m sean el mismo conjunto; es decir, que no
haya ninguna madre cuyo(a) hijo(a) no esté
presente.
Al cumplirse ambas condiciones, h se
convierte en una función cuyo dominio es el
conjunto de las madres presentes, y cuyo co-
dominio es el conjunto de los niños presen-
tes. En efecto, la condición 1 nos garantiza
que ningún elemento del dominio de h ten-
drá dos imágenes en el conjunto de los niños;
por su parte, la condición 2 nos garantiza que
todos los elementos del dominio de h tendrán
una imagen en el conjunto de los niños.
Si sólo se cumple la condición 1, la fun-
ción m se califica como inyectiva; y si sólo
se cumple la condición 2, la función m se ca-
lifica como sobreyectiva; pero si se cumplen
ambas, m se califica como biyectiva. Pues
bien, cuando una función f : A ? B es bi-
yectiva, existe una función en sentido inverso
g : B ? A que se denomina función inversa
de f. En nuestro ejemplo, si se cumplen las
condiciones 1 y 2, m es biyectiva y puede de-
cirse que h es una verdadera función y que
es, además, la función inversa de m.
10. ¿Puede asegurarse que h es también
biyectiva? Razone su respuesta.
11. Tome como referencia los casos 3 a
7 descritos en los diagramas de Venn del
ejercicio 1. y determine cuáles de estas
funciones son: a) inyectivas; b) sobreyec-
tivas; c) biyectivas.
12. ¿Puede una función escalonada por
intervalos ser biyectiva? Razone su res-
puesta.
En el siguiente diagrama se nos muestra
cómo r : A ? B no es una función, sin
que eso impida que s: B ? A sí lo sea.
Esta situación no contradice lo que aca-
bamos de decir; lo que ocurre en este
27
caso es que s no puede ser calificada
como función inversa de r por la sencilla
razón de que r no es una función.
a
b
c
d
1
2
3
A
B
es el tiempo máximo en que debemos hacer la mudanza, si sólo disponemos de 255 pesos
para pagarla? Para obtener la respuesta podemos proceder por varias vías:
a) Tomar la fórmula original c = 30 + 60t y dar a c el valor de 255. Con ello pasamos a la
ecuación 255 = 30 + 60t, cuya resolución (hágalo) nos lleva a la respuesta t = 225/60 =
3 horas y 45/60 de hora, es decir, 3 horas y 45 minutos.
b) Obtener la fórmula de la función inversa t = (c – 30)/60 y hallar la imagen de t para el
valor de c = 255. Con ella llegamos en un solo paso a t = 225/60 y a la misma respuesta.
c) Proceder por vía aritmética: de esos 255 pesos, hay que restar 30 del alquiler del ca-
mión, con lo que llegamos a 225 pesos pagados sólo por el tiempo de la mudanza; esta
cantidad la dividimos entre 60 con el fin de saber cuántas horas nos llevó el trabajo; y
llegamos a la misma respuesta.
Observe la diversidad de las vías seguidas: algebraica (resolver una ecuación), funcional
(hallar la imagen de un elemento) y aritmética (resolver el problema manejando siempre
los datos concretos del enunciado). El hecho de que en el caso de la vía algebraica se
llega a una ecuación al sustituir el valor de la variable dependiente y tener que despejar la
independiente, ha generado el uso de la expresión “la ecuación de”, aplicada sobre todo a
las fórmulas de determinadas gráficas de funciones. Así, por ejemplo, a la fórmula y = mx
+ b de la función lineal se le suele llamar “la ecuación de una recta en el plano”.
14. Si al doble de un número se le restan 3 unidades, y esta diferencia se duplica a su vez,
se obtiene como resultado 102. ¿Cuál es el número?
Comentario 9
Hasta aquí, en este Cuaderno, hemos tratado de conocer y comprender el concepto de
función –cómo surge de la vida y, en particular, de la Aritmética y de la Geometría- y su
fuerza generalizadora que trasciende los campos de donde brota. También hemos visto
que, en retorno, tiene un inmenso caudal de aplicación a numerosos objetos, no sólo del
campo de la Aritmética, de la Geometría, de la Estadística y de la Probabilidad, sino de
todos aquellos ámbitos disciplinares en los que se detecta variabilidad en alguna magni-
Obsérveseques:B?Aesunafunciónso-
breyectiva, pero no inyectiva (¿por qué?).
13. Si el dominio y codominio de una
función f no tienen igual número de ele-
mentos, ¿puede garantizarse la existen-
cia de una función inversa de f ? Razone
su respuesta.
En el caso de que una función venga ex-
presada por una fórmula y sea biyectiva, es
posible obtener la fórmula de su función in-
versa por la vía del despeje de la variable in-
dependiente. Por ejemplo, si tomamos la fun-
ción c = 30 + 60t del ejercicio k), podemos
pasar a c – 30 = 60t, y de aquí, t = (c – 30)/60,
lo que nos daría el tiempo de la mudanza en
función del costo pagado.
Volviendo al problema k), podríamos
plantearnos la siguiente pregunta: ¿Cuál
28
tud –sea de la naturaleza que ésta sea-,
ligada a situaciones de dependencia en-
tre magnitudes.
Ycabe preguntarse: ¿dónde no se dan es-
tas situaciones de variabilidad y depen-
dencia? De hecho, en todos los ámbitos
de la vida de la naturaleza, de la socie-
dad y de nuestro propio ser nos encon-
tramos con esas situaciones. Y muchas
veces, el progreso de la humanidad –el
verdadero progreso- radica en la mejor
comprensión de las mismas.
De ahí que la función se haya convertido
en uno de los objetos matemáticos más
importantes dentro de la disciplina, un
auténtico pivote sobre el cual descansan
y se estructuran innumerables objetos
matemáticos –no importa si son básicos
o muy sofisticados-, ya que todos ellos
pueden ser caracterizados y definidos
como funciones.
Nosotros cerramos por ahora esta puer-
ta de nuestro Curso de Desarrollo del
pensamiento matemático. Pero lo hace-
mos, en realidad, dejando abiertas otras
muchas puertas hacia una matemática
más compleja (compleja porque hay
más objetos matemáticos y más relacio-
nes entre ellos; pero no porque sea más
complicada, más difícil). Y entre estas
puertas abiertas queremos destacar la de
la generalización que nos posibilita la in-
troducción en el Álgebra y en el mundo
de las funciones; eso sí, sin perder ni la
Aritmética ni la Geometría en el intento.
Feliz travesía…
4. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
15. Obtenga la fórmula de la siguiente función en la que ambas variables son continuas:
16. Averigüe cómo es la puntuación en las carreras de carros de Fórmula 1 y establezca
la correspondiente tabla de valores.
17. Halle el área de un cuadrado si su perímetro mide 20 cm.
29
18. En la sucesión definida por la fun-
ción f (n) = 2n (n + 1), n = 1,2,…, ¿qué
término vale 180?
19. El costo neto de fabricación de una
silla es de x pesos; el fabricante la vende
al mayorista con un aumento del 20%,
y el mayorista la vende a la tienda de
muebles con un recargo del 30% sobre
el precio al que la compró; finalmente,
la tienda lo vende al cliente al doble del
precio que pagó por ella. Escriba la fór-
mula que representa el precio de venta
al público (p) en función del costo de
producción x.
20. Atención: 45, 150, 105, 30 y 90 son
“plikos”. Pero 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 80
no son “plikos”. ¿Cuáles de los siguientes
números: 40, 75, 120, 36, 60, 96 y 135
son “plikos”?
21. Un ganadero tiene 100 m de vallado
para construir un cercado rectangular de
anchura a y de fondo b.
a) Exprese la variable b en función de la
variable a (no se olvide del dominio de
la función).
b) Dibuje la gráfica cartesiana de esta
relación.
30
c) Encuentre la relación que existe entre la anchura del cercado y su área A.
22. Elabore una gráfica cartesiana para representar esta función: Se trata de valorar la ca-
pacidad para resolver sudokus que posee un grupo de estudiantes; los puntos p se asignan
de acuerdo al tiempo t (en minutos) utilizado para resolver cada juego siguiendo la norma
que se establece en esta tabla de valores:
23. Se tiene el plano de una casa, hecho a una escala 1 : 50. Si las dimensiones de la
planta de la casa, que tiene forma rectangular, son de 18 cm x 20 cm en el plano, ¿cuál es
el área de la planta de la casa en la realidad?
Tome un texto literario cualquiera, haga un
cambio de letras similar al anterior (el que se
le ocurra), transcriba el texto correspondiente
y déselo a sus colegas para que lo interpreten
(no lo ponga muy difícil…).
29. Necesitamos hacer un viaje de ida y
vuelta entre dos ciudades y para ello al-
quilamos un carro. La agencia Andes nos
pide un pago fijo de 1.100 pesos, más
el pago de 16 pesos por km recorrido;
en cambio, la agencia Caribe nos pide
un pago fijo de 600 pesos, más el pago
de 18 pesos por km recorrido. Queremos
saber:
a) el costo a pagar en cada agencia por
un recorrido total de 200 km;
b) para una distancia de 100 km, ¿los
costos totales serán la mitad de los an-
teriores?;
c) las fórmulas que nos dan los cos-
tos en cada agencia, en función de la
distancia recorrida (utilizamos ca y cc
para los costos en las agencias Andes
y Caribe, respectivamente, y d para la
distancia recorrida);
d) el nombre de la agencia que nos re-
sulta más económica, si los puntos de
conexión entre las dos ciudades distan
exactamente 140 km.
En el problema anterior, haga la gráfi-
ca cartesiana de ambas funciones en
los mismos ejes coordenados (d en las
abscisas y ca y cc en las ordenadas). Si
ambas gráficas se cruzan,
31
24. El promedio de 8 números es 10; al agregar un noveno número, el promedio sube a
11. ¿Cuánto vale este noveno número?
25. En la siguiente sucesión de figuras hechas con palillos, ¿cuál es la fórmula que nos da
el número t de palillos que se utilizan para la figura que ocupa la posición enésima?
26. Obtenga la fórmula del volumen V de un cono cuya altura h mide el triple del radio
r de su base [es decir, escriba el volumen del cono como una función sólo del radio de
su base].
27. La presión atmosférica, al nivel del mar, es de 1 atmósfera y disminuye a medida que
ascendemos: aproximadamente al ascender un km, la presión es 0,9 veces la existente un
km más abajo.
a) ¿Qué presión se tendría a un km de altura? ¿Y a 2? ¿Y a 3?
b) Encuentra una fórmula que nos dé la presión p que existe, dependiendo de la altura h
en km.
c) Si un montañero desciende desde 1.000 m. al nivel del mar y otro desciende desde una
altitud de 5.000 m a 4.000 m, ¿la presión aumentará lo mismo en ambos casos?
28. El siguiente es un fragmento de una novela que ha sido transcrito utilizando un te-
clado en el que cinco teclas no escriben la letra que las identifica, sino otra; eso sí, estos
cinco errores son constantes. Trate de identificar cuáles son las teclas erradas y cuál es el
cambio de letras que han producido.
“El hetel ena in edficie panzide de in asanille apagade qie se cenfindía cen el desiente a
si alnededen. Tenía la altina de ciatne pises y ventanales geneneses cen ina tensinacién
tniangilan selne la cennisa”.
32
a) ¿cuál es el valor de la abscisa del punto de corte?
b) Sustituya ese valor en las dos fórmulas obtenidas en el punto c) del problema ante-
rior; ¿qué relación existe entre ambos valores?
30. En la sucesión 4, …, …, …, 32, a partir del tercer término, cada número es la suma de los
dos anteriores. ¿Cuánto suman los tres últimos?
31. Obtenga la fórmula del área A de un rectángulo cuya base b mide el doble de la altura h
[es decir, escriba el área del rectángulo como una función sólo de su altura].
32. Un vehículo hace un viaje de ida y
vuelta; la ida es muy complicada y la ve-
locidad promedio apenas llega a 20 km/h;
en cambio, el regreso es más fácil y la ve-
locidad promedio alcanza los 60 km/h.
¿Cuál es la velocidad promedio de todo el
viaje?
Dibujelagráficadelafunción“redondeo”,
esdecir,delafunciónqueseaplicaatodos
los posibles valores de las medidas y actúa
de esta manera: toma todos los decimales
que siguen a la parte entera y si son iguales
o mayores que 500 milésimas, da como
resultado el número natural siguiente; y en
caso contrario, da como resultado el nú-
mero natural anterior; por ejemplo, la fun-
ción hace corresponder a 7,51 el número
8, mientras que a 0,4782 le hace corres-
ponder 0 [Observe que esta función, a la
que podemos designar como r, tiene como
dominio M y como recorrido N; es decir,
r: M ? N].
La función r: M ? N definida en el proble-
ma anterior, ¿es inyectiva?; ¿es sobreyecti-
va?; ¿tiene función inversa?
Referencias bibliográficas
y electrónicas
– Actividades para la detección de
conocimientos previos y repaso (s.f.).
Disponible en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/
Matematicas/02/actipre.html
– Freudenthal, H. (1983). Didactical
phenomenology of mathematical structures.
Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.
– Kline, M. (1992). El pensamiento
matemático de la Antigüedad a nuestros días.
Madrid: Alianza.
Respuestas de los ejercicios
propuestos
1. Casos 1 y 2
2. a) jugadores; días de la semana; gastos; b) pesos; número de víctimas; pagos por IVA; c)
{jugadores indicados}; {días de la semana}; {gastos indicados}; d) {pesos indicados}; {5, 6, 7, 9,
11, 12, 16}; {pagos indicados}
3. (a, 9), (b, 6), (c, 8), (d, 3), (e, 7), (f, 3), (g, 9), (h, 7), (i, 8)
4. a) Venezuela, Uruguay, Chile, Brasil, Paraguay; b) “la montaña … está en”
5. a) intervalo [0 m, 70 m]; intervalo [0 m, 35 m]; b) intervalo [0 km, 30 km]; intervalo [0
km/h, 120 km/h]; c) coinciden con los codominios
6. a) 216 personas; b) f (n) = 6n, n = 1, 2,…
7. Una recta paralela al eje de abscisas
8. a) 30 pesos; b) 30 pesos
9. Fila 112, columna 6
10. Sí
11. a) 3, 5, 6; b) 4, 6; c) 6
12. No
13. No
14. 27
15. y = 4 + 2x
16. 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1, para los clasificados del 1º al 8º lugar, respectivamente
17. 25 cm 2
18. 9º
19. p = 3,12x
20. 75, 120, 60, 135 (múltiplos de 15)
21. a) b = 50 – a, 0 < a < 50; b) A = a (50 – a)
22. Es una gráfica escalonada descendente; primer escalón a la altura 10 y último escalón a la
altura 1
23. 90 m 2
24. 19
25. t = 3(n + 1), n = 1, 2,…
26. V = ?r 3
27. a) 0,9 atm; 0,81 atm; 0,729 atm; b) p = (0,9)h, h = 0, 1, 2,…; c) no
28. {b, m, o, r, u} ? {l, s, e, n, i}, en el orden indicado
29. a) c a = 4.300 pesos; c c = 4.200 pesos; b) no; c) c a = 1.100 + 16d ; c c = 600 + 18d; d)
Andes
30. 64
31. A = 2h2 32. 30 km/h
33
34
Serie
“Desarrollo del pensamiento matemático”
1-El conocimiento matemático
2-El sistema numérico decimal
3-La adición
4-Sustracción
5-Multiplicación
6-Potenciación
7-División
8-Divisibilidad
35
11-Razones y proporciones
9-Fracciones I.
Concepto y representación
10-Fracciones II.
Orden y operaciones
12-Geometría: Conceptos y
construcciones elementales
13-Polígonos. Triángulos
16-Cuerpos geométricos
14-Cuadriláteros y otros
polígonos. Simetrías
15-La circunferencia
y el círculo
17-Introducción a la estadística
19-Introducción al álgebra
20-La función matemática
18-Introducción
a la probabilidad
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |