a ?b(modH)?ab?1?H luego ?ab?1? ?H , así ba?1?H . De modo
?ab ??bc ? ? aec
? ac?1?H . Se tiene que a ?c(modH).
ambos elementos
a ?b(modH) ? a b?H
Piura, Nov. 2009
1
El grupo cociente
Introducción
Cuando un novel estudiante de álgebra abstracta se enfrenta a expresiones como grupo
cociente, espacio cociente, cree y con justificada razón, que se enfrentará a conjunto de
cocientes, finalmente se resigna a saber que esto no es así, lo cual no significa que sean
conceptos difíciles de asimilar. EL objetivo de esta monografía es definir y ejemplificar la idea
de grupo factor, también llamado GRUPO COCIENTE debido a la notación empleada, el cual es
un conjunto de conjuntos llamados clases laterales que posee una estructura algebraica, la de
grupo, es decir, sobre dicho conjunto se ha definido una operación binaria que cumple ciertas
condiciones; se enfatiza el hecho que no siempre el conjunto de clases laterales tendrá la
estructura de grupo, pequeño inconveniente que fue salvado por Evaristo Galois al introducir la
brillante idea de SUBGRUPO NORMAL.
PRELIMINARES
Debemos aclarar que el grupo
?G,*? será representado sólo por
G , y al elemento a*b se le
representará usando la expresión ab . Iniciaremos nuestra exposición con la siguiente
ASERCIÓN:
Sea
H
un subgrupo de
G , la relación
en
G
definida
por
?1
Como matemáticos no podemos quedarnos con la duda, en efecto:
a ? a(modH) ? aa?1 ?e?H
i.
ii.
Reflexividad.
Simetría. Si
?1
que
b ? a(modH) .
iii.
Transitividad. Sean a ?b(modH) y b ?c(modH) luego ab?1,bc?1?H multiplicando
?1 ?1 ?1
Concluimos que
a ?b(modH) es una relación de equivalencia.
Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto en subconjuntos o celdas como
veremos más adelante.
Nota 01.- La relación también puede ser definida como
?1
DEFINICIÓN 01: Si " "es una relación de equivalencia en un conjunto S ? ? , entonces se
define la clase ?a? de a , como ?a???b?S /b a?.
De manera que el conjunto S queda
particionado en celdas, las cuales son
disjuntas, al conjunto ?a? también se le
a es
denomina clase de equivalencia. Donde
llamado representante de la clase.
?c?
?a?
?d?
?b?
S
Teorema 01.- Si
" "es una relación de equivalencia en S y a,b?S , entonces las siguientes
proposiciones son equivalentes:
1) ?a???b?
2) Si ?a???b?, entonces ?a?
?b???
S ? ?a?
3)
Lic. Ellis R. Hidalgo M.
Lic. Ellis R. Hidalgo M.
Piura, Nov. 2009
2
DEFINICIÓN 02: Si
El grupo cociente
H es un subgrupo de G y sea a?G al conjunto Ha ??ha/h?H?se
le denomina clase lateral izquierda.
Análogamente se puede definir clase lateral derecha.
Se tiene que:
b
?a???b?G/
a???b?G/ b ? a(modH)?
Luego
?a?? Ha,
??b?G/ ba?1?H???b?G/ ?h?H, ba?1 ? h?
??b?G/ b ? ha,h?H???ha/ h?H?
es decir las clases de equivalencia (congruencia derecha) son las clases
laterales derechas.
A continuación veremos un ejemplo de cómo un conjunto es particionado en celdas a partir de
una relación de equivalencia. Este ejemplo es importarte y sirve para ejemplificar muchos
conceptos que son tratados en álgebra abstracta como el concepto que aquí nos ocupa, el de
GRUPO COCIENTE.
Nota 02.- Hasta aquí ya es posible demostrar el importantísimo teorema de Lagrange.
Ejemplo: Congruencia módulo n en el conjunto de los enteros.
Sean h,k? definimos la congruencia de h con k módulon como:
h ? k?modn? ?
?h?k? es divisible por n ? ?h?k?? mn, m?
ASERCIÓN:
h ? k?modn?es una relación de equivalencia en
. (Demostración trivial)
Describamos las clases de equivalencia o residuales para
n ?1,2,3,…
?
Para
n ?1, en este caso se tiene h ? k?mod1? ? h?k ?1.m? m?
De modo que
?h???k?
/ h?k ? m?
?, es evidente que ?h??
.
No existe partición en
, pues solamente hay una clase, el mismo
.
?
Para
n ? 2, se tiene h ? k?mod2? ? h?k ? 2m, m?
Así
*Si
?h???2m?k, m? ?,
k ? 0se tiene que ?h???2m,
m?
?, o sea que la clase ?h?sería la de los números
divisibles por 2. Dándole valores a
m
se obtiene ?h???0, ?2, ?4, ?6,…?, como
representante de esta clase se puede elegir cualquier valor como; cero, dos, menos
cuatro,… etc. ?0???2????4???0,?2,?4,?6,…?.
*Si k ?1se tiene que ?h???2m?1, m? ?, o sea que la clase ?h? sería la de los
números divisibles por 2 con residuo 1. Dándole valores a m se obtiene
??1, ?3, ?5, ?7…?, como representante de esta clase se puede elegir cualquier valor
como; uno, menos tres, nueve,…etc.
?1????3???9????1,?3,?5,?7…?.
Es fácil ver que el conjunto de los números enteros se partió o dividió en dos subconjuntos o
clases: los enteros divisibles por dos y los enteros que no son divisibles por dos.
?1? ???3? ??9? ? …
?0? ??2? ???4? ? …
g Ng ? N debe entenderse en el siguiente sentido: si g y n son elementos
El grupo cociente
Lic. Ellis R. Hidalgo M.
Piura, Nov. 2009
3
?
Para
n ?3, se tiene h ? k?mod3? ? h?k ?3m, m?
Así ?h???3m?k, m? ? obviamente se tendrán tres conjuntos diferentes a saber:
* Si k ? 0se tiene que ?h???3m, m? ?, o sea que la clase ?h?sería la de los números
divisibles por 3. Dándole valores a
m se obtiene ?h???0,?3,?6,?9,…?, como
representante de esta clase se puede elegir cualquier valor como; cero, tres, menos
seis,… etc. ?0???3????6???0,?3,?6,?9,…?.
* Si
k ?1se tiene que ?h???3m
Página siguiente  |