El grupo cociente (página 2)

Partes: 1, 2

?1, m? ?,
o sea que la clase
?h? sería
la de los
números divisibles por 3 con residuo 1. Dándole valores a m se obtiene
?1,4,7,10,13…,?2,?5,?8,?11,…?, como representante de esta clase se puede elegir
cualquier valor. Se suele elegir a 1.
* Si k ? 2se tiene que ?h???3m?2, m?
?,
o sea que la clase
?h?sería la de
los
números divisibles por 3 con residuo 2. Dándole valores a m se obtiene
?2,5,8,11,14…,?1,?4,?7,?10,…?, como representante de esta clase se puede elegir
cualquier valor. Se suele elegir a 2.
Es fácil ver que el conjunto de los números enteros se divide en tres subconjuntos o clases:
?3m?2?
?3m?
?3m?1?
?
?0?
?1?
?2?
Podemos inferir inductivamente que para la congruencia módulo n el conjunto de los números
enteros se particiona en n subconjuntos:
?
…
?0?
?1?
?2?
?n?1?
Nota 03.- El número de elementos de las clases de equivalencia o clases laterales es el mismo,
como se demuestra rápidamente empleando la transformación ?a :H ? Ha definida mediante
?a?h? ? ha, la cual por definición es una sobreyección, además es uno a uno.
DEFINICIÓN 03: Un subgrupo
N de un grupo G se denomina subgrupo normal de G , si
?1
La expresión
?1
?1
?1 ?1
(¡Hágalo!) de modo que la igualdad es válida.
Los subgrupos normales son los subgrupos resaltantes de un grupo ya que tienen la propiedad
?1
podemos decir que bajo este automorfismo dos elementos de
N permutan respecto a un

?1 😕 ?2 ?3
?2 😕 ?2 ?1
?0 😕 ?2 ? 2
?1 😕 ?2 ?3
?2 😕 ?2 ? 2
?3 😕 ?2 ?1
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elemento de
G entiéndase n1g ? gn2 , es decir, pueden cambiar de nombre pero no dejan N .
Por otro lado, las clases laterales izquierdas obtenidas a partir de N coinciden con las clases
derechas lo cual permite una de las construcciones más simples en la teoría de grupos.
Nota 04.- Un isomorfismo es una sobreyección entre dos grupos,
?:G ?G',
que cumple la
condición
??ab? ???a???b?, cuando G'?G
se le denomina automorfismo.
Ejemplo: Consideremos el grupo simétrico de grado tres S3 . Recordemos que el grupo
simétrico de grado n denotado Sn ó A?S? es el grupo de todas las aplicaciones inyecticas
del conjunto S sobre si mismo, con card(S) ? n , cuyos elementos son denominados
permutaciones. En el caso
S3 tomaremos S ??1,2,3?, ya que es posible hacer una comparación
maravillosa entre los elementos de
S3 y las permutaciones de los vértices de un triángulo
1,2 y 3, llamaremos ?i a las rotaciones de
equilátero.
Si consideramos un triángulo equilátero de vértices
120º del triángulo. Así se tiene que:
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Posición inicial
rota 120º
rota 240º
rota 360º
Obteniéndose las rotaciones sucesivas
?i :S ?S
dadas por:
?1? 2
?
?3?1
?
?1?3
?
?3? 2
?
?1?1
?
?3?3
?
A las reflexiones de dos vértices respecto de la bisectriz del tercer vértice del triángulo las
llamaremos ?i de modo que:
1
2
2
3
3
?
1
1
2
3
3
?
1
1
2
2
3
?
Se han generado las aplicaciones
?1?1
?
?3? 2
?
?1?3
?
?3?1
?
?1? 2
?
?3?3
?
El poder identificar los elementos de
S3 con las aplicaciones definidas anteriormente se debe
a la poderosa idea de isomorfismo, a través del cual dos conjuntos son indistinguibles desde el
punto de vista algebraico.
La tabla obtenida al realizar todas las posibles “multiplicaciones” entre los elementos de S3 se
muestra más abajo. Debe aclararse que la operación de grupo adecuada es la composición de
aplicaciones la cual se define como ?? ?? ? , ??,? ?S3.

?i ? ?i .
g ng?N1
Debemos verificar que se cumple la condición
g Ng ? N ?
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Por ejemplo:
Sean ?1,?2 ?S3 entonces ?1?2 ? ?2 ?1, así se tendrá que:
??2 ?1??1? ? ?2??1?1?? ? ?2?1? ?3, de modo que 1?3
??2 ?1??2? ? ?2??1?2?? ? ?2?3? ? 2, de modo que 2?2
??2 ?1??3? ? ?2??1?3?? ? ?2?2? ?1, de modo que 3?1
Podemos ver que se ha generado la aplicación
?2 .
La tabla para el grupo será:
?0 ?1 ?2
?1 ?2
?3
?0
?1
?2
?1
?2
?3
?2
?0
?1
?2
?3
?1
?1
?2
?3
?0
?1
?2
?1
?2
?0
?3
?1
?2
?0
?1
?2
?1
?2
?3
?2
?3
?1
?2
?0
?1
?3
?1
?2
?1
?2
?0
De la tabla se puede deducir que:
El elemento identidad es ?0 y la inversa de
una rotación es otra rotación de 360º en
sentido horario, además las inversas de las
reflexiones son las misma reflexiones
?1
* Consideremos el subgrupo
N1 ???0,?1?, ¿será N1
S3?
?1
Tomemos ?2 ?S3 ??2?1??1??2 ? ?2??1??2 ? ?2??1?2? ??2??2???3?N1,
por lo tanto
?1
* Ahora sea el subgrupo
N2 ???0,?1,?2?, ¿será N2
S3 ?
Podemos verificar fácilmente que
?i?1??1??i ? ?i??1??i ? ?i??1?i? ? ?i?? j? ? ?2 ?N2 , para i ? j
?i?1??2??i ? ?i??2??i ? ?i??2?i? ? ?i?? j? ? ?1?N2, para i ? j
?i?1??0??i ? ?i??0??i ? ?i??0?i? ? ?i??i? ? ?0 ?N2
?1
Teorema 02.-
N
G si y sólo si toda clase lateral derecha de N es una clase lateral
izquierda.

Demostración:
?1 ?1

?1
??? Si
Ahora si
g?G, además gN ? Ng para alguna clase Ng
g ? ge? g?gN ? g?Ng , también g ?eg ? g?Ng pero según el teorema 01
Ng ? Ng . Por lo tanto Ng ? gN evidentemente se tiene que
las clases son disjuntas, así
?1

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El grupo cociente

Hasta aquí hemos visto que un grupo puede ser dividido en celdas, ¿será posible operar con
estas celdas?

DEFINICIÓN 04: Sea N G y sean Na y Nb clases laterales de N definimos el producto
de clases laterales (derechas) como ?Na??Nb? ? Nab.
Veamos si este producto está bien definido, es decir, que si elegimos cualquier par de
representantes de ambas clases el producto siempre está en la misma clase lateral (derecha
en este caso).
Sean
a',a''?Na y b',b''?Nb se debe probar que a'b'?Nab y a''b"?Nab ó lo que es lo
mismo a'b'? a"b"(modN). Se tiene que, si a'?Na ?a'? n1a'', b'?Na ?b'? n2b"
luego a'b'??n1a"??n2b"? ? n1?a"n2?b", pero por el teorema 02 Na ? aN , así
?1
n n

Nota 05.- En el caso de emplear la notación aditiva, que es reservada para grupos abelianos,
G ??G,??, la operación de clases se escribiría ?N ?a???N ?b? ? N ?a?b .

Ya tenemos los elementos necesarios construir nuestro grupo, pues hablar de grupo implica
tener un conjunto (como el conjunto de clases laterales derechas o bien izquierdas), ¡ya lo
tenemos! y una operación binaria ¡ya la definimos! , ¿Podemos formar un grupo? veamos:

GRUPO COCIENTE
Teorema 03.- Si
N
G y sea el conjunto G/ N ???g?/ g?G???Ng / g?G?, entonces
G/ N es un grupo bajo la operación ?Na??Nb? ? Nab.

Demostración:
Ya se probó que la operación inducida está bien definida. La asociatividad es inmediata, si
Na,Nb yNc son elementos de G/ N de ahí que ?Na??NbNc? ? Na?Nbc? ? Na?bc?, y por
otro lado
?NaNb??Nc? ? Nab?Nc? ? N?ab?c, pero por la asociatividad en
G tenemos que
a?bc? ??ab?c, de modo que se cumple la ley asociativa para clases.
Por otro lado afirmamos que Ne ? N es el elemento identidad del grupo, pues es fácil
verificar que NaNe ? Nae ? Na y NeNa ? Nea ? Na. Esto debe entenderse como si en la
clase Ne ? N todos los elementos de N se convierten en "e". Finalmente el inverso para
cada elemento de
G/ N viene dado por
?Na?
?1
? Na?1. Por lo tanto G/ N es un grupo
llamado grupo factor de
G módulo N ó grupo cociente de G por N .
Nótese que la definición de
G/ N se hace para clases derechas, igualmente resulta si se hace
para clases izquierdas.

Debe quedar claro que la idea de subgrupo normal es aquí primordial, puesto que para cualquier
subgrupo H de G el conjunto de clases laterales derechas o izquierdas no siempre será un
grupo con la operación inducida como podemos ver en el:

??0 1 2?
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Ejemplo: Sea
El grupo cociente

H ???0,?1?, como vimos anteriormente no es subgrupo normal, si hallamos las
clases laterales derechas de
H obtenemos tres: H?1 ???1,?3?, H?2 ???2,?2? y el mismo
H ???0,?1? ¿el conjunto
?H?1,H?2,H?0?
será grupo?… No. Ya que la operación no es
cerrada como se ve fácilmente:
H?1H?2 ? H?1?2 ? H?0 ? H , o sea, si tomamos elementos
de clases diferentes de H su producto debe estar en H , pero ?3?2 ? ?1?H .

Podemos resumir que: si un grupo es dividido en celdas, o mediante las clases laterales
generadas a partir de determinado subgrupo o mediante una relación de equivalencia
congruente con determinado subgrupo, no obstante estas celdas se operan empleando la
operación heredada del grupo; entonces este nuevo conjunto será un grupo siempre y cuando el
subgrupo empleado sea normal o invariante.

¿Quién es G/ N ?…no es más que un reagrupamiento de los elementos de G de modo que es
posible pensar en una relación entre ambos grupos…un homomorfismo (lo tratamos brevemente
más adelante y conlleva a una idea capital: la de isomorfismo).
De ser
G finito se tiene que el número de elementos de G/ N es G / N como es fácil
demostrar.

Ejemplo: Si volvemos al grupo simétrico S3 y consideramos el subgrupo normal
N ???0,?1,?2?, ¿quién será S3 / N ?, ¿cómo se divide S3 a partir de este subgrupo?, ¿Cuáles
son las clases laterales de N ?, vemos que las clases laterales son:
N?1 ? N?2 ? N?0 ? N , por otro lado N?1 ? N?2 ? N?3 ???1,?2,?3? así S3 se divide en
dos clases la clase de las rotaciones
?i
y la clase de las reflexiones
?i .
S3
S3/N
,? ,?

??1,?2,?3?
?0 ?2
? 1 ?2 ?1
?3
?
Se observa a simple vista que
S3 ? 6, N ?3luego S3 / N ? S3 / N ?6/3? 2 .
Ejemplo: Si consideramos el grupo infinito
?
,?? , recordemos que en un ejemplo anterior
vimos que la congruencia módulo 3 en a divide a en tres subconjuntos.
Tomemos el subgrupo normal ?3 ,?? (el grupo formado por los múltiplos de 3) entonces las
clases laterales, con la notación aditiva, que se obtienen a partir de este subgrupo serán solo
tres:
???0?
3 ?0??3m?0?3m /m?
3 ?1??3m?1 /m? ???1?
3 ?2??3m?2 /m?
???2?
De modo que las clases laterales son exactamente las clases de equivalencia que obtuvimos
anteriormente.

..
…
8.
7 ?
5,
4,
2,
, ?
1 ?
?3
?
?9
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8
Siendo así, el grupo cociente
/3
tiene sólo tres elementos:
??0?,?1?,?2??
?12 5
?55 11 3
?1 6 73
?14
?5 4
… 0
?2,?5,?8…
0,
,
6,
…

1, 4, 7…
?
/3
HOMOMORFISMOS

La relación existente entre el grupo inicial G y el grupo resultante G/ N viene dada
matemáticamente a través de una transformación llamada homomorfismo, idea que analizamos
a continuación:
Sea una transformación, digamos
? ,
entre dos grupos
G y G' con sus respectivas
operaciones, es decir, un
g?G es transformado en g'???g??G' vía ? . Ahora,
si
a,b?G es posible hablar de ab?G del mismo modo que se debe tener ??a???b??G'. Si
exigimos para cualquier par se cumpla
??ab? ???a???b?
(la transformación
?
preserva la
operatividad de
a y b para sus imágenes), entonces a ? se le llama homomorfismo. Una
definición formal será:

DEFINICIÓN 05: Sean los grupos
?G,*? y ?G',?? se llama homomorfismo a la
transformación
?:G ?G'
que satisface ??a*b? ???a????b?, para cualquier a,b?G.
Ejemplo: Sean
?
,?? y ?5 ,?? grupos bajo la suma usual, la transformación ?:
?5 dada
por ?(n) ?5n es un homomorfismo, ya que ?(n?m) ?5(n?m) ?5n?5m??(n)??(m)
Teorema 04.-Si
N
G entonces existe un homomorfismo ? de G sobre G/ N .
Para la demostración del teorema se necesita definir la transformación ? , la cual existe
naturalmente como se ve en los dos últimos ejemplos de grupo cociente. Así ?:G ?G/ N
dado por ??a? ??a?.
Luego
??ab? ??ab???a??b?? ??a???b?.
DEFINICIÓN 06: Se llama kernel de un homorfismo
?:G ?G', denotado Ker? , a todos los
elementos de
G cuya imagen bajo ? sea el elemento identidad e' de G', así:

Ker? ??g?G/ ?(g) ?e'?
?
Ker?
e'
G
G'

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Ejemplo: De acuerdo con el teorema 04 podemos definir
?: ? /3
, digamos
?(n) ??n?,
¿quién será Ker? ?
Por definición Ker? ??k? / ?(k) ??0??, ya que el elemento identidad de
/3
es
?0?,
luego
?(k) ??0???3m/m?
???3m?,
entonces
k ?3m? Ker? ??3m/m?
??3
que
maravilla, el kernel del homomorfismo es el subgrupo normal que “genera” al grupo cociente.
Esto queda justificado en los siguientes teoremas:
Teorema 05.- Si
?:G ?G'
es un homomorfismo y
H es un subgrupo de G , entonces
??H? ???(h), ?h?H?
es subgrupo de
G'.
Nota 06.- Se demuestra fácilmente que
?(e) ?e'
y
?1
?(g?1) ???(g)?
, en este sentido los
homomorfismos son las transformaciones que preservan la estructura algebraica de grupo.
Teorema 06.- Si
?:G ?G'
es homomorfismo, entonces
Ker?
G .
Demostración:
Si k1,k2 ?Ker? ? ?(k1) ??(k2) ?e'. Así ?(k1k2) ??(k1)?(k2) ?e'e'?e', ??k1k2??Ker?
Hemos probado la cerradura en
Ker? , ahora empleando un conocido teorema, sean
?1
,k
?1
?1

Finalmente, hemos visto que G y G/ N están relacionados (teorema 04). Además puesto que el
núcleo (kernel) de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal (teorema 06) podemos
construir el grupo cociente G/K donde K representa el kernel. Así existe un homomorfismo
? :G ?G/K , K ? Ker? .
G/ K

por definición está relacionado con

G/ K
?

K

?:G ?G'

?

K
G

Por otro lado, el kernel de un homomorfismo
G', precisamente con e'??(e)???G?
G

?
G'
??G?

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Nos preguntamos ¿existirá alguna relación entre
El grupo cociente

G/K y ??G? ?…Por supuesto, la relación
viene dada por el teorema siguiente, donde empleamos la idea de isomorfismo (un
homomorfismo que además es una biyección) que nos indica que dos estructuras algebraicas
(grupos) son idénticas salvo por el nombre de sus elementos y la forma de operar a sus
elementos.
En el gráfico anterior vale preguntar cómo son
??G?
y
G', ¿serán iguales?
Teorema Fundamental del homomorfismo.- Si
?:G ?G'es un homomorfismo
y
K ? Ker? ,
entonces existe un isomorfismo canónico del grupo ??G? sobre G/K .
Aquí la palabra canónico debe entenderse como natural, existencia evidente.
Para la demostración se define naturalmente la transformación ? :G/K ???G?
como
??Ka? ??(a), generando
G
??G?
?
?
?
Del diagrama se obtiene la factorización
G/ K

? ???
.
Esperamos haber cumplido con nuestro objetivo, rogamos a los estudiantes en quienes caiga
esta monografía no dejar de maravillarse con las matemáticas puras.

Referencias:
?

?

?
Herstein I. N.

Fraleigh Jhon B.

Adilson Goncalves
“Álgebra Abstracta”
Grupo Editorial Iberoamericana, México 1988

“Álgebra Abstracta”
Addison-Wesley Iberoamerica, México 1988

“Introducao à álgebra”
IMPA, Brasil 1999.
Algunos enlaces en la Web:

http://docentes.uacj.mx/gtapia/Moderna/Contenido/Unidad%20III/NORMALES%20Y%20C
OCIENTE.htm

http://www.monografias.com/trabajos57/grupo-sobre-conjunto/grupo-sobre-conjunto2