o garantizada es aquella tasa decrecimiento del producto,
que hace que los empresarios se sientan satisfechos por haber formulado un
volumen.
Del equilibrio macroeconómico tenemos:
K
S
I
s.Y
v. Y
I
s
Si rescribimos de esta forma como Y
se ve el rol del multiplicador tiene en esta
teoría. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre el cambio en el nivel de
ingreso, Y . Obtenemos:
sr
vr
Y
Yr
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4
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La ecuación puede ser reescrito como
sr
vr
Y
Yr
gW , la ecuación fundamental de Harrod
Y
K
Debido a que v
es el incremento que efectivamente ocurre en el stock de
capital ante
un incremento en una unidad en el nivel de ingreso. Y constante, esta ecuación
puede aproximarse con la siguiente formulación2.
s
Yr
gW
La tasa de crecimiento efectiva, la que en realidad ocurre
Yr
Donde:
r : Subíndice requerido o planeado.
gw: Tasa de crecimiento garantizada.
sr : Propensión marginal ahorrar.
vr : Relación capital – producto requerido.
b) Análisis Ex-post
Este efectúa un análisis considerando las variables después del fenómeno ocurrido,
partir de la identidad.
Si la inversión ex post es inferior a la ex ante entonces habrá un estímulo para el
incremento de la producción, pues habría ocurrido una reducción indeseada de
stocks de producción que son insuficientes. Lo contrario ocurrirá si la inversión ex
ante es inferior a la ex post.
Para Harrod el equilibrio dinámico es intrínsecamente inestable3. Dado que la
trayectoria de la producción que se sigue con la gw es un movimiento en equilibrio, y
ella representa que los productores han hecho las cosas tal como debían haber sido
hechas. Por lo que los empresarios tendrán incentivos para seguir haciendo lo
mismo.
De la identidad macroeconómica (Oferta igual a la demanda) tenemos;
se
ve
Ye
Ye
Se
Ie
se.Ye
ve.( Ye)
se
ve
, entonces tenemos ge
2
Si diferenciamos e igualamos cero a K/Y (que es constante, entonces) tenemos
2
Y
Y
K
K
Y
v
(K / Y )
0 , es decir.
K
Y
K
Y
3
Harrod no dice, que en el campo de la dinámica a diferencia de lo que ocurriría en el campo de la
estática, una salida de la trayectoria de equilibrio en vez de autocorregirse se autoempeora. Debido a esto
él consideró que gW representa una trayectoria de equilibrio pero inestable
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5
Donde:
e: Subíndice efectivo u observado.
ge : Tasa de crecimiento efectiva.
se : Propensión marginal ahorrar efectiva.
ve : Relación capital – producto efectivo.
Trayectoria de Crecimiento del producto
En esta parte se va definir la trayectoria de crecimiento garantizada y efectiva, con
sus respectivas demostraciones.
a) Trayectoria de Crecimiento Garantizada
Es la ruta de crecimiento del producto de satisface a los empresario, al igual que el
ahorro y la inversión a través del tiempo.
Yt
Y0(1 gw)t
Esta ecuación nos dice; que el producto en el periodo “t” crece a la tasa de
crecimiento garantizada, partir de su valor inicial “Y0”.
Donde gW es la tasa de crecimiento garantizada (“warranted rate of growth”) de la
economía, s: La propensión marginal ahorrar (la fracción del ahorro con respecto al
PBI)
t
sr
vr
Yt
Y0 1
Demostración; De la condición de equilibrio macroeconómico
S
I
sr.Yt
vr. Yt 1
0
sr.Yt
vr.Yt
vr.Yt 1
sr.Yt
Yt
vr.Yt 1
0
sr .Yt
vr
vr.Yt 1
Dividiendo a la ecuación anterior entre vr
0
.Yt
sr
vr
vr
vr
.Yt
vr
vr
0
b.Yt
Yt 1
Características de la ecuación; Ecuación diferencial ordinaria, 1º orden (Primera
diferencia), 1º grado (coeficiente constante “t”) y termino nulo.
Solución homogénea; Yt
A.bt , A>0,b >0 y t>0
sr
vr
Donde; b
1
, A = es constante Y0
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6
Reemplazando en la solución homogénea
t
sr
vr
Yt
Y0 1
b) Trayectoria de Crecimiento Efectivo
Es la ruta de crecimiento de la producción efectiva a través del tiempo
t
Yt
Y0 1 ge
t
se
ve
Yt
Y0 1
Crece a una tasa constante y lo hace a través del tiempo del producto efectivo en el
periodo “t” a la tasa constante efectiva “ ge ” y lo hace a partir de su valor inicial.
Harrod considera también que hay una tasa de crecimiento el cual la llama tasa
natural. Esta depende del incremento de la población. No existe tendencia inherente
alguna coincidan pues, para empezar, no existe una única tasa de crecimiento
garantizado ya que esta depende del nivel de actividad.
Para esto plantea un análisis de dinámica, el equilibrio de mercado de trabajo ocurre
cuando se igualan las tasas de crecimiento de la oferta con la demanda de trabajo.
El sistema económico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la tasa
natural. Si la tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se
produciría una tendencia a la depresión, por el mecanismo explicado previamente.
Por esto, cuando la tasa garantizada empieza a exceder la tasa natural, aquella
debe ser reducida4.
g
m
g L
d
g L
s
s
d
Donde;
g L : Tasa de crecimiento de la oferta de trabajo (m)
g L : Tasa de crecimiento de la demanda de trabajo ( g )
Acerca del Crecimiento Proporcionado
Harrod nos dice que el crecimiento en el cual todas las variables agregadas crecen a
la misma tasa constante, en el cual su modelo de crecimiento proporcionado se
expresa cuando se iguala a las tres tasa de crecimiento.
gn
gw
ge
4
Proposición
El lector puede concluir que, la tasa de crecimiento garantizado no puede superar a la tasa natural, sino
que debería ser igual.
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La economía capitalista en el largo plazo puede lograr el crecimiento
proporcionado, pero ello tiene la baja probabilidad. Harrod señala que es muy
difícil que en el capitalismo se de el crecimiento proporcionado, por que ello
significa lograr un crecimiento con el pleno uso productivo a través del tiempo,
debido a que en el capitalismo existe incertidumbre, riesgo y que los capitalista
para inversión, debe tomar en cuenta dichas situaciones, en consecuencia es
muy difícil que se igualen las tres tasas de crecimiento por que cada uno de ellos
es independiente.
Proposición de keynes
Keynes nos dice que la economía en el corto plazo puede tener un equilibrio con
desempleo (diferencia con los clásicos).
Proposición de harrod
Harrod extiende la proposición de Keynes alargo plazo y propone una hipótesis
que se formule y que se demuestre.
Acerca de la Inestabilidad
Harrod no da su proposición en que la economía en el argo lazo tiende a un
equilibrio inestable, donde cualquier diferencia entre la tasa de crecimiento efectivo y
la tasa de crecimiento garantizado lleva a la economía alejarse del equilibrio, por eso
nos plantea dos casos:
Caso I (ge < gW)
Este el caso entre recesión e inflación, se plante a que el incremento del capital
efectivo supera al incremento del capita requerido ante lo cual los empresarios los
empresarios diminuyen la tasa de crecimiento efectivo, ampliando la brecha de
diferencia con la cual se expresa la recensión de la economía.
Caso II (ge > gW)
En este caso de plante el auge e inflación, esto se da cuando el incremento del
capital efectivo es inferior al crecimiento del capital garantizado requerido. Ante lo
cual los empresarios aumentan la inversión y con ello elevan el proceso de
producción efectivo, elevando la tasa de crecimiento efectivo y con ello ampliando la
brecha.
yt 1 Lt 1
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Políticas de Crecimiento ejercicios resueltos
Problema #1
Hallar la tasa de ahorro de la sociedad que permite una tasa de crecimiento del
producto de 8.2%, conociendo que la relación capital – producto es 1.5.
Rpt:
s
s
v
Sabiendo que gw
gw.v
0.123
8.2%x1.5
s
Entonces el ahorro de la sociedad es de 12.3%.
Problema #2
Se sabe que la tasa de crecimiento del producto per cápita es de 8%, la relación
capita – producto es de 3 y la tasa de crecimiento de la población es de 1% al año.
Se pide hallar la tasa de ahorro de la sociedad.
Rpt:
Se sabe la relación per cápita esta expresada como;
(I)
yt.Lt
Yt
yt
Yt
Lt
Adelantando un periodo a la relación per-cápita5.
1
1
(II)
yt 1.Lt
Yt
Dividiendo (II) entre (I)
yt Lt
Yt 1
Yt
.
Aplicando logaritmo neperiano
gL
g y
gY
Ln
Ln
Ln
Lt 1
Lt
yt 1
yt
Yt 1
Yt
cápita)
g( pobla)
gPBI( per
gPBI
Donde:
gPBI : Tasa de crecimiento del producto
g pobla : Tasa de crecimiento poblacional
cápita)
gPBI( per
: tasa de crecimiento del producto per-cápita
5
Otra manera de expresar esta relación y poder obtener tasas de crecimiento de forma sencilla es
mediante un truco matemático, para esto expresaremos la relación per-cápita, luego aplicaremos logaritmo
y por ultimo tomaremos una derivada parcial a la ecuación.
Yt
yt
Yt
Lt
d(lnLt)
dt
d(ln yt)
dt
d(lnYt)
dt
ln(Lt) ln(yt)
ln(Yt)
Lt.yt
gL(t)
g y(t)
Entonces esto queda expresado en tasas de crecimiento como se aprecia gY(t)
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9
s
s
s
v
De al ecuación de Harrod gw
(gw).v
g( pobla)).v
cápita)
(gPBI( per
0.27
(8% 1%).3
s
La tasa de ahorro de la sociedad es de 27%.
Problema #3
Se sabe que la tasa de crecimiento de un país el año 2008 fue de 9.3% y el capital
utilizado fue de 21,000 mil millones de dólares y el producto fue de 5,500 mil
millones de dólares. Se pide hallar la tasa de ahorro de la sociedad.
Rpt:
3.81
21, 000
5,500
K
L
De la relación capital – producto v
Reemplazando este resultado en la ecuación de Harrod
9.3%x3.81 0.35443
s
s
s
v
gw.v
gw
Entonces la tasa de ahorro e esta sociedad es de 35.4443%
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