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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
El Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
n esta nota estudiaremos las decisiones de las familias de como toman sus
decisiones de consumo y ahorro. Un supuesto del modelo neoclásico que
parecía poco realista, es que en el modelo neoclásico las familias eran a la
vez consumidoras y productoras, como si se tratase de Robinson Crusoe.
También analizaremos las decisiones que toman los agentes económicos,
consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias toman sus
decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos las decisiones de
inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas. El objetivo es
estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que dejamos que sean
los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las empresas sus
decisiones de inversión. En el contexto de esta economía estaremos preocupados
por analizar cuales son los determinantes del crecimiento económico.
Como sabemos en la vida real las empresas y los consumidores son instituciones
separadas que interactúan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su
renta entre consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un
salario y venden el producto a cambio de un precio. Empresas y familias se
encuentran en el mercado y los precios del trabajo y el capital son tales que los tres
mercados se vacía. (Modelo de equilibrio general de Ramsey (1928)).
Esta nota esta basada en el modelo de Ramsey (1928) y que, posteriormente
perfecciona do por Cass (1965) y Koopmans (1965), donde incorpora la función de
producción neoclásica y va considerar también el modelo de Solow.
El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans también es conocido como el modelo d e
horizonte infinito y para los economistas, este modelo es la continuación del modelo
de Solow, pero desarrollado en un contexto de optimización de los agentes
económicos (firmas, familias). Algunas características de este modelo son: Que las
firmas competitivas rentan capital y contratan trabajo para producir, un numero fijo
de familias que viven por siempre, ofrecen la fuerza laboral, consumen y ahorran,
excluye todas las imperfecciones de los mercados.
Supuestos del modelo
A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes
supuestos:
Existe una función neoclásica agregada de buen comportamiento.
E
2
Las familias son consumidoras y productoras (tipo Robinson Crusoe).
Las familias son de linaje y viven muchos años, esto quiere decir que los agentes
de este modelo son de dinastía o familias, siendo Lt la dinastía del modelo.
Existe una función de utilidad de los individuos, que depende del consumo por
trabajador Ut
U(ct).
La magnitud de la función de utilidad marginal del consumo es positiva esto
quiere decir es una función es cóncava. La concavidad de la utilidad refleja el deseo
de la gente de tener trayectorias de consumo más o menos lisas o suaves en el
tiempo. Que la función de utilidad sea lisa, significa que los consumidores prefieren
consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. La relación
entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el consumo (es decir
querer consumir mas o menos lo mismo cada día) se puede apreciar en el gráfico Nº
1.
Gráfico Nº 1: Concavidad de la Utilidad
Que la función de utilidad se cóncava quiere decir que:
c1 c2
2
U
U(c1) U(c2)
1
2
c1 c2
2
U
U(c1) U(c2)
c1 c2
ct
3
La utilidad derivada de consumir ct , es mayor cuando el consumo total se ha
repartido, que cuando no se reparte.
Sea la función utilidad1 :
1
t
c1
1
U(ct)
En esta función,
es una constante que representa el grado de concavidad de la
función de utilidad. Contra mayor sea
, mayor será la concavidad de la función de
utilidad, mayor serán los deseos de los agentes de suavizar el consumo en el
tiempo.
Si
0 , no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en caso:
c1 c2
2
2U
U(c1) U(c2)
La curva de utilidad marginal es decreciente.
Existen una función de preferencias intertemporal, siendo la tasa de descuento
0 2.
Ecuación de movimiento
De la condición macroeconómica tenemos:
Itb
Ct
Yt
Dividiendo la condición entre el numero de trabajadores de la sociedad ( Lt )
tenemos;
Itb
Lt
Ct
Lt
Yt
Lt
(I)
)kt
kt (n
ct
f (kt)
I b
Lt
ct
yt
Despejando kt de la ecuación (I)
(I)
(n
)kt
f (kt) ct
kt
Donde:
1
Típicamente se usa una forma específica para la función de utilidad instantánea. Para la forma en este
caso se denomina utilidad con aversión relativa al riesgo constante (ARRC).
2
Para Ramsey esta tasa se debe a su aparición exclusivamente a la debilidad de la imaginación, por que
los individuos aunque altruistas tienen un egonismo paterno dentro de un mundo de altruismo
generacional. Pero veremos que para solucionar el problema de la convergencia tendremos que utilizar el
factor de descuento que tiene el término
0 .
4
kt : Representa la tasa de cambio por trabajador.
ct : Consumo por trabajador.
yt : Producto por trabajador.
kt : Capital por trabajador.
: Tasa de descuento.
n: Tasa de crecimiento de la población.
Otro método de cómo obtener a ecuación de movimiento es mediante la
maximización de la empresa.
Decisión de la empresa
Definimos los beneficios de la empresa en tér
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