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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
Modelo de Ramsey con progreso tecnológico
En esta nota final al modelo de Ramsey introduciremos el progreso tecnológico
exógeno en los modelos de crecimiento, dicho progreso es potenciado del trabajo,
este es el nuevo supuesto que se agrega al modelo.
Entonces pasaremos a introducir el progreso tecnológico en 1er Ecuación diferencial
kt
(n mL
f (kt) ct
)kt , planteamos nuestra función de utilidad agregada de la
sociedad.
Máx :
dt
J
0
n)t
(
U(ct).e
(Función Objetivo)
s.a :
kt
)kt
(n mL
f (kt) ct
(Ecuación de Movimiento)
k(t0)
(Condición Inicial)
0: Dado
k0
k0
0
f (kt)
ct
0
t
Para solucionar el problema se debe cumplir que:
n (1
)mL es decir que la
función de utilidad este acotada en este caso.
1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que
nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto
pasaremos a plantear el hamiltoniano.
t
)kt
(n mL
f (kk) ct
U(ct).e
H(ct,kt, t,t)
n).t
(
Donde
kt : Variable de estado.
ct : Variable de control.
t: Variable de coestado.
mL : Progreso tecnológico.
Condición de Primer Orden (CIO)
2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e
igualándolo a cero.
0
t
ct
Ut
ct
H
ct
H
2
0
( 1)
(
t
n)t
.U (ct)
e
H
ct
(I)
t
U (ct)
e( n)t
Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico
3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y
imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto
al tiempo.
t
H
kt
t
t
mL)
)
(II)
t
f (kt) (n
f (kt) (n mL
t
4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos:
kt
H
kt
kt
)
(n mL
f (kt) ct
)
(III)
kt
(n mL
f (kt) ct
Condición de Segundo Orden (CIIO)
0
.
(
n)t
t
U (ct)
e
2
c2
>0
x 0<
Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.
5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio
implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone
igual a cero.
Condición de Transversalidad
Esto quiere decir que
t
Lím tkt
0
t
0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que
kt
0 (el stock de capital en el momento que muere).1
0
(1/ )
1
En la economía de Ramsey se supone que los individuos fenecen en el infinito.
t
Lím
t
0 ,
esto
indica que el valor del stock de activasen el ultimo momento del horizonte temporal debe ser cero.
dU (ct) ct
3
(
1
n)
t
e
Lím
t
0
t
Lím
t
g
Pmgk
g
)
(n mL
)
De la ecuación (II) tenemos f (kt) (n mL
Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:
1
ln t
n)t.lne lnU (ct)
(
t
ln
n)t lnU (cy)
(
Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a t) a la ecuación tenemos:
dt
dt
d(ln t)
dt
d lnU (ct)
dt
n.
(
t
t
ct dt
.
.
1
U (ct)
n)
(
t
t
U (ct).ct
.
1
U (ct)
n)
(
A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador
(ct )
t
t
1 ct
U (ct). .
ct ct
.
1
U (ct)
n)
(
( )
.
(
t
t
ct
ct
n)
Donde
1
ct
.U (ct).
1
U (ct)
: Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al
consumo por trabajador.
Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos:
.
(
(IV)
n)
t
t
ct
ct
Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV)
t
t
ct
ct
.
n)
(
)
f (kt) (n mL
4
Despejando
ct
ct
, tenemos:
)
mL
f (kt) (
ct
ct
(V), La proposición Ramsey – Keynes
Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón
del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación, la tasa de aumento
tecnológico debido a la eficiencia del trabajo y la tasa de descuento intertemporal
dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por
trabajador.
1
c
f (kt) (
) : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo.
1
(VI)
) ct
mL
f (kt) (
Así mismo se puede expresar la ecuación como: ct
Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)
Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de
fases de este modelo son:
1er Ecuación diferencial: kt
)kt
(n mL
f (kt) ct
mL
2da Ecuación diferencial: ct
) ct
f (kt) (
1
0
Encontrando la curva: k
De la 1er Ecuación diferencial
0
Si kt
)kt
(n mL
f (kt) ct
0
Entonces ct
)kt
f (kt) (n mL
5
0
Gráfico Nº 1: Diagrama de fases con progreso tecnológico de k
Si nos situamos por encima de la curva kt
de ct irá asociada a una disminución de kt
0, vemos que un pequeño movimiento
0. Dado que la 1er Ecuación diferencial,
donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima
de la kt
0, el capital decrece kt
0. Denotamos el movimiento de flechas así la
izquierda, tal como aparece en el gráfico Nº 1. Las flechas se dirigen en forma
horizontal por que en el eje horizontal aparece kt .
Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene:
1 0
d kt
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