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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
El modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico
En esta parte hablaremos de la mejora tecnológica y del crecimiento de largo plazo,
por que se permite introducir el progreso tecnológico de largo plazo.
Supuestos del modelo
A los supuestos básicos de Solow se le añaden los siguientes supuestos:
Sea una economía con progreso tecnológico.
Sea un progreso tecnológico exógeno, se asume que la tasa de progreso
tecnológico es constante.
Sea un progreso tecnológico desincorporado.
Existe un progreso tecnológico neutral a lo Harrod.
Análisis
Sea la función de producción dinámica aumentativa de la eficiencia de los factores.
F(A(t).Kt,B(t)Lt)
Yt
Puesto que se asume que el progreso tecnológico neutral a lo Harrod A(t)
1.
F(Kt,B(t)Lt)
Yt
Si dividimos entre la fuerza de trabajo eficiente (B(t)Lt).
)
Kt B(t)Lt
,
B(t)Lt B(t)Lt
F(
Yt
B(t)Lt
f (kte,1)
yt
f (kte)
yt
(FPI) en unidades eficiente
Donde:
B(t) : Factor aumentativo de la eficiencia de trabajo.
B(t)Lt : Fuerza de trabajo eficiente.
yt
kt
yt
B(t)
kt
B(t)
Yt
B(t)Lt
Kt
B(t)Lt
ye: Producto por trabajador eficiente.
k e : Capital por trabajador eficiente.
Subíndice e: Es eficiente.
Notas de Crecimiento Económico
2
César Antúnez. I
Inversión neta por trabajador eficiente
kte
Kt
B(t)Lt
kt
B(t)
Kt
kte.B(t)Lt
Dividiendo entre B(t)Lt
kte
.kte
.
d(B(t)Lt)
dt
d kte.B(t)Lt
dt
1
B(t)Lt
I n
B(t)Lt
kte
t
(n m).kte
I n
B(t)Lt
Ecuación fundamental de Solow con progreso tecnológico
De la condición de equilibrio macroeconómico, tenemos:
I rep
I b
I n
S b
s.Y
I n
.K
s.F(K,B(t)L)
Dividiendo entre B(t)L
K
B(t)L
I n
B(t)L
.
)
K B(t)L
,
B(t)L B(t)L
s.F(
kte
t
.k e
(n mL).k e
s.f (k e,1)
kte
t
(n mL
s.f (k e)
).k e, Solow-Swan con progreso tecnológico
Donde:
: Tasa de depreciación del stock de capital.
Es una ecuación del proceso de acumulación de capital y del progreso tecnológico
en una economía capitalista.
Señala que la tasa de cambio del capital por trabajador eficiente será igual al
remante del ahorro bruto por trabajador eficiente, respecto a la ampliación bruta de
capital considerando el progreso tecnológico.
Crecimiento proporcionado
El crecimiento proporcionado se da cuando
kt
t
0, entonces reemplazado en la
ecuación de Solow con progreso tecnológico, tenemos:
3
Si
kt
t
(n mL).k e
0, entonces s.f (k e)
.k e , se determina el capital por
trabajadork . Como se puede apreciar en el Gráfico [3.3].
Gráfico [3.3]: Diagrama de Solow con progreso tecnológico
Versión de Barro
Dividiendo la ecuación fundamental de Solow con progreso tecnológico entre kt.
.
mL)
(n
s.f (kt)
kt
kt
t
1
kt
k
mL)
(n
s.f (kt)
kt
En el estado de crecimiento proporcionado
k
es nulo.
Si
k
0 entonces
(n
s.f (kt)
kt
mL), se determina kt
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Gráfico Nº 1: Versión de Barro con progreso tecnológico
Solow –Swan con progreso tecnológico exógeno
Para generar el crecimiento sostenido se introduce el progreso tecnológico. Para
genera el crecimiento de largo plazo que no se podía explicar en el Capítulo anterior.
Supuestos del modelo
A los siguientes supuestos básicos se le añaden el siguiente supuesto particular.
Existe una función de producción Cobb-Douglas.
Análisis
Puesto que se asume el supuesto tecnológico neutral a lo Harrod
F(Kt,B(t)Lt)
Yt
Se asume que existe una función de producción Cobb-Douglas.
(FP)
Kt .(B(t)Lt)
Yt
Rendimiento decreciente
s.a
Rendimientos a escala constante
1
Donde:
B(t) : Factor aumentativo de la eficiencia de trabajo.
B(t)Lt : Fuerza de trabajo eficiente.
: Elasticidad del producto respecto al capital.
: Elasticidad del producto respecto al trabajo eficiente.
Yt : Producto agregado.
Kt : Stock de capital.
s.f (k ) k t
Lt Kt
B(t) Kt
5
Lt: Fuerza de trabajo agregada.
Dividiendo la función de producción entre el trabajo eficiente (B(t)Lt ).
1
.
B(t)Lt)
[B(t)Lt]
Kt
[B(t)Lt]
Yt
B(t)Lt
kt
B(t)
yt
B(t)
(FPI)
kt
yt
t
(kte)
ye
Donde:
El superíndice e de las variables en unidades eficientes.
Ecuación fundamental de Solow-Swan con progreso exógeno y
desincorporado
De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos:
It
Ct
F(Kt,B(t)Lt)
.Kt
(1 s).F(Kt,B(t)Lt) K t
F(Kt,B(t)Lt)
.Kt
x
1
B(t).Lt
s.F(Kt,B(t)Lt) K t
e
e
.kte
t
0
0
(I)
.kte
s.f (kte)
e
Despejando k t , tenemos:
e
k t
Para saber el comportamiento de kte, calcularemos su derivada con respecto al
tiempo
2
B(t)Lt
Kt.B(t) Lt Kt.B(t) Lt
K t .B(t)Lt
t
[Kt / B(t)Lt]
t
kte
kte
t
Kt
B(t)Lt
.
B(t) B(t)Lt
.
Lt B(t)Lt
(II)
mL.kte
n.kte
e
k t
kte
t
e
Reemplazando k t , que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazando la FPI de
nuestro modelo tendremos:
(II)
mL.kte
n.kte
e
k t
kte
t
kte
t
mL).kte
s.f (kte) (n
6
kte
t
(n
s.kte
mL).kte, la ecuación fundamental de Solow-Swan con progreso
t
tecnológico.
Es una ecuación diferencial que refleja la dinámica de la acumulación de capital en
una economía capitalista con progreso tecnológico.
Estado de crecimiento proporcionado
La tasa de crecimiento per cápita a largo pl
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