13
inversión anterior por trabajado eficiente, esto significa que la economía comienza
2
2
(n mL
de nuevo la profundización, hasta llegar a igualarse s2t f (ket)
)ket .
Por lo que la función de producción eficiente llega a un valor más alto que el capital
por trabajador eficiente con una producción per -capita más alta.
).k2t
(n mL
s.f (k2t)
0
k2t
d( f (k2t))
dt
k2t
Donde k1t
Gráfico del problema #2
0
)
e
t
(n mL
s.f (kte)
kte
B(t)Lt
14
Si
0
s
1
1
t
s
n mL
ye
s
n mL
kte
Problema #3
Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción agregada
4 / 9
Kt5 / 9 B(t)Lt
es Yt
, y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 36%
del producto agregado cada año, también se sabe que; La tasa de depreciación del
capital es de 8% al año, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 2% al
año y por ultimo se sabe que la tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia
del trabajo es de 2% al año.
a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
b) Determine el estado de crecimiento proporcionado.
c) Halle el valor de equilibrio de capital por unidad trabajo eficiente y del producto por
unidad
eficiente y graficar.
d) Halle la remuneración de los factores.
e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso
nacional y por ultimo grafique todos los datos encontrados en un solo grafico.
Rpt:
2%
0.36,
2%,mL
0.08,n
a) De los datos tenemos: s
4 / 9
Kt5 / 9 B(t)Lt
Yt
, dividiendo la función de producción entre la cantidad de
trabajadores eficientes B(t)Lt, tenemos:
4 / 9
t
B(t)Lt
B(t)Lt
K15 / 9
5 / 9
Yt
B(t)Lt
49
(FPI)
(kte)5 / 9
ye
t
Kt4 / 9
B(t)Lt
ye
t
De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos:
Kt
K t
Ct
It
(1 s)F(Kt,B(t)Lt)
F(Kt,B(t)Lt)
F(Kt,B(t)Lt)
Dividiendo entre la cantidad de trabajadores eficientes
Kt
K t
1
B(t)Lt
sF(Kt,B(t)Lt)
0
kt
e
sf (kte) kt
0
e
Despejando kt , tenemos:
(I)
e
kt
e
sf (kt )
e
kt
Para saber el comportamiento de kte, calcularemos su derivada con respecto al
tiempo
Kt.B(t) Lt
Kt.B(t)Lt
2
B(t)Lt
K t.B(t)Lt
Kt /B(t)Lt
t
kte
t
B(t) Kt
.
B(t) B(t)Lt
(II)
Lt Kt
.
Lt B(t)Lt
mL.kte
K t
B(t)Lt
e
kt n.kte
kte
t
kte
t
e
Reemplazando kt , que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazamos en la FPI de
nuestro modelo tenemos:
(II)
mL.kte
e
kt n.kte
kte
t
kte
t
).kte
sf (kte) (n mL
Nos da la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.
(III)
).kte
(n mL
s(kte)
kte
t
Reemplazando los datos en la ecuación (III)
kte
t
0.36(kte)5 / 9
0.12kte , la ecuación fundamental con progreso tecnológico
b) En el estado de crecimiento proporcionado se obtiene dividiendo la ecuación
anterior (ecuación fundamental de Solow – Swan) entre el capital por trabajador
eficiente e igualándolo a la tasa de crecimiento que es nula
e
k
0.
0.12
.
0.36(kte)5 / 9
kte
kte
t
1
kte
0.12
e
k
0.36(kte)5 / 9
kte
e
k
0. En el estado proporcionado
15
Donde la tasa de crecimiento del capital es nula
esta dado por la siguiente ecuación:
16
0.12
0
0.36(kte)5 / 9
kte
c)
Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente.
0.12
0.36(kte)5 / 9
kte
11.845
kte
Remplazando kte , en la FPI tenemos el producto por trabajador eficiente:
(11.845)5 / 9
t
ye
3.948
t
ye
Gráfico del problema #3
d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los
valores.
Mercado de capital:
4 / 9
e
5 1
9 kt
d kt5 / 9
dkt
Pmgk
R
Pmgk
0.1852
Rr
y
Notas de Crecimiento Económico
17
César Antúnez. I
Mercado de trabajo:
W e
Pmgk
W e
pmgL
f (kte).kte
f (kte)
5 1
. 4 / 9 .kt
9 kt
(kte)5 / 9
(11.845)5 / 9
4
9
W e
4 5 / 9
kt
9
W e
1.754
W e
e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso
nacional.
0.445
1 . 754
3.948
W
Y
we
e
50%, la participación del beneficio en el ingreso nacional
es del 44.5%.
La participación del beneficio:
0.555
( 0.1852)x11.845
3.948
B
Y
Reke
ye
55.5%, la participación del beneficio en el
ingreso nacional es del 55.5%.
Gráfico de la distribución del ingreso nacional
18
2
2
2
Problema #4
Imaginemos en el país “A” se ha producido un aumento de la población debido a la
no planificación familiar esto ha aumentado la tasa de crecimiento poblacional,
considerablemente, y debido a estos se quiere analizar este aumento permanente
de la tasa de crecimiento de la población, sobre el crecimiento de su economía.
Rpt:
Un aumento permanente de la tasa se crecimiento de la población (n ), la curva de
ampliación de capital rota en sentido antihorario, de tal modo que cuando se
interfecta con la curva de ampliación neta de capital determina el nuevo estado de
crecimiento proporcionado, con menor capital (ket ) y menor producto por trabajador
( yet ), como se puede ver en el grafico del problema #4.
En el corto plazo el capital por trabajador eficiente comienza a disminuir, como se
puede apreciar en la versión de Barro, teniendo una tasa de crecimiento negativa,
hasta llegar el equilibrio (E2t ) donde la tasa de crecimiento proporcionado es nula.
También podemos apreciar en la grafica que con mayor “n” se obtiene un nuevo
consumo por trabajador eficiente (c2t), y un nuevo ingreso per cápita por trabajador
(ket ).
Gráfico del problema #4
19
0
)
e
t
(n mL
0
sf (kte)
kte
Si
n
1
1
1
s
n m
ye
t
s
n mLt
kte
Por lo tanto una aumento de la tasa crecimiento de la población afecta de manera
negativa al capital por trabajador eficiente, el nivel de producción por trabajador, y
nos da una tasa de
Crecimiento negativa.
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