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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
El Modelo de Solow – Swan
El modelo de crecimiento con función Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swan
de manera separada en 1956. Este modelo hace referencia a los supuestos, de
ecuaciones fundamental, al examen de cómo se alcanza el equilibrio.
Todavía en esta parte se supone que no existe progreso tecnológico en el siguiente
Capítulo de este libro (III), veremos como influye la tecnología en el crecimiento de
producción de un país.
Supuestos del modelo
A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos
particulares:
Utiliza una función de producción Cobb-Douglas.
El stock de capital se deprecia a una tasa constate exógena:
Función de Producción agregada (FPA)
La función de producción neoclásica, es homogénea de grado uno o linealmente
homogénea, con rendimientos constantes a escala y, además, con rendimientos
marginales de cada uno de los factores, positivos y decrecientes.
(I)
t
A.Kt .L 1
F(Kt,Lt,A)
Yt
1
con: 0
Rendimientos de escala constante.1
s.a:
Rendimientos decrecientes.
Donde:
A : Índice de Nivel de tecnología2.
: Elasticidad del producto respecto al capital.
Yt : Producción agregada en el instante “t”.
1
Charles Cobb
y Paul Douglas (1928) propusieron una función de producción, tal que los factores de
producción cobran sus productos marginales. En su análisis de la manufactura de los EE.UU.
Fue un matemático amigo de charles.
Fue senado por Illinois entre 1949-1966 y profesor de economía.
2
Generalmente se supone o se asume que el índice de nivel de tecnológico es la unidad, donde A t = A.
2
Kt : Stock de capital agregado en el instante “t”.
Lt : Fuerza de trabajo agregada.
0 , comprobaremos que la función es
Si multiplicado a la ecuación (I ) por
homogénea de grado uno.
1
1
t
t
.A.Kt .L 1
.Yt
.L 1
A. .Kt .
.Yt
. .Lt
A. Kt.
.Yt
Por lo tanto queda comprobado que a función es homogénea de grado uno.
Esta función también puede ser rescrita con la función de producción intensiva (FPI),
de la siguiente forma:
Dividiendo a la ecuación (I ), entre Lt
t
Yt
Lt
A.Kt .L1
Lt
Kt
Lt
yt
yt
A.
A.Kt .L
(FPI)
A.kt
yt
La productivaza marginal de capita (kt) es positiva.
0
.kt 1
f (kt)
df (kt)
dkt
La función es cóncava (por que la segunda derivada es negativa).
0
1
.kt 2
f (kt)
d 2 f (kt)
dkt2
Satisface las condiciones correspondientes a INADA (Inada, 1964).
1/
0
.
1
k1
Límf (kt)k(t)
1/0
0
1
1
.
k
Límf (kt)k(t)
Crecimiento poblacional
Solow considera que toda la población está empleada y, además, crece a una tasa
constante determinada exógenamente. Su forma funcional es:
n
Lt
Lt
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Ecuación Fundamental de Solow – Swan
De la ecuación fundamental de Solow con depreciación tenemos:
n
k t
s.f (kt)
f kt
.kt , yt
(FPI)
A.kt
f (kt)
A.kt
Pero la función de producción Cobb-Douglas; yt
Reemplazando la (FPI) en la ecuación de Solow.
n
k t
s.Akt
.kt, La Ecuación fundamental de Solow – Swan3
Esta ecuación diferencial de acumulación de capital, donde la tasa de cambio del
capital por trabajador es igual al remanente del ahorro bruto por trabajador respecto
a la ampliación bruta de capital.
Estado de Crecimiento Proporcionado
Que lo traducen como estado estacionario (Growth steady state), en este estado de
crecimiento proporcionado, cuando k t
n
0, entonces s.Akt
.kt se determina
kt .
Hallando kt :
kt
kt
s.A
n
1
t
k
s.A
n
1
1
s.A
n
kt
Donde el asterisco ( ) denota el valor de equilibrio de la variable.
Reemplazando el kt hallado en la (FPI), nos da el valor de producto por trabajador
de equilibrio ( yt ).
yt
A.kt
1
s.A
n
yt
3
Se recomienda al lector que trate de recordar esta ecuación ya que será utilizada a lo largo de este libro
en los distintos modelos que se representaran en los capítulos siguientes.
Gráfica Nº 1: Estado Proporcionado de las variables
En el Gráfico Nº1, podemos apreciar que en el estado de crecimiento proporcionado
se determina, kt e yt . Donde también se aprecia que la tasa de ahorro ,s, donde
esta determina el reparto entre consumo por trabajador (ct ) y inversión por
trabajador (it). En el cualquier nivel de kt la producción es f kt , la inversión por
trabajador es s.f kt , y el consumo por trabajador es f kt
s.f kt .
Versión de Barro
A partir de la ecuación fundamental de Solow – Swan con depreciación;
n
k t
s.f (kt)
.kt , dividiendo a esta ecuación entre el capital por trabajador de
equilibrio (kt), tenemos:
(II)
n
s.A.
kt
kt
kt
kt
n
kt
kt
k
s.A.
, La ecuación fundamenta Solow-Swan-Barro
El miembro izquierdo de la ecuación (II ) representa la tasa de crecimiento del
)
4
capital per capita y es igual a la diferencia entre s.kt 1 (curva de ahorro) y (n
(curva de depreciación).
5
En el crecimiento proporcionado la gk
0, entonces
n
s.A.kt
k
, se determina
kt .
Hallando kt ;
k
k
s.A
n
1
1
s.A
n
kt
Donde:
k
kt
kt
gk : Tasa de crecimiento del capital
Gráfica Nº 2: versión de Barro
En el Gráfico Nº 2, podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciente, tiende a
cero cuando ktse aproxima a infinito y cuando k se acerca a cero (CONDICIONES
INADA). En cuanto a la curva de depreciació
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