Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
Algunas aplicaciones del MEF a problemas elípticos
Problema de Elasticidad
•
Consideremos un cuerpo elástico, isótropo y homogéneo B,
que ocupa el dominio acotado O?R3, con frontera
•
G=Gt?Gu tal que GtnGu=Ø y área Gu>0.
El cuerpo B está sometido a una fuerza volumétrica f,
•
•
y a una fuerza superficial t aplicada sobre Gt.
Se supone B fijo a lo largo de Gu.
Se busca determinar
– desplazamientos u.
– deformaciones e, dependientes de los desplazamientos de acuerdo a la
cinemática de la deformación.
– tensiones s, dependientes de las deformaciones de acuerdo a la ley
constitutiva del material.
O
O
Gu
Gt
?u =0
sobre Gu
1? ?ui ?u j ?
??x
?xi ? ?
= ??e d +µe
?,µ?
, ctes. de Lamé.
, µ =
?: coeficiente de Poisson
1+?
(1+?)(1-2?)
n =?s n
Introducción al Método de los Elementos Finitos
3
Problema de Elasticidad
•
•
Nota: en adelante, usaremos las siguientes convenciones de notación:
Ecuación de equilibrio
CB Dirichlet (despl. impuesto)
CB Neumann (tracción impuesta)
?
?divs + f =0 en O
?
?sn = t sobre Gt
O
O
Gu
Gt
n
Ecuaciones de clausura
– Cinemáticas: asumiendo pequeñas deformaciones:
eij = ? + ?
2? j
– Constitutivas: asumiendo comportamiento elástico lineal (ley de Hooke):
,
– derivada parcial: ui, j =
?ui
?xj
3
– sumatoria: sij j ij j
j=1
+
E E? E :módulo de Elasticidad
3
sij kk ij ij,
k=1
con ? =
{
con V= v:v?? ? ? y v = 0 en Gu
?H (O)
1
? ?
dx+? ?
-?
2
+v
vi, j j,i
?
– sij
de pequeñas
2
-? sij ij ? ivids+? fividx = 0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
4
Forma variacional del problema de Elasticidad
•
Dado
se llega a
haciendo
}
3
(V)
Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V
(D)
sij, j + fi = 0 en O, i, j =1,2,3
O O
G O
O Gt O
sij, jvidx+
fividx = 0
sijnjvids+
fividx = 0
-?Osijvi, j
e (v)dx+ t
d +µe t v ds+
O Gt i i O
T. de Green
Ley de Hooke
CB
dx+?Gt tivids+?O fividx = 0
dx+?Gt tivids+?O fividx = 0
sijvi, j +s jivj,i
O
Simetría de s
Cinemática
O
deformaciones
L(v)
a(u,v)
i.e.,L(v) = ? v V ,?v?V,?? +.
a(u,v) =? ??ui,i ij ij ? ij(v)dx =? ??divudivv +µeij ij(v)?dx
continua, i.e., a(u,v) =? u v ,?u,v?V,? ?
H (O) H (O)
V-elíptica, i.e., a(v,v) =a v ,?v?V,a ?
, con v
+
H (O)
Demo.: a(v,v) = ?? (divv) dx+µ? eij(v)eij(v) dx
H (O)
=? vi
H (O)
= µ? eij ij(v) dx = µc v
H (O)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
5
•
•
–
–
–
.
1
1
2
2
.
3
i-1
1
1 1
2
es simétrica, i.e., a(u,v) = a(v,u),?u,v?V.
Forma variacional del problema de Elasticidad (cont.)
Se puede demostrar que la forma lineal L(v) =?O fividx+?G tivids es continua,
t
Se puede demostrar que la forma bilineal
d +µe (u)?e (u)e
O O
1
2
2
+
.
+
O O
O
, c?
(v)e
Desigualdad de Korn
{
}
Vh 1 (K)? ? ,?K?Th
= v:v?V y v K ?? ?P
H (O)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
6
•
•
•
•
1
u-uh
= Ch u H2(O)
MEF aplicado al problema de Elasticidad
Consideremos el problema de Elasticidad en O?R3.
Sea Th={K} una malla de tetraedros de O. Definimos el espacio de EF
3
El MEF aplicado al problema de Elasticidad consiste en
Hallar uh ?Vh /a(uh,v) = L(v), ?v?Vh
La solución uh?Vh satisface
{
}
V = v:v?? ?H0 1(O)? ? y divv = 0 en O
Introducción al Método de los Elementos Finitos
7
•
Problema de Stokes
Consideremos las ecuaciones de Stokes para el flujo estacionario de un fluido
Newtoniano incompresible encerrado en un dominio O?R3, sometido a una
fuerza volumétrica f :
•
•
sij, j + fi = 0 en O, Balance de cant. de movto.
en O, Ley const. de fluido Newtoniano
ui,i = 0 en O, Condición de incompresibilidad
ui = 0 sobre G, CB Dirichlet
u: velocidad
sij = 2µeij(u)- pdij
s: tensión
p: presión
µ: viscosidad
-µ?ui + p,i = fi
en O, Balance de cant. de movto. p/fluido Newtoniano
Definimos el espacio de funciones de prueba
3
Luego, podemos llevar el problema de Stokes a la forma variacional
(V)
Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V
fi i v dx = µ? ?ui i v dx-µ?
?ui
Introducción al Método de los Elementos Finitos
8
•
•
•
•
Dado que µ >0, se demuestra (ídem problema de Poiss
Página siguiente  |