Algunas aplicaciones del MEF a problemas elípticos (página 2)

Partes: 1, 2

on) que a(.,.) es simétrica,
contínua y V-elíptica.
Se demuestra también (ídem problema de Poisson) que L(.) es continua.

Nota: al adoptar un espacio de velocidades de divergencia nula, la formulación
variacional no involucra la presión.
Forma variacional del problema de Stokes

Para llevar el problema de Stokes a la forma variacional hacemos
fi = -?ui + p,i
vids-?O pvi,idx+?G pnivids
=0 =0
?O

?O

?O
fividx = -µ?O?uividx+?O p,ividx

·?
O G ?n
=0
fividx = µ?O?ui ·?vi dx
L(v)
a(u,v)

V = ?v:v = (v1 2 0(O)? ? y
,v )?? ?H
+ = 0 en O?
v =? ? = rot? para alguna función ?.
? ?? ?? ?
H (O)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
9
MEF aplicado al problema de Stokes

Consideremos el problema de Stokes en O?R2. Luego:
•

•

•
solución uh?Vh satisface
?v1 ?v2 ?
? 1 2
?
?x1 ?x2 ?
2
2
Si O es simplemente conexo (i.e., no contiene agujeros), divv=0 en O si y solo si

,-
??x1 ?x2 ?
? :función de corriente del campo de velocidades v.
o sea: v?V ? v = rot?, ??H0(O).

Adoptamos luego un subespacio Wh de dimensión finita deH0(O) (usamos por
ej. el elemento finito C1-continuo ya visto) y definimosVh ={v:v = rot?,??Wh}.

Se formula el MEF remplazando V por Vh?V en la formulación variacional. La
1
u-uh
= Ch4 u H5(O)

poyad
(e
u = = 0
?Mnt
Q(M) = Mij, jni +
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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•
Flexión de placas elásticas

Consideremos una delgada placa elástica P,
cuya superficie media está dada por el
dominio O?R2, sujeta a una
carga transversal f.
•

•
Se desea determinar

– deflexión transversal u

– momentos Mij, i,j=1,2.
El problema está gobernado por
Ecuación de equilibrio

CB empotrado

CB simpl. apoyado
Mij,ij = f
?u
?n
u = Mnn = 0
en O

sobre Gc

sobre Gs
Mnn =Q(M) = 0 sobre Gl
x1
fdx
O
u
t
n
Gl
(libr
e)
G
c
m
po
tra
do
)
Gs
(simpl
x2

.a
o)
CB libre

Fuerza de corte o transversal
?t

Introducción al Método de los Elementos Finitos
11
•
Flexión de placas elásticas (cont.)

Ecuaciones de clausura

– Asumiendo pequeñas deflexiones y material elástico lineal, la ecuación
constitutiva (ley de Hooke) toma la forma
– Las constantes ? y µ dependen del módulo de elasticidad E y el coef. de
Poisson ?, así como del espesor de la placa d, de acuerdo a
constantes
curvatura
+
?,µ?
?ij =u,ij =
?2u
?xi?xj
sij = ??udij +µ?ij
? =
? =
Ed3
12(1+?)
?Ed3
12(1-? 2)

1. Adoptamos el espacio V = ?v:v?H (O), v = = 0 en Gc s?
, v = 0 en G
?v ?v
?O O ? Mij,ijvdx
fvdx =
?n ?t
= M nn
+ M tn
?O O G ? Mij, j i nvds
fvdx = -? Mij, jv,idx+
?n
= Mnn nt
+ M
?O O G G ? Mij, j i nvds
fvdx =? ? Mij jv,ids+
Mijv,ijdx- n
?O O G G G
fvdx =? ? ? ? Mij, j ivds
? (v)dx-
M ds-
M ds+
?n
?t
?O O G G ? ?t vds+?GMij, j i nvds
fvdx =? Mij ij(v)dx-? Mnn
?v ?Mnt
?O O G G? ? ?
fvdx =? Mij ij(v)dx-? Mnn
ds+? ?Mij, j i +
?v ? ?Mnt ?
=0
fvdx =? (??udij +µ?ij)?ij(v)dx =? ???u?v+µ?ij ij(v)?dx
Introducción al Método de los Elementos Finitos
12
(u)?
=0

O O
?v ?v
Mij ij nn nt n

? ds+
?n

? n vds
?n ?t
?O
?v
?t
Formulación variacional del problema de flexión de placas elásticas
? 2 ?v ?
? ?n ?
2. Hacemos
v,i = ni + ti
?v
Mijnjv,i ij i j ij i j
?v ?v
?n ?t
Integración
por partes
(con G suave)
a(u,v)
L(v)

a(u,v)=? ???u?v+µ?ij ij(v)?dx
V = ?v:v?H (O), v = = 0 en Gc s?
, v = 0 en G
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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•
Formulación variacional del problema de flexión de placas elásticas
(cont.)
La forma variacional del problema de flexión de placas elásticas resulta
•
con:
(V)
(u)?
O
Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V
L(v)=?O fvdx
? 2 ?v ?
? ?n ?
– La forma bilineal a(.,.) es en general simétrica y continua.
– Además, a(.,.) es V-elíptica si Gc>0, i.e., si la placa está empoptrada a lo
largo de una parte de su borde.

– La forma lineal L(.) es continua.

Ahora se puede formular el MEF para el problema de flexión de placas elásticas
usando el elemento C1-continuo ya descrito.