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1.1
Antecedentes del método de elementos
nitos
Introducción
En ingeniería cuando se quiere encontrar una descripción cuantitativa de un fenómeno físico lo primero
que se hace es plantear un conjunto de ecuaciones de gobierno, que en general consiste en un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias o a derivadas parciales, en una dada región o dominio y las condiciones
de contorno e iniciales.
El segundo paso es resolver ese sistema para un dado conjunto de datos. En este punto es donde
aparecen los inconvenientes, pues solo es posible resolverlas exactamente (analíticamente) si las ecuaciones
son muy simples y estan de
nidas en un dominio de geometría simple. Asi y todo si el número de variables
dependientes aumenta, suelen encontrarse de
cultades para resolver el sistema.
Para salvar este problema y utilizar una de las mas potentes herramientas (la computadora) se debe
replantear el problema de una manera puramente algebraica. Para llevar a cabo esto puede utilizarse
alguna de las formas de discretización del problema continuo de
nido por las ecuaciones diferenciales. En
esta discretización el conjunto in
nito de números que representa a la/s función/es solución desconocida/s
es reemplazado por un número
nito de parámetros desconocidos. En este proceso se requiere alguna
forma de aproximación.
Una de las formas de discretización posible, y una de las mas simples, es el proceso de diferencias
nitas. En lo que sigue veremos varias aproximaciones por funciones de prueba que caen dentro de la
clasi
cación general que se conoce como método de elementos
nitos.
Para poder avanzar, vamos a concentrar la atención en algunos problemas particulares simples. Estos
problemas servirán para desarrollar ejemplos y para introducir los principios generales de aproximación,
de modo tal que luego puedan aplicarlos a sus propios casos especiales sea que generen sus propios
programas o que utilicen un programa desarrollado con esta metodología.
Problema: ujo de calor en un dominio bidimensional
Planteo: utilizaremos la notación qx para el calor que uye en la dirección del eje x en la unidad de
tiempo y qy cuando ocurre en la dirección del eje y. La diferencia D entre el calor que entra y el que sale
de un elemento de tamaño dx dy viene representado por la expresión:
D =
qx +
@qx
@x
dx
qx dy + qy +
@qy
@x
dy
qy dx
(1)
Por conservación de la energía, D debe ser igual a la suma del calor generado en el elemento y al
calor liberado en el mismo en la unidad de tiempo. Para el calor generado utilizaremos la notación Q dx
dy donde Q podrá variar con la posición (coordenada (x;y) del punto dentro del dominio) y del tiempo,
y para el calor liberado
c (@ = @t)dx dy donde c es el calor especí
co,
la densidad y
(x;y;t)
es la distribución de temperatura en el tiempo t. El requerimiento de igualdad nos lleva a la relación
diferencial, que debe satisfacerse en todo el dominio:
@qx
@x
+
@qy
@x
Q + c
@
@t
=0
(2)
La ley física que gobierna el ujo de calor en un medio isotrópico, puede escribirse para la componente
de ujo en una dirección cualquiera n
qn =
k
@
@n
(3)
Donde k es una propiedad conocida del medio, conductividad térmica. Para las direcciones x e y
especí
camente:
(4)
qx
qy
=
=
k
k
@
@x
@
@y
Las relaciones (2) y (4) de
nen un sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema y
requieren la solución para las tres variables dependientes qx, qy y . Tal solución requiere se especi
quen
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las condiciones iniciales (por ejemplo la distribución de temperatura) en todo el dominio
para t = to y
las condiciones de contorno (o borde) en el borde
del dominio.
Tipicamente podremos encontrarnos con dos clases de condiciones de borde involucradas en el pro-
blema.
La primer clase de condición aplicable a la parte
del contorno donde se especi
can los valores
(x;y;t) de la temperatura. A este tipo de condición se la suele denominar condición de Dirichlet o
condición esencial. Podemos escribirla como:
=0
en
(5)
La segunda clase de condición de borde que se aplica a la parte q , que es lo que resta del borde del
dominio, donde se especi
ca el valor del ujo de calor referido a la dirección n normal al borde q(x;y;t).
A este tipo de condición se la suele denominar condición de Newman o condición natural. Se la puede
escribir como:
qn
q =0
(6)
El problema esta completamente de
nido por las ecuaciones (2), (4), (5) y (6) y los números que
representan la distribución de , qx y qy para todo tiempo t pueden ser, en principio, obtenidas resolviendo
este conjunto de ecuaciones.
Cabe remarcar que todo punto del contorno debe tener especi
cada alguna condición, lo cual lleva a
que en todos los casos se cumpla que:
=
+
q
(7)
La ecuación (2) puede expresarse de una forma alternativa utilizando (4) para eliminar como incógnitas
a qx y qy. Como consecuencia obtenemos la siguiente ecuación diferencial de mayor orden:
@
@x
k
@
@x
+
@
@y
k
@
@y
+ Q
c
@
@t
=0
(8)
Esta ecuación diferencial también requiere que se especi
quen las condiciones iniciales y de contorno.
Esta ecuación representa a un problema de
nido en el dominio del tiempo y del espacio. Si suponemos
que para nuestro problema se esta en estado estable (o estacionario) entonces @ =@t = 0 y la ecuación de
gobierno se simpli
ca a:
@
@x
k
@
@x
+
@
@y
k
@
@y
+ Q =0
(9)
Esta última solo requiere que se especi
quen las condiciones de contorno como en (5) y (6).
Principalmente vamos a trabajar con esta última forma de de
nir el problema, por ser más simple y
porque varias situaciones físicas
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