1u : unidad de área
a
b
c
r
r
m
n
DEFINICIÓN
Área es el número que expresa la medida de una
región.
1u
2
1u
2
1u
2
1u
2
1u
2
Región
región
unitaria
2
Área de una región triangular
1. Fórmula básica
> 90
b
2. Fórmula trigonométrica
b
a
ÁREAS
3. Área de una región triangular en función
de:
1. Del inradio
como: p =
2.
3.
Del circunradio
4. Teorema de Herón
5. Segmentos determinados en la hipotenusa:
A =
A=
a
A =
A=
A = p.r
Del ex radio
A = (p – a) ra
A = (p – b) rb
A = (p – c) rc
A =
Como : p =
A=
A
= m.n
1
l
l
l
60
60
60
60
60
30 30
h
B
D
C
A
B
n
C
D
A
h
B
A
C
B
a
l
l
l
D
a
b
d
c
A
B
D
C
4. Área de un
equilátero
En función del lado:
Área de regiones cuadrangulares
1.
Fórmula básica
2. Trapecio
h
B
b
m
h
Caso particular
BC // AD
3. Paralelogramo
b
4. Rombo
5. Rectángulo
b
6. Cuadrado
l
En función del lado
A= l
2
En función de la diagonal
7. Cuadrilátero inscrito
A=
A=
A
=
A ?
AT= m . h
AT= n . d
AP= b . h
AR=
A= a . b
A=
2
d
b
c
a
0
r
b
c
d
a
d
a
c
b
ra
0
r
r
d
d
0
r
0
R
R
r
R
B
A
0
8. Cuadrilátero circunscrito:
Como : p =
9. Cuadrilátero bicéntrico
T. de Pilot : a + c = b + d
como :
p=
10. Cuadrilátero ex inscrito
como : ra es ex radio
Nota: Teorema de Steiner:
Área de regiones circulares
Círculo
Corona circular
R
Sector circular
R
Trapecio circular
Segmento circular
A
AB
=A -A
AOB
AOB
Como : p =
A=
A= p . r
A=
A= ra (a – c)
a – c=d-b
A= r2
A=
A= (R2 – r2)
A=
A=
A=
A
=
AB
4. ¿Cuál es el área de un triángulo en m , si
3
R= 4
R= 4
2
4
R
r
C
A
8
6
8
A
D
C
B 2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar el área de un cuadrado inscrito en
un círculo de radio 2
b) 14m2
c) 16m2
d) 10m2
a) 8m2
e) N.A.
2. El área de un círculo es m2. ¿cuál es el
área del triangulo equilátero inscrito en la
circunferencia?
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
3. Calcular la longitud de una circunferencia
inscrito en un triángulo de 30 m de
perímetro y cuya área es de 30 m2.
a) Lc = 2
b)
c)
d)
e)
Lc = 4
Lc = 8
Lc = 6
Lc = 10
2
sus lados miden 13 ; 20 y 21m ?
a) 120m2
b) 124m2
c) 126m2
d) 130m2
e) N.A.
5. Los lados de un triangulo miden 10;12 y
14 m. ¿cuánto mide el radio del círculo
inscrito?
a)
b)
c)
d)
e)
6. Hallar el área del círculo.
a) (24 – 12
b) (24 – 16
c) (12 – 24
d)
e)
(3 – 4
(4 – 3
7. Hallar el área de la región sombreada.
a)
10
b) 6
c) 8
d) 12
e) N.A.
8. Calcular el área de la región sombreada ABCD.
B
a) 24
b) 30
9. Hallar el
c) 48
d) 32
D e) 12
área del trapecio ABCD.
E
a) AT = 20
b) AT = 10
c) AT = 5
d) AT = 2
e) AT = 6
10. En un trapecio ABCD, ( AB//CD; AB > CD). Las
áreas de los triángulos AOB y COD son de
25m2 y 12 m2. Hallar el área del trapecio (0 es
el punto de corte de las diagonales).
a) 71m2
b) 36m2
c) 71,6m2
d) 36,6m2
e) 70,6m2
4
D
d
a
D
C
PRISMA
Es Un poliedro limitado por 2 polígonos iguales y
paralelos llamados bases y por paralelogramos
E
D
C
B
A
D’
A’
llamados caras.
E’
C’
B’
Base
Polígonos
Aristas
Altura: distancia entre sus bases
PRISMA RECTO
Arista perpendiculares a las bases
Caras rectangulares
PRISMA OBLICUO
Arista no perpendiculares a la base
Caras romboides
PARALELEPÍPEDOS
Es el prisma cuyas bases son paralelogramos
Diagonal: BE (debe unir dos vértices opuestos)
A
A
B
F
H
D
E
G
Paralelepípedo recto: las aristas laterales
perpendiculares a las bases,
Paralelepípedo oblicuo: aristas
son
no
perpendiculares a las bases
son
Paralelepípedo rectángulo: sus caras
rectángulos.
Cubo o hexaedro regular: sus caras
son
cuadrados.
o
o
o
D=a
d=a
V = a3
o
A = 6 a2
a
a
PARALELEPÍDO RECTÁNGULO
D=
V=a .b.c
b
a
Área total: es la suma de todas las
caras
Área lateral: es la suma de las caras
laterales
Superficies y volúmenes de prismas
1. Área lateral (AL)
AL= (arista lateral).
(perímetro de la base)
2. Área total (AT)
AT = AL+ 2 (Área de la base)
3. Volumen (V) CILINDRO
V = (Área de la base).h
g: generatríz
5
r
r
h: altura
r
A
B
E
D
C
V
PIRÁMIDE
Es la región del espacio limitada por una superficie
piramidal cerrada y un plano que corta a todas sus
aristas.
Área lateral
AL= 2 r . h
Área total
AT = 2 r (h+r)
Volumen
V = r2 . h
h
g
g
V
A
B
r
Área total
AT = rg +
CONO DE REVOLUCIÓN
Área Lateral
AL= rg
AT= r(g + r)
Volumen
V=
.h
ESFERA
Área de la superficie
esférica
A = 4 r2
Volumen
V=
Área lateral (AL)
AL =
(perímetro de la base)
Área total (AT)
AT = AL + Área de la base
Volumen ( V )
V=
(altura)
NOTA
Los diámetros de dos pirámides semejantes
son entre sí como los cubos de sus elementos
homólogos
Las áreas de las bases de un tronco de co
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