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La Axiom´atica de la Teor´ia de Conjuntos
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/=ivorra)
Introducci´on
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Durante el siglo XIX se llev´o a cabo un proceso de fundamentaci´on de la matem´atica
en virtud del cual se fueron precisando paulatinamente todos los conceptos b´asicos, desde
el concepto de l´imite hasta el de n´umero natural. Finalmente, Frege present´o lo que
deber´ia haber sido la culminaci´on de este proceso: una teor´ia axiom´atica de conjuntos,
es decir, un sistema de axiomas a partir de los cuales pod´ian demostrarse rigurosamente
todos los resultados b´asicos aceptados por los matem´aticos y, a partir de ellos, todos los
teoremas matem´aticos. Desgraciadamente, Bertrand Russell descubri´o que la axiom´atica
de Frege era contradictoria. En efecto, uno de los axiomas b´asicos de Frege a?rmaba lo
siguiente:
Para toda propiedad f(X) de?nible en la teor´ia, existe un conjunto Y cuyos
elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen f(X).
En otros t´erminos, Frege postulaba la existencia del conjunto
Y = {X | f(X)}.
Lo que Russell observ´o fue que esto pod´ia aplicarse a f(X) = X ? X, que era
una propiedad trivialmente de?nida en la teor´ia de Frege, de modo que deb´ia existir un
conjunto
R = {X | X ? X},
que claramente nos lleva a la contradicci´on R ? R ? R ? R.
A partir de aqu´i, la minuciosa l´ogica de Frege permit´ia probar con el mismo rigor que
2+2 = 4 y que 2+2 = 5, por lo que su teor´ia se volv´ia inservible. El mismo Russell, junto
con A. N. Whitehead, present´o un tiempo despu´es otra teor´ia axiom´atica que, al menos en
apariencia, estaba exenta de contradicciones, si bien era tan in´util como la de Frege, esta
vez no por contradictoria sino por complicada. Se trata de los Principia Mathematica.
La primera teor´ia axiom´atica construida por un matem´atico a gusto de los matem´aticos
fue la de Zermelo. La forma en que Zermelo evit´o la paradoja de Russell fue debilitar el
axioma de formaci´on de conjuntos de Frege, reduci´endolo a:
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Para toda propiedad f(X) de?nible en la teor´ia y todo conjunto U, existe
un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos X ? U que
cumplen f(X).
As´i, lo que Zermelo postulaba era la existencia de
Y = {X ? U | f(X)}.
Ahora bien, este axioma s´olo permite de?nir conjuntos a partir de otros conjuntos, por
lo que Zermelo tuvo que anadir otros axiomas que garantizaran la existencia de aquellos
conjuntos necesarios que no pod´ian obtenerse como subconjuntos de otros conjuntos da-
dos. Enseguida describiremos con detalle la axiom´atica de Zermelo, pero antes daremos
algunas indicaciones sobre la l´ogica matem´atica que subyace a toda teor´ia de conjuntos
moderna.
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La l´ogica de la teor´ia de conjuntos
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El punto de partida de la teor´ia de conjuntos moderna consiste en admitir que no
podemos dar ninguna de?nici´on operativa de “conjunto”. El paso siguiente es darse
cuenta de que no necesitamos hacerlo. Consideremos el silogismo siguiente:
Toda palabra properisp´omena es bar´itona,
d??o? es una palabra properisp´omena,
luego d??o? es una palabra bar´itona.
Si consultamos una gram´atica griega y un diccionario veremos que todas estas pa-
labras son de verdad, pero lo maravilloso del caso es que no necesitamos saber lo que
signi?can para concluir que el razonamiento es correcto: Si sabemos que toda palabra
properisp´omena (sea esto lo que sea) es bar´itona (sea esto lo que sea), as´i como que
“d??o?” (sea lo que sea) es una palabra properisp´omena (sea lo que sea), podemos a?r-
mar sin miedo a equivocarnos que “d??o?” (sea lo que sea) es una palabra bar´itona (sea
lo que sea).
T´ecnicamente, hacer matem´aticas es esto mismo: hablar con absoluto rigor l´ogico sin
preocuparse del signi?cado de los t´erminos empleados. M´as concretamente, todo teorema
matem´atico podr´ia formularse as´i:
Si admitimos que los conjuntos (sean lo que sean), junto con la relaci´on de
pertenencia (sea esto lo que sea), cumplen unos axiomas dados, entonces tal
a?rmaci´on es cierta.
Esto no signi?ca que la palabra “conjunto” carezca de signi?cado (al ?n y al cabo
“properisp´omeno” es una palabra m´as rara y s´ique signi?ca algo muy concreto). Existen
muchas opiniones al respecto, desde los formalistas radicales que niegan todo signi?cado
a los conceptos matem´aticos hasta los platonistas radicales que creen que los conjuntos
existen de forma objetiva en alg´un sentido de la palabra. En el t´ermino medio estar´ian las
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posturas ?nitistas y similares, seg´un las cuales podemos atribuir un signi?cado concreto
a ciertos conjuntos (como m´inimo a todos los conjuntos ?nitos, tal vez tambi´en a los
numerables o a algunos de ellos, etc.), pero no a otros.
Sea como sea, la l´ogica matem´atica permite que estas cuestiones no afecten a la fun-
damentaci´on de la matem´atica: tanto si los conjuntos son algo como si no son nada,
podemos dar unos axiomas y deducir cosas de ellos con todo rigor.
El primer paso es indicar expl´icitamente todos los signos del lenguaje matem´atico.
Existen varias alternativas, pero una muy habitual es considerar que el lenguaje de la
teor´ia de conjuntos consta de los 12 signos siguientes:
(,),¬,?,?,?,?,?,?,|,=,?,
m´as una lista potencialmente in?nita de signos llamados variables:
x,y,z,a,ß,x1,x2,…
Con estos signos podemos formar cadenas de signos, tales como
? = (? xy,
o
((x = y) ? (y = x)).
Las cadenas de signos se dividen en dos tipos: expresiones y cadenas no expresivas.
Informalmente, una expresi´on es una cadena con sent
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